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2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 點(diǎn)到直線的距離教案 理

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2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 點(diǎn)到直線的距離教案 理

2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 點(diǎn)到直線的距離教案 理教材分析點(diǎn)到直線的距離是解析幾何的重要內(nèi)容之一,它的應(yīng)用十分廣泛點(diǎn)到直線的距離是指由點(diǎn)向直線引垂線的垂線段的長我們知道,求點(diǎn)到點(diǎn)的距離,有“工具”兩點(diǎn)間的距離公式可用,同樣有必要創(chuàng)造出一套“工具”來方便地解決點(diǎn)到直線的距離問題,也就是說:已知點(diǎn)P(x1,y1)和直線l:AxByC0,(A,B不全為0),目標(biāo)是設(shè)法用已知的量x1,y1,A,B,C把點(diǎn)P到l的距離表示出來,當(dāng)作公式用教材上公式的推導(dǎo)運(yùn)用了兩點(diǎn)間的距離公式,具體做法是作直線m過點(diǎn)P與l垂直,設(shè)垂足為Po(xo,yo),Po滿足直線m的方程,也滿足直線l的方程,將Po的坐標(biāo)分別代入直線m和直線l的方程,通過恒等變形利用兩點(diǎn)間的距離公式,推出點(diǎn)到直線的距離公式這種方法思路清晰,學(xué)生易于接受,但恒等變形較抽象,學(xué)生難于掌握,故教學(xué)中應(yīng)注意啟發(fā)學(xué)生怎樣想到這樣變形這樣既可以活躍學(xué)生的思維,又可以鍛煉其發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的能力公式的推導(dǎo)方法還有很多,對學(xué)有余力的同學(xué)可加以啟發(fā),展開討論,以培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力這節(jié)課的重點(diǎn)是理解和掌握點(diǎn)到直線的距離公式,并能熟練地應(yīng)用公式求點(diǎn)到直線的距離,難點(diǎn)是點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)教學(xué)目標(biāo)1. 通過探索點(diǎn)到直線距離公式的思維過程,培養(yǎng)學(xué)生探索與研究問題能力2. 理解和掌握點(diǎn)到直線的距離公式,體會知識發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用的過程,數(shù)形結(jié)合、化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力任務(wù)分析這節(jié)課是在學(xué)習(xí)了“兩點(diǎn)間的距離公式”、“兩條直線的位置關(guān)系”的基礎(chǔ)上引入的,通過復(fù)習(xí)兩直線垂直、兩直線相交及兩點(diǎn)間的距離公式,學(xué)生容易想到把點(diǎn)到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問題為了利用兩點(diǎn)間的距離公式,須要求垂足的坐標(biāo)若利用垂線與已知直線相交解出垂足的坐標(biāo),想法自然,但求解較繁,為了簡化解題過程,自然要想其他方法,教材采用了設(shè)而不求,整體代換來解決問題,簡單明了,但恒等變形較難,因此,通過分析兩點(diǎn)間的距離公式與點(diǎn)到直線距離的聯(lián)系和區(qū)別,找到恒等變形的思路是解決問題的關(guān)鍵本課通過觀察、分析掌握兩點(diǎn)間距離公式的特點(diǎn),總結(jié)應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式的步驟;通過例題和練習(xí)使學(xué)生掌握并能應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式解決有關(guān)問題;通過探索和研究有關(guān)問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情境1. 某供電局計(jì)劃年底解決本地區(qū)一個村莊的用電問題,經(jīng)過測量,若按部門內(nèi)部設(shè)計(jì)好的坐標(biāo)圖(以供電局為原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸的正半軸,正北方向?yàn)檩S的正半軸,長度單位為km),則這個村莊的坐標(biāo)是(15,20),它附近只有一條線路通過,其方程為3x4y100問:要完成任務(wù),至少需要多長的電線?這實(shí)際上是一個求點(diǎn)到直線的距離問題,那么什么是點(diǎn)到直線的距離,如何求村莊到線路的距離呢?2. 在學(xué)生思考討論的基礎(chǔ)上,教師收集學(xué)生各種的求法,得常見求法如下:(1)設(shè)過點(diǎn)P(15,20)與l:3x4y100垂直的直線為m,易求m的方程為4x3y1200由解得即m與l的交點(diǎn)由兩點(diǎn)間的距離公式,得故要完成任務(wù),至少需要9km長的電線(2)設(shè)直線l:3x4y100與x軸的交點(diǎn)為Q,則Q(,0)在直線l上任取一點(diǎn)M(0,),易讓向量(,)與向量n(3,4)垂直設(shè)向量與向量n的夾角為,點(diǎn)P到直線l的距離為d,由向量的數(shù)量積的定義易知(3)設(shè)過點(diǎn)P(15,20)與l:3x4y100垂直的直線為,易求的方程為4(x15)3(y20)0設(shè)垂足為Po(xo,yo),則4(xo15)3(yo20)0,又因?yàn)辄c(diǎn)Po在l上,所以3xo4yo100,即3xo4yo10,而3×154×20103×154×203xo4yo3(xo15)4(yo20),即3(xo15)4(yo20)45 把等式和等式兩邊相加,得25(xo15)2(yo20)2452,(xo15)2(yo20)2,3. 