2022年高三數(shù)學十月聯(lián)合考試試題 理（含解析）新人教A版

2022年高三數(shù)學十月聯(lián)合考試試題 理（含解析）新人教A版【試卷綜評】本次試卷從題型設(shè)置、考察知識的范圍等方面保持穩(wěn)定，試題難度適中，試題在考查高中數(shù)學基本概念、基本技能和基本方法等數(shù)學基礎(chǔ)知識，突出三基，強化三基的同時，突出了對學生能力的考查，注重了對學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合、重點知識的考查，以它的知識性、思辨性、靈活性，基礎(chǔ)性充分體現(xiàn)了考素質(zhì)，考基礎(chǔ)，考方法，考潛能的檢測功能。試題中無偏題，怪題，起到了引導(dǎo)高中數(shù)學向全面培養(yǎng)學生數(shù)學素質(zhì)的方向發(fā)展的作用。突出考查數(shù)學主干知識 ,側(cè)重于中學數(shù)學學科的基礎(chǔ)知識和基本技能的考查；側(cè)重于知識交匯點的考查。全面考查了考試說明中要求的內(nèi)容。第卷一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）【題文】1、已知集合，則等于A B C D 【知識點】交集及其運算L4 【答案解析】B 解析：由M中不等式變形得：x（x2）0，解得：0x2，即M=（0，2）；由N中不等式變形得：10，即0，解得：x1，即N=（，1），則MN=（0，1）故選B【思路點撥】求出M與N中不等式的解集確定出M與N，找出兩集合的交集即可【題文】2、的值為A B C D 【知識點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值L4 【答案解析】C 解析：cos（）=cos（670+）=cos=cos（+）=cos=，故選：C【思路點撥】原式中角度變形后，利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果【題文】3、已知為常數(shù)，則使得成立的一個充分而不必要條件是（ ）A B C D 【知識點】微積分基本定理；必要條件、充分條件與充要條件的判斷L4 【答案解析】C 解析：由積分運算法則，得=lnx=lneln1=1因此，不等式即即a1，對應(yīng)的集合是（1，+），將此范圍與各個選項加以比較，只有C項對應(yīng)集合（e，+）是（1，+）的子集原不等式成立的一個充分而不必要條件是ae，故選：C【思路點撥】由定積分計算公式，求出函數(shù)f（x）=的一個原函數(shù)F（x）=lnx，從而利用微積分基本定理得到=lne，結(jié)合充分條件、必要條件的定義，即可得到不等式成立的一個充分而不必要條件【題文】4、已知為第三象限角，且，則的值為A B C D【知識點】兩角和與差的正弦函數(shù)L4 【答案解析】B 解析：把sin+cos=2m兩邊平方可得1+sin2=4m2，又sin2=m2，3m2=1，解得m=，又為第三象限角，m=，故選：B【思路點撥】把sin+cos=2m兩邊平方可得m的方程，解方程可得m，結(jié)合角的范圍可得答案【題文】5、在中，角角的對邊分別為，若且，則等于A B C D 【知識點】余弦定理L4 【答案解析】A 解析：由sinC=2sinB，由正弦定理可知：c=2b，代入a2b2=bc，可得a2=7b2，所以cosA=，0A，A=故選：A【思路點撥】利用正弦定理化三角函數(shù)為三角形邊的關(guān)系，然后通過余弦定理求解即可【題文】6、已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當時，則等于A B C1 D2 【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)L4 【答案解析】B 解析：由f（x）為奇函數(shù)可得f（x）=f（x），再由條件可得f（x）=f（+x），所以，f（3+x）=f（x）所以，f（xx）=f（671×3+2）=f（1）=f（1）=2故選：B【思路點撥】由已知得f（3+x）=f（x），所以f（xx）=f（671×3+2）=f（1）=f（1）=2【題文】7、給出下列命題，其中錯誤的是A在中，若，則B在銳角中， C把函數(shù)的圖象沿x軸向左平移個單位，可以得到函數(shù)的圖象D函數(shù)最小正周期為的充要條件是【知識點】命題的真假判斷與應(yīng)用L4 【答案解析】D 