2022年高中數(shù)學(xué) 等比數(shù)列教案 蘇教版必修5

2022年高中數(shù)學(xué) 等比數(shù)列教案 蘇教版必修5教學(xué)目標(biāo)：掌握等比數(shù)列的定義，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)；培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)意識，提高學(xué)生創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的邏輯推理能力，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識.教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式.教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義式及通項(xiàng)公式解決一些相關(guān)問題.教學(xué)過程：.復(fù)習(xí)回顧前面幾節(jié)課，我們共同探討了等差數(shù)列，現(xiàn)在我們再來回顧一下等差數(shù)列的主要內(nèi)容.講授新課下面我們來看這樣幾個數(shù)列，看其又有何共同特點(diǎn)?1，2，4，8，16，263；5，25，125，625，；1，；仔細(xì)觀察數(shù)列，尋其共同特點(diǎn).對于數(shù)列，an2n1；2(n2)對于數(shù)列，an5n；5(n2)對于數(shù)列，an(1)n+1·； (n2)共同特點(diǎn)：從第二項(xiàng)起，第一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù).也就是說，這些數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都具有“相等”的特點(diǎn).1.定義等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示(q0)，即：anan1q(q0)如：數(shù)列，都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，5，.與等差數(shù)列比較，僅一字之差.總之，若一數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)之“差”為常數(shù)，則為等差數(shù)列，之“比”為常數(shù)，則為等比數(shù)列，此常數(shù)稱為“公差”或“公比”.注意（1）公差“d”可為0，（2）公比“q”不可為0.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式又如何呢?2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式請同學(xué)們想想等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，試著推一下等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.解法一：由定義式可得：a2a1q，a3a2q(a1q)qa1q2，a4a3q(a1q2)qa1q3，anan1qa1qn1(a1，q0)，n1時，等式也成立，即對一切nN*成立.解法二：由定義式得：(n1)個等式若將上述n1個等式相乘，便可得：××××qn1即：ana1·qn1(n2)當(dāng)n1時，左a1，右a1，所以等式成立，等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：ana1·qn1(a1，q0)如：數(shù)列，an1×2n12n1(n64)數(shù)列：an5×5n15n，數(shù)列：an1×()n1(1)n1與等差數(shù)列比較，兩者均可用歸納法求得通項(xiàng)公式.或者，等差數(shù)列是將由定義式得到的n1個式子相“加”，便可求得通項(xiàng)公式；而等比數(shù)列則需將由定義式得到的n1個式子相“乘”，方可求得通項(xiàng)公式.下面看一些例子：例1培育水稻新品種，如果第一代得到120粒種子，并且從第一代起，由以后各代的每一粒種子都可以得到下一代的120粒種子，到第5代大約可以得到這個新品種的種子多少粒（保留兩個有效數(shù)字）？分析：下一代的種子數(shù)總是上一代種子數(shù)的120倍，逐代的種子數(shù)可組成一等比數(shù)列，然后可用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決題目所要求的問題.解：由題意可得：逐代的種子數(shù)可組成一以a1120，q120的等比數(shù)列an.由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得：ana1·qn1120×120n1120na512052.5×1010.答：到第5代大約可以得到種子2.5×1010粒.評述：遇到實(shí)際問題，首先應(yīng)仔細(xì)分析題意，以準(zhǔn)確恰當(dāng)建立數(shù)學(xué)模型.例2一個等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng).分析：應(yīng)將已知條件用數(shù)學(xué)語言描述，并聯(lián)立，然后求得通項(xiàng)公式.解：設(shè)這個等比數(shù)列的首項(xiàng)是a1，公比是q則：÷得：q 代入得：a1ana1·qn1×（）n1，a2a1·q×8.答：這個數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是和8.評述：要靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義式及通項(xiàng)公式.