教師展現(xiàn)學(xué)生們的求法,師生共同點(diǎn)評各種求法,得出:求垂線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo),再用兩點(diǎn)間的距離公式使問題得解,想法雖自然,但計(jì)算量較大;不求垂足的坐標(biāo),設(shè)出垂足的坐標(biāo)代入直線方程,進(jìn)而通過等式變形,利用兩點(diǎn)間的距離公式求得結(jié)果,想法既巧妙,又簡單明了二、建立模型設(shè)坐標(biāo)平面上(如圖24-1),有點(diǎn)P(x1,y1)和直線l:AxByC0(A,B不全為0)我們來尋求點(diǎn)到直線l距離的算法作直線m通過點(diǎn)P(x1,y1),并且與直線l垂直,設(shè)垂足為P0(x0,y0)容易求得直線m的方程為B(xx1)A(yy1)0由此得B(x0x1)A(y0y1)0由點(diǎn)P0在直線l上,可知Ax0By0C0,即CAx0By0所以Ax1By1CAx1By1Ax0By0,即A(x1x0)B(y1y0)Ax1By1C把等式和兩邊平方后相加,整理可得(A2B2)(x1x0)2(y1y0)2(Ax1By1C)2,即(x1x0)2(y1y0)2容易看出,等式左邊即為點(diǎn)P(x1,y1)到直線l距離的平方由此我們可以得到點(diǎn)P(x1,y1)到直線l的距離d的計(jì)算公式:歸納求點(diǎn)P(x1,y1)到直線l:AxByC0的距離的計(jì)算步驟如下:(1)給出點(diǎn)的坐標(biāo)x1和y1賦值(2)給A,B,C賦值(3)計(jì)算注意:(1)在求點(diǎn)到直線的距離時,直線方程要化為一般式(2)當(dāng)直線與x軸或y軸平行時,公式也成立,但此時求距離一般不用公式三、解釋應(yīng)用例題1. 求點(diǎn)P(1,2)到下列直線的距離:l1:2xy5,l2:3x2注意:規(guī)范解題格式2. 求兩平行直線l1:AxByC10,l2:AxByC2,(C1C2)之間的距離分析:求兩條平行線間的距離,就是在其中一條直線上任取一點(diǎn),求該點(diǎn)到另一條直線的距離解:在l1上任取一點(diǎn)P(x1,y1),則Ax1ByC1,點(diǎn)P到l2的距離d3. 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,證明:等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高解:以等腰三角形底邊所在的直線為x軸,底邊上的高所在的直線為軸,建立直角坐標(biāo)系(如圖24-2)不妨設(shè)底邊AB2a,高OCb,則直線AC:即bxayab0;直線BC:,即bxayab0,點(diǎn)B(a,0)在線段AB上任取一點(diǎn)D(m,0),則amad1d2,即等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高練習(xí)1. 求下列點(diǎn)到直線的距離(1)0(0,0),l1:3x4y50(2)A(1,0),l2:xy0(3)B(1,2),l3:3xy0(4)C(2,3),l4:y702. 求兩條平行直線2x3y80和2x3y180之間的距離3. (1)求過點(diǎn)A(1,2),且與原點(diǎn)的距離為的直線方程(2)若點(diǎn)P(x,y)在直線xy40上,O為原點(diǎn),求OP的最小值(3)若ABC的三頂點(diǎn)分別為A(7,8),B(0,4),C(2,4),求ABC的面積(4)求點(diǎn)P(0,1)關(guān)于直線x2y10的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)(5)求直線2x11y160關(guān)于點(diǎn)P(0,1)對稱的直線方程四、拓展延伸1. 點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用非常廣泛,你能舉例說明它在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用嗎?2. 點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)方法有很多,對學(xué)有余力的同學(xué)可探索其他推導(dǎo)方法,下面介紹兩種常見的推導(dǎo)方法(1)如圖,已知點(diǎn)P0(x0,y0),直線l:AxByC0,求點(diǎn)P0到直線l的距離不妨設(shè)A0,B0,這時l和x軸、y軸都相交過點(diǎn)P0作直線l的垂線,交l于Q令P0Qd,過P0作x軸的平行線交l于R(x1,y0),作y軸的平行線交l于S(x0,y2)由Ax1By0C0,Ax0By2C0得易證A0或B0,公式也成立(2)點(diǎn)到直線的距離公式也可用向量的知識求得,此法更能體現(xiàn)出代數(shù)與幾何的聯(lián)系,比其他方法更簡單,直觀,易懂求法如下:如圖24-4,證明向量n(A,B)與直線l垂直不妨設(shè)A0,直線l與x軸的交點(diǎn)是Q(,0)如果P1(x1,y1)是直線l上不同于Q的點(diǎn),則Ax1By1C0A(x1)B(y10)0,即(A,B)·(x1,y10)0,向量n(A,B),與向量(x1,y10)垂直,即向量n與直線l垂直求點(diǎn)P0到直線l的距離d由數(shù)量積的定義,如果向量與向量n的夾角為,那么易證當(dāng)A0或B0時,公式也成立點(diǎn)評這節(jié)課首先通過實(shí)例闡述了點(diǎn)到直線距離的產(chǎn)生背景,并通過學(xué)生思考討論,歸納和概括出了求點(diǎn)到直線的距離的常用方法,然后按照由特殊到一般的思路,找出了推導(dǎo)點(diǎn)到直線距離公式的方法這種安排充分體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)理念,符合新課程標(biāo)準(zhǔn)精神例題與練習(xí)的設(shè)計(jì)由淺入深,完整,全面解釋應(yīng)用深有新意,有深度拓展延伸活躍了學(xué)生思維,培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的能力總之,這篇案例較好地體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)教育發(fā)展的一絲新理念

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