解析：對于A在ABC中，若AB，則ab，即由正弦定理有sinAsinB，故A正確；對于B在銳角ABC中，A+B，則AB，由y=sinx在（0，）上遞增，則sinAsin（B）=cosB，故B正確；對于C把函數(shù)y=sin2x的圖象沿x軸向左平移個單位，可以得到函數(shù)y=sin2（x）=sin（2x）=cos2x的圖象，故C正確；對于D函數(shù)y=sinx+cosx（0）=2sin（x），最小正周期為時，也可能為2，故D錯故選D【思路點撥】由正弦定理和三角形中大角對大邊，即可判斷A；由銳角三角形中，兩銳角之和大于90°，運用正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B；運用圖象的左右平移，只對自變量x而言，再由誘導(dǎo)公式，即可判斷C；由兩角和的正弦公式化簡，再由周期公式，即可判斷D【題文】8、已知冪函數(shù)的圖象如圖所示，則在的切線與兩坐標軸圍成的面積為A B C D4 【知識點】冪函數(shù)的性質(zhì)L4 【答案解析】C 解析：根據(jù)冪函數(shù)的圖象可知，n20，且為偶數(shù)，又nN，故n=0，所以f（x）=x2，則f（x）=2x3，所以切線的斜率為f（1）=2，切線方程為y1=2（x1），即2x+y3=0，與兩坐標軸圍成的面積為=，故選：C【思路點撥】先根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到n=2，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，求出切線方程，問題得以解決【題文】9、已知，函數(shù)在處于直線相切，設(shè)，若在區(qū)間上，不等式恒成立，則實數(shù)A有最小值 B有最小值 C有最大值 D有最大值 【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程L4 【答案解析】D 解析：f（x）=tanx的導(dǎo)數(shù)f（x）=（）=，則a=f（）=2，將切點（，1）代入切線方程，即1=2+b+，即有b=1則g（x）=exx2+2，令h（x）=g（x）=ex2x，h（x）=ex2，在1，2上h（x）0恒成立，即h（x）在1，2上遞增，即g（x）在1，2上遞增，則有g(shù)（x）g（1）=e20，則g（x）在1，2上遞增，g（1）最小，g（2）最大，不等式mg（x）m22恒成立，即有，解得me或eme+1即m的最大值為e+1故選D【思路點撥】求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，得a=2，將切點（，1）代入切線方程，求得b=1，再求g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷g（x）在1，2上的單調(diào)性，求出最值，再由不等式mg（x）m22恒成立，即有，解出m的取值范圍，即可判斷【題文】10、對于函數(shù)，若，為某一三角形的三邊長，則稱為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，已知函數(shù)是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是A B C D 【知識點】指數(shù)函數(shù)綜合題L4 【答案解析】D 解析：由題意可得f（a）+f（b）f（c）對于a，b，cR都恒成立，由于f（x）=1+，當t1=0，f（x）=1，此時，f（a），f（b），f（c）都為1，構(gòu)成一個等邊三角形的三邊長，滿足條件當t10，f（x）在R上是減函數(shù)，1f（a）1+t1=t，同理1f（b）t，1f（c）t，由f（a）+f（b）f（c），可得 2t，解得1t2當t10，f（x）在R上是增函數(shù)，tf（a）1，同理tf（b）1，2f（c）1，由f（a）+f（b）f（c），可得 2t1，解得1t綜上可得，t2，故選：A【思路點撥】因?qū)θ我鈱崝?shù)a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）為三邊長的三角形，則f（a）+f（b）f（c）恒成立，將f（x）解析式用分離常數(shù)法變形，由均值不等式可得分母的取值范圍，整個式子的取值范圍由t1的符號決定，故分為三類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，然后討論k轉(zhuǎn)化為f（a）+f（b）的最小值與f（c）的最大值的不等式，進而求出實數(shù)k 的取值范圍第卷二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答案卡中的橫線上【題文】11、已知，則 【知識點】二倍角的正弦；誘導(dǎo)公式的作用L4 【答案解析】 解析：，3sin2=2cos，6sincos=2cos，解得 sin=，cos=故cos（）=cos（）=cos=，故答案為【思路點撥】由條件利用二倍角公式求得sin=，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos 的值，再利用誘導(dǎo)公式求出cos（）的值【題文】12、化簡的結(jié)果為 【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)L4 【答案解析】25 解析：原式=+lg5lg2+lg22lg2=25+lg2（lg5+lg2）lg2=25【思路點撥】利用對數(shù)的運算法則、lg2+lg5=1即可得出【題文】13、已知關(guān)于的方程有兩個不等的負實數(shù)根；關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根，分別在區(qū)間與內(nèi) （1）若是真命題，則實數(shù)的取值范圍為 （2）若是真命題，則實數(shù)的取值范圍為 【知識點】復(fù)合命題的真假L4 【答案解析】; 解析：（1）若p為真，則，解得：m2，若p是真命題，則p是假命題，故實數(shù)m的取值范圍是：（，2；（2）對于q：設(shè)f（x）=4x2+4（m2）x+1，由q為真可得，解得：m，若q為假，則m或m，若（p）（q）是真命題，則有m或m2，即m的范圍是：（，2；故答案為：（，2，（，2【思路點撥】（1）若p為真，求出m的范圍，若p是真命題，則p是假命題，從而得出m的范圍；（2）由q為真可得m的范圍，若q為假，求出m的范圍，若（p）（q）是真命題，從而求出m的范圍【題文】14、在中，角的對邊分別為，且，若的面積為，則的最小值為 【知識點】正弦定理L4 【答案解析】12 解析：在ABC中，由條件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，2sinBcosC+sinB=0，cosC=，C=由于ABC的面積為S=absinC=ab=c，c=ab再由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC，整理可得a2b2=a2+b2+ab3ab，當且僅當a=b時，取等號，ab12，故答案為：12【思路點撥】由條件里用正弦定理、兩角和的正弦公式求得cosC=，C=根據(jù)ABC的面積為S=absinC=c，求得c=ab再由余弦定理化簡可得a2b2=a2+b2+ab3ab，由此求得ab的最小值【題文】15、已知函數(shù)，給出下列結(jié)論：函數(shù)的值域為；函數(shù)在上是增函數(shù)；對任意，方程在內(nèi)恒有解； 若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是其中所有正確的結(jié)論的序號是 【知識點】分段函數(shù)的應(yīng)用菁優(yōu)L4 【答案解析】解析：當x0，時，f（x）=x是遞減函數(shù)，則f（x）0，當x（，1時，f（x）=2（x+2）+8，f（x）=20，則f（x）在（，1上遞增，則f（x）（，則x0，1時，f（x）0，故正確；當x0，1時，g（x）=asin（x+）2a+2（a0）=acosx2a+2，由a0，0x，則g（x）在0，1上是遞增函數(shù)，故正確；由知，a0，x0，1時g（x）23a，2，若23a或20，即0a或a，方程f（x）=g（x）在0，1內(nèi)無解，故錯；故存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，則解得a故正確故答案為：【思路點撥】求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判斷；化簡g（x），判斷g（x）的單調(diào)性即可判斷；求出g（x）在0，1的值域，求出方程f（x）=g（x）在0，1內(nèi)無解的a的范圍，即可判斷；由得，有解的條件為：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范圍，即可判斷三、解答題：本大題共5小題，滿分65分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟【題文】16、（本小題滿分11分） 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示 （1）試確定函數(shù)的解析式； （2）若，求的值【知識點】由y=Asin（x+）的部分圖象確定其解析式；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【答案解析】（1）f（x）=2sin（x+）；（2）解析：（1）由圖可知，A=2，=，又0，T=2，=；由圖可知，f（x）=Asin（x+）經(jīng)過（，2），+=，即+=，=，f（x）=2sin（x+）；（2）f（）=，2sin（+）=，sin（+）=cos（+）=cos（）=，cos（）=21=2×1=【思路點撥】（1）由圖可知，A=2，=，可求得，再利用+=可求得，從而可求得f（x）的解析式；（2）由（1）知f（x）的解析式，結(jié)合已知f（）=，可求得的三角函數(shù)知，最后利用兩角差的余弦計算即可求cos（）的值【題文】17、（本小題滿分12分）xx世界園藝博覽會在青島舉行，某展銷商在此期間銷售一種商品，根據(jù)市場調(diào)查，當每套商品售價為x元時，銷售量可達到萬套，供貨商把該產(chǎn)品的供貨價格分為來那個部分，其中固定價格為每套30元，浮動價格與銷量（單位：萬套）成反比，比例系數(shù)為，假設(shè)不計其它成本，即每套產(chǎn)品銷售利潤=售價-供貨價格 （1）若售價為50元時，展銷商的總利潤為180元，求售價100元時的銷售總利潤； （2）若，求銷售這套商品總利潤的函數(shù)，并求的最大值【知識點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用L4 【答案解析】（1）330（萬元）（2）f（x）= 0.1x2+18x460，（0x150），350（萬元）解析：（1）售價為50元時，銷量為150.1×50=10萬套，此時每套供貨價格為30+（元），則獲得的總利潤為10×（5030）=180，解得k=20，售價為100元時，銷售總利潤為；（150.1×1000（10030）=330（萬元）（2）由題意可知每套商品的定價x滿足不等式組，即0x150，f（x）=x（30+）×（150.1x）=0.1x2+18x460，（0x150），f（x）=0.2x+18，令f（x）=0可得x=90，且當0x90時，f（x）0，當90x150時，f（x）0，當x=90時，f（x）取得最大值為350（萬元）【思路點撥】（1）由題意可得10×（5030）=180，解得k=20，即可求得結(jié)論；（2）由題意得f（x）=x（30+）×（150.1x）=0.1x2+18x460，（0x150），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求得最大值【題文】18、（本小題滿分12分）如圖，在直角坐標系中，角的頂點是原點，始邊與軸正半軸重合，終邊交單位圓于點A，且，將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點B，記 （1）若，求； （2）分別過作x軸的垂線，垂足一次為C、D，記的面積為，的面積為，若，求角的值【知識點】兩角和與差的正弦函數(shù)；任意角的三角函數(shù)的定義 【答案解析】（1）（2）解析：（1）解：由三角函數(shù)定義，得 x1=cos，因為 ，所以 所以 （2）解：依題意得 y1=sin， 所以 ，依題意S1=2S2 得 ，即sin2=2sin2cos+cos2sin=sin2cos2，整理得 cos2=0因為 ，所以 ，所以 ，即 【思路點撥】（1）由三角函數(shù)定義，得 x1=cos=，由此利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin的值，再根據(jù)，利用兩角和的余弦公式求得結(jié)果（2）依題意得 y1=sin，分別求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2=0，根據(jù)的范圍，求得的值【題文】19、（本小題滿分12分） 已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù) （1）若，求在上遞增的充要條件；（2）若對任意的實數(shù)和正實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值L4 【答案解析】（1）0m（2）（，0）（0，2 解析：（1）函數(shù)f（x）=（m0）是定義在R上的奇函數(shù)f（0）=0，即=0，n=0，f（x）=，顯然f（x）=f（x）成立，故n=0時f（x）為R上的奇函數(shù)，f（x）=，m0，m0，由f（x）0可得x220，解得x，即f（x）的遞增區(qū)間是（，），由題意只需（m，m）（，），0m，f（x）在（m，m）上遞增的充要條件是0m（2）設(shè)g（x）=sinc0s+cos2+，f（x）sincos+cos2+對任意的實數(shù)和正實數(shù)x恒成立，f（x）g（x）min恒成立，g（x）=sinc0s+cos2+=sin2+=sin2+cos2+=sin（2+）+，g（x）min=+=，只需f（x），即，x0，只需，即m（x+）恒成立，而（x+）×2=2，當且僅當x=時取得最小值2，m2，又m0，實數(shù)m的取值范圍是（，0）（0，2【思路點撥】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由f（x）0解得即可；（2）設(shè)g（x）=sinc0s+cos2+，由題意得只需f（x）g（x）min恒成立，利用三角變換求得g（x）的最小值，列出不等式解得即可【題文】20、（本小題滿分14分）已知 （1）求的單調(diào)區(qū)間與極值； （2）若，試分析方程在上是否有實根，若有實數(shù)根，求出的取值范圍；否則，請說明理由【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值菁L4 【答案解析】（1）y=f（x）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+），當x=1時，y取極大值e，函數(shù)無極小值（2）方程f（x）=f（x）+kxk2+e在1，+上無實根 解析：（1）函數(shù)f（x）=ex（lnx+1）的定義域為（0，+），f（x）=+ex，則y=f（x）f（x）=，y=，由y=0可得x=1當x1時，y0；當x1時，y0；y=f（x）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+），當x=1時，y取極大值e，函數(shù)無極小值（2）方程f（x）=f（x）+kxk2+e可變?yōu)閒（x）f（x）kx+k2e=0進一步化為kx+k2e=0，令g（x）=kx+k2e，g（x）=x1，x10，而ex0，又k0，g（x）=0，g（x）在1，+上單調(diào)遞增，且g（x）的最小值為g（1）=k2k，則方程f（x）=f（x）+kxk2+e在1，+上最多只有一個實根，要使方程f（x）=f（x）+kxk2+e在1，+上有一個實根，只需k2k0，解得0k1，這與k0矛盾，故方程f（x）=f（x）+kxk2+e在1，+上無實根【思路點撥】（1）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，代入y=f（x）f（x）得出函數(shù)表達式，再去研究單調(diào)性與極值，（2）把方程f（x）=f（x）+kxk2+e化簡，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究方程有無實根【題文】21、（本小題滿分14分） 已知為常數(shù)，在處的切線方程為 （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）若任意實數(shù)，使得對任意的上恒有成立，求實數(shù)的取值范圍； （3）求證：對任意正整數(shù)，有【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。L4 【答案解析】（1）f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+），沒有遞增區(qū)間（2） ，+）（3）見解析解析：（1）由f（x）=+nlnx（m，n為常數(shù)）的定義域為（0，+），f（x）=+，f（1）=+n=1，把x=1代入x+y2=0得y=1，f（1）=1，m=2，n=，f（x）=lnx，f（x）=，x0，f（x）0，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+），沒有遞增區(qū)間（2）由（1）可得，f（x）在，1上單調(diào)遞減，f（x）在，1上的最小值為f（1）=1，只需t3t22at+21，即2a對任意的t，2上恒成立，令g（t）=，則g（t）=2t1=，令g（t）=0可得t=1，而2t2+t+10恒成立，當t1時，g（t）0，g（t）單調(diào)遞減，當1t2時，g（t）0，g（t）單調(diào)遞增g（t）的最小值為g（1）=1，而g（）=+2=，g（2）=42+=，顯然g（）g（2），g（t）在，2上的最大值為g（2）=，只需2a，即a，實數(shù)a的取值范圍是，+）（3）由（1）可知f（x）在區(qū)間（0，1上單調(diào)遞減，對于任意的正整數(shù)n，都有f（）f（1）=1，即ln1，整理可得+lnn2，則有：+ln12，+ln22，+ln32，+lnn2把以上各式兩邊相加可得：4（+）+（ln1+ln2+lnn）2n【思路點撥】（1）利用導(dǎo)數(shù)的意義求得m，進而求出單調(diào)區(qū)間；（2）f（x）在，1上的最小值為f（1）=1，只需t3t22at+21，即2a對任意的t，2上恒成立，令g（t）=，利用導(dǎo)數(shù)求出g（t）的最大值，列出不等式，即可求得結(jié)論；（3）由（1）可知f（x）在區(qū)間（0，1上單調(diào)遞減，故有f（）f（1）=1，即ln1，整理可得+lnn2，利用累加法即可得出結(jié)論