課堂練習(xí)課本P48練習(xí)1，2，3已知an是無窮等比數(shù)列，公比為q.(1)將數(shù)列an中的前k項(xiàng)去掉，剩余各項(xiàng)組成一個新數(shù)列，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公比各是多少？解：設(shè)an為：a1，a2，ak，ak+1，則去掉前k項(xiàng)的數(shù)可列為：ak+1，ak+2，an，可知，此數(shù)列是等比數(shù)列，它的首項(xiàng)為ak+1，公比為q.(2)取出數(shù)列an中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個新的數(shù)列，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公比各是多少？解：設(shè)an為：a1，a2，a3，a2k1，a2k，取出an中的所有奇數(shù)項(xiàng)，分別為：a1，a3，a5，a7，a2k1，a2k+1，q2(k1)此數(shù)列為等比數(shù)列，這個數(shù)列的首項(xiàng)是a1，公比為q2.(3)在數(shù)列an中，每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個新的數(shù)列，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的公比是多少？解：設(shè)數(shù)列an為：a1，a2，an，每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)的數(shù)可列為：a11，a22，a33，可知，此數(shù)列為等比數(shù)列，其公式為：q11.評述：注意靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義式和通項(xiàng)公式.課時小結(jié)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的定義，即：q(q0，q為常數(shù)，n2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：ana1·qn1(n2)及推導(dǎo)過程.課后作業(yè)課本P52習(xí)題 1，2，3，4等比數(shù)列(一)1已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Snpn，那么數(shù)列an是 （ ）A.等比數(shù)列B.當(dāng)p0時為等比數(shù)列C.當(dāng)p0，p1時為等比數(shù)列D.不可能為等比數(shù)列 2公差不為0的等差數(shù)列an中，a2，a3，a6依次成等比數(shù)列，則公比等于 （ ）A. B. C.2 D.33數(shù)列an的前n項(xiàng)之和是Snanb(a、b為常數(shù)且a0，1)，問數(shù)列an是等比數(shù)列嗎？若是，寫出通項(xiàng)公式，若不是，說明理由.4已知等比數(shù)列x，y，求x，y.5已知數(shù)列an是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比不等于1，又其中有連續(xù)三項(xiàng)分別是一等差數(shù)列的第t，k，p項(xiàng)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.6已知數(shù)列an為等比數(shù)列，a1a310，a4a6，求a4的值.等比數(shù)列(一)答案1D 2D3數(shù)列an的前n項(xiàng)之和是Snanb(a、b為常數(shù)且a0，1)，問數(shù)列an是等比數(shù)列嗎？若是，寫出通項(xiàng)公式，若不是，說明理由.分析：利用等比數(shù)列的定義解題.解：a1S1ab，當(dāng)n2時，anSnSn1(a1)an1又a1(a1)·a0a1若a1ab，即b1時，顯然數(shù)列an不是等比數(shù)列.若a1ab，即b1時，由an(a1)an1(n1)，得a(n2)故數(shù)列an是等比數(shù)列.4x，y5已知數(shù)列an是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比不等于1，又其中有連續(xù)三項(xiàng)分別是一等差數(shù)列的第t，k，p項(xiàng)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.分析一：先從等比數(shù)列入手解決問題.解法一：設(shè)符合題設(shè)的等比數(shù)列an中的連續(xù)三項(xiàng)為am，am+1，am+2，則：am+1amq，am+2am+1q (q為公比)兩式相減，得q又am+1am(kt)d，即am+1am(kt)d同理am+2am+1(pk)d(d為公差），故q 所求通項(xiàng)公式為ana1( )n1.分析二：先從等差數(shù)列入手解決問題.解法二：設(shè)等差數(shù)列為bn，公差為d，則由題設(shè)知，bt，bk，bp是等比數(shù)列an中的連續(xù)三項(xiàng)：故q利用等比定理，可得 q，ana1()n1.6已知數(shù)列an為等比數(shù)列，a1a310，a4a6，求a4的值.分析：要求a4可以先求an，這樣求基本量a1和q的值就成了關(guān)鍵，結(jié)合條件考慮運(yùn)用方程思想解決.解：設(shè)此數(shù)列的公比為q,由已知得：由a10，1q20，÷得，q3qa18. a4a1q38×1.評述：本題在求基本量a1和q時，運(yùn)用方程思想把兩個方程相除達(dá)到消元的目的，此法應(yīng)重視.