2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質 3.1.1 函數(shù)及其表示方法 第1課時 函數(shù)的概念學案 新人教B版必修第一冊

第1課時函數(shù)的概念(教師獨具內(nèi)容)課程標準：1.在初中用變量之間的依賴關系描述函數(shù)的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用.2.了解構成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域教學重點：函數(shù)的概念；符號“yf(x)”的含義；函數(shù)的定義域和值域的求法教學難點：符號“yf(x)”的含義及已知函數(shù)解析式求函數(shù)定義域的方法.【情境導學】(教師獨具內(nèi)容)夏天，大家都喜歡吃西瓜，而西瓜的價格往往與西瓜的重量相關某人到一個水果店去買西瓜，價格表上寫的是：6斤以下，每斤0.4元；6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元此人挑了一個西瓜，稱重后店主說5元1角，1角就不要了，給5元吧可這位聰明的顧客馬上說，你不僅沒少要，反而多收了我的錢當顧客講出理由，店主只好承認了錯誤，照實收了錢同學們，你知道顧客是怎么曉得店主坑人的嗎？【知識導學】知識點一函數(shù)的概念(1)函數(shù)的傳統(tǒng)定義在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么就稱y是x的函數(shù)(2)函數(shù)的近代定義一般地，給定兩個非空實數(shù)集A與B，以及對應關系f，如果對于集合A中的每一個實數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的實數(shù)y與x對應，則稱f為定義在集合A上的一個函數(shù)，記作yf(x)，xA.知識點二 函數(shù)的定義域和值域在函數(shù)yf(x)，xA中，x稱為自變量，y稱為因變量，自變量取值的范圍(即數(shù)集A)稱為這個函數(shù)的定義域，所有函數(shù)值組成的集合yB|yf(x)，xA稱為函數(shù)的值域知識點三 確定函數(shù)的兩個要素(1)定義域；(2)對應關系知識點四 兩個函數(shù)相同的條件(1)定義域相同；(2)對應關系相同知識點五 求函數(shù)定義域常用的依據(jù)(1)分式中分母不能為零；(2)二次根式中的被開方數(shù)要大于等于零【新知拓展】對函數(shù)概念的理解(1)A，B都是非空實數(shù)集，因此定義域或值域為空集的函數(shù)不存在，如y就不是函數(shù)(2)集合A就是定義域，因為給定A中的每一個x值都有唯一的y值與之對應(3)集合B不一定是函數(shù)的值域，即B中的元素可以沒有與之對應者，若將函數(shù)的值域記為C，容易得到CB.(4)符號“yf(x)”表示“x對應的函數(shù)值”，f表示對應關系(5)“f(x)”是一個整體，不可分開，也不能理解成“f·x”(6)f(a)(aA)與f(x)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當xa時的函數(shù)值，是值域內(nèi)的一個數(shù)值，是常量；f(x)表示自變量為x的函數(shù)，表示的是變量例如，f(x)2x表示函數(shù)；當x3時，f(3)6，是一個常量(7)函數(shù)的概念中強調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，這是因為函數(shù)定義中明確要求是對于非空實數(shù)集A中的任意一個(任意性)數(shù)x，在非空實數(shù)集B中都有(存在性)唯一確定(唯一性)的實數(shù)y和它對應，這“三性”只要有一個不滿足，便不能構成函數(shù)1判一判(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)值域中的每一個實數(shù)都有定義域中的實數(shù)與之對應()(2)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合()(3)定義域和對應關系確定后，函數(shù)值域也就確定了()(4)若函數(shù)的定義域只有一個元素，則值域也只有一個元素()答案(1)(2)×(3)(4) 2做一做(1)對于函數(shù)f：AB，若aA，則下列說法錯誤的是()Af(a)BBf(a)有且只有一個C若f(a)f(b)，則abD若ab，則f(a)f(b)(2)已知f(x)x21，則ff(1)()A2 B3 C4 D5(3)求下列函數(shù)的定義域：f(x)；f(x).