數(shù)學(xué)五 立體幾何與空間向量 第2講 空間中的平行與垂直 理

第2講空間中的平行與垂直專題五立體幾何與空間向量熱點分類突破真題押題精練熱點分類突破熱點一空間線面位置關(guān)系的判定空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷來解決問題.(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來進行判斷.例例1(1)(2017四川省眉山中學(xué)月考)已知m，n為空間中兩條不同的直線， ，為空間中兩個不同的平面，下列命題正確的是A.若n，n，m，則mB.若m，則mC.若m，n在內(nèi)的射影互相平行，則mnD.若ml，l，則m解析解析由題意知，n，n，則，又m，則m，A正確；若m，可能會現(xiàn)m，B錯誤；若m，n在內(nèi)的射影互相平行，兩直線異面也可以，C錯誤；若ml，l，可能會出現(xiàn)m，D錯誤.故選A.答案解析答案解析(2)(2017屆泉州模擬)設(shè)四棱錐PABCD的底面不是平行四邊形， 用平面去截此四棱錐，使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面A.有無數(shù)多個 B.恰有4個C.只有1個 D.不存在思維升華解析解析如圖，由題知面PAD與面PBC相交，面PAB與面PCD相交，可設(shè)兩組相交平面的交線分別為m，n，由m，n決定的平面為，作與平行且與四條側(cè)棱相交，交點分別為A1，B1，C1，D1，則由面面平行的性質(zhì)定理得A1B1nC1D1，A1D1mB1C1，從而得截面必為平行四邊形.由于平面可以上下平移，可知滿足條件的平面有無數(shù)多個.故選A.思維升華思維升華解決空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中.答案解析跟蹤演練跟蹤演練1(1)，是三個平面，m, n是兩條直線，則下列命題正確的是A.若m, n，mn，則B.若，m, n，則mnC.若m不垂直平面，則m不可能垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線D.若m，n，mn，則解析解析逐一分析所給的命題：A項，若m, n，mn，并非一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，不一定有，該說法錯誤；B項，若，m, n，無法確定m，n的關(guān)系，該說法錯誤；C項，若m不垂直平面，則m可能垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，該說法錯誤；D項，若m，n，mn，則，該說法正確.故選D.答案解析(2)(2017屆株洲一模)如圖，平面平面， 直線l, A，C是內(nèi)不同的兩點， B，D是內(nèi)不同的兩點，且A，B，C，D 直線l, M，N分別是線段AB，CD的中點.下列判斷正確的是A.當(dāng)CD2AB時，M，N兩點不可能重合B.M，N兩點可能重合，但此時直線AC與l不可能相交C.當(dāng)AB與CD相交，直線AC平行于l時，直線BD可以與l相交D.當(dāng)AB，CD是異面直線時，直線MN可能與l平行解析解析由于直線CD的兩個端點都可以動，所以M，N兩點可能重合，此時兩條直線AB，CD共面，由于兩條線段互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形，因此ACBD，則BD，所以由線面平行的判定定理可得AC，又因為AC，l，所以由線面平行的性質(zhì)定理可得ACl，故應(yīng)排除答案A，C，D，故選B.熱點二空間平行、垂直關(guān)系的證明空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過判定定理、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.例例2(1)(2017全國)如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBC AD，BADABC90.證明：直線BC平面PAD；證明證明在平面ABCD內(nèi)，因為BADABC90，所以BCAD.又BC 平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.證明若PCD的面積為2 ，求四棱錐PABCD的體積.解答解解如圖，取AD的中點M，連接PM，CM.因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因為CM底面ABCD，所以PMCM.取CD的中點N，連接PN，則PNCD，解得x2(舍去)或x2.所以四棱錐PABCD的體積(2)(2017重慶市巴蜀中學(xué)三模)如圖，平面ABCD平面ADEF，四邊形ABCD為菱形，四邊形ADEF為矩形，M，N分別是EF，BC的中點，AB2AF, CBA60.求證：DM平面MNA；證明證明證明連接AC，在菱形ABCD中，CBA60，且ABBC，ABC為等邊三角形，又N為BC的中點，ANBC，BCAD，ANAD，又平面ABCD平面ADEF，平面ABCD平面ADEFAD，AN平面ABCD，AN平面ADEF，又DM平面ADEF，DMAN.在矩形ADEF中，AD2AF，M為EF的中點，AMF為等腰直角三角形，AMF45，同理可證DME45，DMA90，DMAM，又AMANA，且AM，AN平面MNA，DM平面MNA.若三棱錐ADMN的體積為 ，求MN的長.證明思維升華證明證明設(shè)AFx，則AB2AF2x，在RtABN中，AB2x, BNx, ABN60，平面ABCD平面ADEF, AD為交線，F(xiàn)AAD，F(xiàn)A平面ABCD，設(shè)h為點M到平面ADN的距離，則hAFx，思維升華思維升華垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下(1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)換.(2)證明線線垂直常用的方法：利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；勾股定理；線面垂直的性質(zhì)，即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l，ala.跟蹤演練跟蹤演練2(2017北京市海淀區(qū)適應(yīng)性考試)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，且PA ，E是側(cè)棱PA上的動點.(1)求四棱錐PABCD的體積；解解PA平面ABCD，解答(2)如果E是PA的中點，求證：PC平面BDE；證明證明連接AC交BD于O，連接OE.四邊形ABCD是正方形，O是AC的中點，又E是PA的中點，PCOE，PC 平面BDE, OE平面BDE，PC平面BDE.證明(3)是否無論點E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BDCE ？證明你的結(jié)論.解解無論點E在任何位置，都有BDCE.