2019-2020學年高中數(shù)學 第2章 函數(shù) 1 生活中的變量關系 2 對函數(shù)的進一步認識 2.1 函數(shù)概念學案 北師大版必修1

21函數(shù)概念學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1.通過實例，了解生活中的變量關系(易混點)2理解函數(shù)的概念及函數(shù)的三要素(重點)3會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域(重點、難點)4能夠正確使用區(qū)間表示某些函數(shù)的定義域和值域(重點、難點)1.通過學習函數(shù)的概念，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)2通過求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).1生活中的變量關系閱讀教材P23P25內(nèi)容，完成下列問題并非有依賴關系的兩個變量都有函數(shù)關系只有滿足對于其中一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一確定的值與之對應時，才稱它們之間具有函數(shù)關系2函數(shù)的概念閱讀教材P26P27“值域是s|s0”之間的部分，完成下列問題(1)定義給定兩個非空數(shù)集A和B，如果按照某個對應關系f，對于集合A中任何一個數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對應，那么就把對應關系f叫作定義在集合A上的函數(shù)(2)記法f：AB，或yf(x)，xA.(3)名稱x叫作自變量，集合A叫作函數(shù)的定義域集合y|yf(x)，xA叫作函數(shù)的值域，稱y是x的函數(shù)思考：函數(shù)yx21(xR)與函數(shù)yt21(tR)是同一函數(shù)嗎？提示是同一函數(shù)，這兩個函數(shù)定義域相同，對應關系也相同因此，這兩個函數(shù)是同一函數(shù)3區(qū)間的概念閱讀教材P27從“研究函數(shù)常常用到區(qū)間的概念”“例1”以上內(nèi)容，完成下列問題(1)區(qū)間的定義條件：a<b(a，b為實數(shù))結(jié)論：閉區(qū)間：符號表示a，b，數(shù)軸表示為開區(qū)間：符號表示(a，b)，數(shù)軸表示為半開半閉區(qū)間：符號表示a，b)或(a，b，數(shù)軸表示為或(2)無窮大區(qū)間實數(shù)集R也可以用區(qū)間表示為(，)讀法：“”讀作“負無窮大”，“”讀作“正無窮大”無窮大區(qū)間的表示：定義x|xax|x>ax|xax|x<a符號a，)(a，)(，a(，a)幾何表示1下列等式中，y不是x的函數(shù)關系的是()Ay2x ByCyx25 Dy2x25D選項A、B、C符合函數(shù)定義對于選項D，當x0時，y±.故y不是x的函數(shù)2函數(shù)y的定義域為()Ax|x1 Bx|x0Cx|x1，或x0 Dx|0x1D依題意，得解得0x1.3集合x|x0，且x1用區(qū)間表示為_答案 0,1)(1，)4若函數(shù)f(x)2x23x5，則f(2)_.9f(2)2×223×259.生活中的變量關系及判斷【例1】下列兩個變量之間是否存在依賴關系，其中哪些是函數(shù)關系？(1)圓的面積與其半徑之間的關系；(2)家庭收入與消費支出之間的關系；(3)人的身高與視力之間的關系；(4)價格不變的情況下，商品銷售額和銷售量之間的關系思路探究當一個變量隨著另一個變量的變化而變化時，這兩個變量之間存在依賴關系；存在依賴關系的兩個變量，對于一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一確定的值與之對應時，這兩個變量具有函數(shù)關系解(1)圓的面積隨圓的半徑的變化而變化，所以圓的面積與其半徑之間存在依賴關系，又因為對每一個半徑的值，都有唯一的圓的面積與之對應，故圓的面積是半徑的函數(shù)(2)消費支出隨家庭收入的變化而變化，消費支出與家庭收入之間存在依賴關系，但消費支出還要受到其他因素的影響，二者之間不是函數(shù)關系(3)人的身高與視力之間不存在依賴關系(4)價格不變的情況下，商品銷售額隨銷售量的變化而變化，二者存在依賴關系，且商品銷售額是銷售量的函數(shù)綜上可知，(1)(4)中的變量存在依賴關系，且是函數(shù)關系；(2)中的變量存在依賴關系，不是函數(shù)關系；(3)中的變量不存在依賴關系1判斷兩個變量之間是否存在依賴關系，只需看一個變量發(fā)生變化時，另一個變量是否會隨之變化2判斷兩個具有依賴關系的變量是否是函數(shù)關系，關鍵是看二者之間的關系是否具有確定性，即驗證對于一個變量的每一個值，另一個變量是否都有唯一確定的值與之對應1下列變量之間是否具有依賴關系？其中哪些是函數(shù)關系？正方形的面積和它的邊長之間的關系；姚明罰球次數(shù)與進球次數(shù)之間的關系；施肥量與作物產(chǎn)量之間的關系；汽車從A地到B地所用時間與汽車速度之間的關系解中兩個變量都存在依賴關系，其中是函數(shù)關系，不是函數(shù)關系函數(shù)的概念【例2】(1)設Mx|0x2，Ny|0y2，給出下列四個圖形：能表示從集合M到集合N的函數(shù)關系的個數(shù)是()A0 B1C2 D3(2)下圖中能表示函數(shù)關系的是_(1)B(2)(1)中，因為在集合M中，當1<x2時，在N中無元素與之對應，所以不是；中，對于集合M中的任意一個數(shù)x，在N中都有唯一的數(shù)與之對應，所以是；中，x2對應元素y3N，所以不是；中，當x1時，在N中有兩個元素與之對應，所以不是因此只有是故選B.