答案(1)C(2)D(3)x|x8題型一 求函數(shù)的定義域例1求下列函數(shù)的定義域：(1)y2x3；(2)y；(3)y.解(1)函數(shù)y2x3的定義域為R.(2)要使函數(shù)有意義，則即所以函數(shù)y的定義域是1,2)(2，)(3)要使函數(shù)有意義，則即即x1，所以函數(shù)y的定義域為1，)金版點睛求函數(shù)定義域的步驟與方法(1)求函數(shù)定義域的一般步驟列出使函數(shù)解析式有意義的自變量的不等式(組)；解不等式(組)；把解集表示成集合或區(qū)間的形式(2)列不等式(組)的依據(jù)分母不為零；偶次根式中被開方數(shù)大于或等于零；零指數(shù)冪的底數(shù)不為零幾部分組成：若yf(x)是由幾部分數(shù)學式子的和、差、積、商組成的形式，定義域是使各部分都有意義的集合的交集(3)定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示若用區(qū)間表示，不同區(qū)間應該用“”連接求下列函數(shù)的定義域：(1)y；(2)y；(3)y；(4)y(12x)0.解(1)要使函數(shù)式有意義，即分式有意義，則x10，x1.故函數(shù)的定義域為x|x1(2)要使函數(shù)式有意義，則即所以x1，從而函數(shù)的定義域為x|x1(3)因為當x210，即x±1時，有意義，所以函數(shù)的定義域是x|x±1(4)12x0，即x，函數(shù)的定義域為.題型二 求函數(shù)值或求函數(shù)的值域例2(1)已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR)求f(2)，g(2)的值；求fg(3)的值；(2)求下列函數(shù)的值域：yx1，x1,2,3,4,5；yx22x3，x0,3)；y；y2x.解(1)f(x)，f(2).g(x)x22，g(2)2226.g(3)32211，fg(3)f(11).(2)(觀察法)因為x1,2,3,4,5，分別代入求值，可得函數(shù)的值域為2,3,4,5,6(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，再結合函數(shù)的圖像(如圖)，可得函數(shù)的值域為2,6)(分離常數(shù)法)y2，顯然0，所以y2.故函數(shù)的值域為(，2)(2，)(換元法)設t，則xt21，且t0，所以y2(t21)t22，由t0，再結合函數(shù)的圖像(如右圖)，可得函數(shù)的值域為.金版點睛求函數(shù)值域的原則及常用方法(1)原則：先確定相應的定義域；再根據(jù)函數(shù)的具體形式通過運算確定其值域(2)常用方法觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察法得到配方法：是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法換元法：運用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域對于f(x)axb(其中a，b，c，d為常數(shù)，且ac0)型的函數(shù)常用換元法分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數(shù)”類的形式，便于求值域求下列函數(shù)的值域：(1)y；(2)yx24x6，x1,5)解(1)y1，且0，函數(shù)y的值域為y|y1(2)配方，得y(x2)22.由x1,5)，結合函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的值域為y|2y<11題型三 相同函數(shù)的判斷例3下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是()Af(x)x，g(x)()2Bf(x)x21，g(t)t21Cf(x)1，g(x)Df(x)x，g(x)|x|解析A中，由于f(x)x的定義域為R，g(x)()2的定義域為x|x0，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數(shù)B中，函數(shù)的定義域、值域和對應關系都相同，所以它們是同一函數(shù)C中，由于f(x)1的定義域為R，g(x)的定義域為x|x0，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數(shù)D中，兩個函數(shù)的定