證明如下：四邊形ABCD是正方形，BDAC，PA底面ABCD，且BD平面ABCD，BDPA，又ACPAA，AC，PA平面PAC，BD平面PAC.無論點E在任何位置，都有CE平面PAC，無論點E在任何位置，都有BDCE.解答熱點三平面圖形的折疊問題平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化，有的沒有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.一般地，在翻折后還在一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化，解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類幾何量的度量值，這是化解翻折問題的主要方法.例例3(2017孝義質(zhì)檢)如圖(1)，在五邊形ABCDE中，EDEA，ABCD，CD2AB，EDC150.如圖(2)，將EAD沿AD折到PAD的位置，得到四棱錐PABCD.點M為線段PC的中點，且BM平面PCD.(1)求證：平面PAD平面ABCD；證明四邊形ABMN為平行四邊形，ANBM，又BM平面PCD，AN平面PCD，ANPD，ANCD.由EDEA，即PDPA及N為PD的中點，可得PAD為等邊三角形，PDA60，又EDC150，CDA90，CDAD，又ANADA，AN平面PAD，AD平面PAD，CD平面PAD，又CD平面ABCD，平面PAD平面ABCD.解解設(shè)四棱錐PABCD的高為h，四邊形ABCD的面積為S，解答思維升華思維升華思維升華(1)折疊問題中不變的數(shù)量和位置關(guān)系是解題的突破口.(2)存在探索性問題可先假設(shè)存在，然后在此前提下進行邏輯推理，得出矛盾或肯定結(jié)論.跟蹤演練跟蹤演練3(2017屆四川省成都市九校模擬)如圖，在直角梯形ABCD中， ADBC, ABBC, BDDC，點E是BC邊的中點，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，連接AE, AC, DE, 得到如圖所示的空間幾何體.(1)求證：AB平面ADC；證明證明證明因為平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，又BDDC，DC平面BCD，所以DC平面ABD.因為AB平面ABD，所以DCAB.又ADAB，DCADD，AD，DC平面ADC，所以AB平面ADC.解答故BC3.由于AB平面ADC，ABAC，E為BC的中點，因為DC平面ABD，設(shè)點B到平面ADE的距離為d，真題押題精練真題體驗1.(2017全國改編)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是_.答案解析12(1)解析解析對于(1)，作如圖所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QDAB.QD平面MNQQ，QD與平面MNQ相交，直線AB與平面MNQ相交；12對于(2)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB 平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；12對于(3)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB 平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；12對于(4)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDNQ，ABNQ，又AB 平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.122.(2017江蘇)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；證明證明在平面ABD內(nèi)，因為ABAD，EFAD，所以ABEF.又EF 平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.12證明(2)ADAC.證明證明因為平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因為AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又AC平面ABC，所以ADAC.12證明押題預(yù)測答案解析押題依據(jù)押題依據(jù)空間兩條直線、兩個平面之間的平行與垂直的判定是立體幾何的重點內(nèi)容，也是高考命題的熱點.此類題常與命題的真假性、充分條件和必要條件等知識相交匯，意在考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力.121.不重合的兩條直線m，n分別在不重合的兩個平面，內(nèi)，下列為真命題的是A.mnm B.mnC.m D.mn押題依據(jù)12解析解析構(gòu)造長方體，如圖所示.因為A1C1AA1，A1C1平面AA1C1C，AA1平面AA1B1B，但A1C1與平面AA1B1B不垂直，所以平面AA1C1C與平面AA1B1B不垂直.所以選項A，B都是假命題.CC1AA1，但平面AA1C1C與平面AA1B1B相交而不平行，所以選項D為假命題.“若兩平面平行，則一個平面內(nèi)任何一條直線必平行于另一個平面”是真命題，故選C.2.如圖(1)，在正ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點，且BEAF2CF.點P為邊BC上的點，將AEF沿EF折起到A1EF的位置，使平面A1EF平面BEFC，連接A1B，A1P，EP，如圖(2)所示.(1)求證：A1EFP；押題依據(jù)押題依據(jù)以平面圖形的翻折為背景，探索空間直角與平面位置關(guān)系的考題創(chuàng)新性強，可以考查考生的空間想象能力和邏輯推理能力，預(yù)計將成為今年高考的命題形式.12證明押題依據(jù)證明證明在正ABC中，取BE的中點D，連接DF，如圖所示.因為BEAF2CF，所以AFAD，AEDE，而A60，所以ADF為正三角形.又AEDE，所以EFAD.所以在題圖(2)中A1EEF，又A1E平面A1EF，平面A1EF平面BEFC，且平面A1EF平面BEFCEF，所以A1E平面BEFC.因為FP平面BEFC，所以A1EFP.12(2)若BPBE，點K為棱A1F的中點，則在平面A1FP上是否存在過點K的直線與平面A1BE平行，若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由.解答12解解在平面A1FP上存在過點K的直線與平面A1BE平行.理由如下：如題圖(1)，在正ABC中，因為BPBE，BEAF，所以BPAF，所以FPAB，所以FPBE.如圖所示，取A1P的中點M，連接MK，因為點K為棱A1F的中點，所以MKFP.因為FPBE，所以MKBE.因為MK 平面A1BE，BE平面A1BE，所以MK平面A1BE.故在平面A1FP上存在過點K的直線MK與平面A1BE平行.12