義域相同，但對應關系不同，所以它們不是同一函數(shù)答案B金版點睛判斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)的條件(1)判斷兩個函數(shù)是同一函數(shù)的準則是兩個函數(shù)的定義域和對應關系分別相同定義域、對應關系兩者中只要有一個不相同就不是同一函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一函數(shù)(2)函數(shù)是兩個非空實數(shù)集之間的對應關系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的另外，在化簡解析式時，必須是等價變形下列函數(shù)中哪個與函數(shù)yx相同？(1)y()2；(2)y；(3)y；(4)y.解(1)y()2x(x0)，y0，與函數(shù)yx定義域不同且值域不同，所以不相同(2)yx(xR)，yR，與函數(shù)yx對應關系相同，定義域和值域也都相同，所以相同(3)y|x|y0；與函數(shù)yx值域不同，且當x<0時，它的對應關系與函數(shù)yx不相同，所以不相同(4)y的定義域為x|x0，與函數(shù)yx的定義域不相同，所以不相同.題型四 求抽象函數(shù)的定義域例4(1)已知函數(shù)f(x)的定義域為1,1，求函數(shù)f(2x1)的定義域；(2)已知函數(shù)f(x1)的定義域為(1,4，求函數(shù)f(x)的定義域解(1)函數(shù)f(x)的定義域為1,1，函數(shù)f(2x1)中自變量x的取值應滿足12x11，即0x1.函數(shù)f(2x1)的定義域為0,1(2)因為函數(shù)f(x1)的定義域為(1,4，即x(1,4，0<x13，令x1t，則函數(shù)f(t)的定義域為(0,3，即函數(shù)f(x)的定義域為(0,3變式探究若函數(shù)f(x1)的定義域為(1,1)，如何求函數(shù)f(2x1)的定義域？解函數(shù)f(x1)的定義域為(1,1)，1<x<1，則2<x1<0，令x1t，函數(shù)f(t)的定義域為(2,0)，即函數(shù)f(x)的定義域為(2,0)由2<2x1<0，得<x<.函數(shù)f(2x1)的定義域為.金版點睛求抽象函數(shù)定義域的方法(1)當對應關系f所施加的對象與解析式中表述的對象不一致時，應將左、右兩端統(tǒng)一，也可以用“換元法”，將較難配湊的式子化簡(2)若已知函數(shù)f(x)的定義域為a，b，則函數(shù)fg(x)的定義域應由不等式ag(x)b解出即得若已知函數(shù)fg(x)的定義域為a，b，則函數(shù)g(x)在xa，b時的值域即為所求函數(shù)f(x)的定義域若函數(shù)f(x)的定義域為3,5，求函數(shù)(x)f(x)f(x)的定義域解由函數(shù)f(x)的定義域為3,5，得即解得3x3.所以函數(shù)(x)的定義域為3,31函數(shù)f(x)(x2)0的定義域為()A1，) B1,2)(2，)C(1，) D(1,2)(2，)答案D解析由題意，知解得x>1，且x2.所以函數(shù)f(x)的定義域為(1,2)(2，)2如果函數(shù)yx22x的定義域為0,1,2,3，那么其值域為()A1,0,3 B0,1,2,3Cy|1y3 Dy|0y3答案A解析當x取0,1,2,3時，y的值分別為0，1,0,3，則其值域為1,0,3故選A.3下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是()Ay2x1與y2m1By與y2x1Cy1與yx0Dy與y()2答案A解析B中兩函數(shù)解析式不同，值域不同C，D中的兩個函數(shù)的定義域不相同不表示同一函數(shù)，A中的兩個函數(shù)的定義域與對應關系都相同，表示同一函數(shù)故選A.4已知集合Ax|0x2，By|0y4，則下列對應關系，能夠構成以A為定義域，B為值域的函數(shù)的是_(填寫滿足條件的所有函數(shù)的序號)y2x；yx2；y|42x|；yx5；y(x2)2.答案解析判斷能否構成以A為定義域，B為值域的函數(shù)，就是看是否符合函數(shù)的定義對于y2x，當定義域為Ax|0x2時，顯然其值域為By|0y4，故滿足條件；顯然同樣也滿足條件；對于yx5，若其定義域為Ax|0x2，則其值域為y|5y7，因此不滿足條件故填.5已知函數(shù)f(x)x2x1.(1)求f(2)，f，f(a1)；(2)若f(x)5，求x.解(1)f(2)22215，f1，f(a1)(a1)2(a1)1a23a1.(2)f(x)x2x15，x2x60，x2或x3. 10