(2)由于中的2與1和3同時對應，故不是函數(shù)(1)判斷所給對應是否為函數(shù)的方法先觀察兩個數(shù)集A，B是否非空.驗證對應關系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性.(2)根據(jù)圖形判斷對應是否為函數(shù)的步驟任取一條垂直于x軸的直線l.在定義域內(nèi)平行移動直線l.若l與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù).2下列各式是否表示y是x的函數(shù)關系？如果是，寫出這個函數(shù)的解析式；若不是，請說明原因(1)5x2y1(xR)；(2)xy3(x0)；(3)x2y21(x(1,0)；(4)x3y31(xR)解(1)5x2y1(xR)是函數(shù)關系，解析式為yx；(2)xy3(x0)是函數(shù)關系，解析式為y(x0)；(3)x2y21(x(1,0)不是函數(shù)關系，因?qū)τ趚(1,0)的任意一個值，對應的y值有兩個；(4)x3y31(xR)是函數(shù)關系，解析式為y.求函數(shù)的定義域【例3】求下列函數(shù)的定義域：(1)y；(2)y.思路探究求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)表達式有意義的自變量的取值范圍，可通過列不等式或不等式組求解解(1)依題意解得1x1.所以，函數(shù)y的定義域為1,1(2)依題意，解得x1，且x0，且x1.所以，函數(shù)y的定義域為(，1)(1,0)(0,11當函數(shù)是由解析式給出時，求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍(1)偶次根號下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能為0；(3)零次冪的底數(shù)不為0；(4)如果函數(shù)有實際背景，那么除符合上述要求外，還要符合實際情況2注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示3函數(shù)y的定義域是()Ax|x1 Bx|x0Cx|x0，或x1 Dx|0x1A依題意1x0，解得x1.所以，函數(shù)y的定義域為x|x1求函數(shù)值與值域探究問題1已知f(x)，如何求f？提示：f.2已知f(x)，若f(x)2，如何求x?提示：由f(x)2，得2，解得x2.3已知f(x)，如何求ff(x)?提示：ff(x).已知f(x)(xR，x2)，g(x)x4(xR)(1)求f(1)，g(1)的值；(2)求fg(x)的值思路探究(1)將x1分別代入f(x)與g(x)的函數(shù)表達式中求出函數(shù)值(2)將xx4代入f(x)的解析式中，求出fg(x)解(1)f(1)1，g(1)145.(2)fg(x)f(x4)(xR，且x2)1(變結(jié)論)在本例條件下，求gf(1)的值及f(2x1)的表達式解gf(1)g(1)145.f(2x1).2(變條件、變結(jié)論)若將本例g(x)的定義域改為0,1,2,3，求g(x)的值域解因為g(x)x4，x0,1,2,3，所以g(0)4，g(1)5，g(2)6，g(3)7.所以g(x)的值域為4,5,6,7(1)求函數(shù)值的方法先要確定出函數(shù)的對應關系f的具體含義，然后將變量取值代入解析式計算，對于fg(x)型的求值，按“由內(nèi)到外”的順序進行，要注意fg(x)與gf(x)的區(qū)別.(2)求函數(shù)值域的常用方法觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到；配方法：此法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，即把函數(shù)通過配方轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方法；分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域；換元法：即運用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域.1對函數(shù)相等的概念的理解(1)函數(shù)有三個要素：定義域、值域、對應關系函數(shù)的定義域和對應關系共同確定函數(shù)的值域，因此當且僅當兩個函數(shù)的定義域和對應關系都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)(2)定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們不一定是同一函數(shù)，因為函數(shù)對應關系不一定相同如yx與y3x的定義域和值域都是R，但它們的對應關系不同，所以是兩個不同的函數(shù)2區(qū)間實質(zhì)上是數(shù)軸上某一線段或射線上的所有點所對應的實數(shù)的取值集合，即用端點所對應的數(shù)、“”(正無窮大)、“”(負無窮大)、方括號(包含端點)、小圓括號(不包含端點)等來表示的部分實數(shù)組成的集合如x|a<xb(a，b，x|xb(，b是數(shù)集描述法的變式.1思考辨析(1)數(shù)學成績與物理成績的關系是函數(shù)關系()(2)根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的多個x可以對應同一個y值()(3)在函數(shù)f：AB中，值域即集合B.()答案(1)×(2)(3)×2已知f(x)x21，則ff(1)_.5f(1)(1)212，ff(1)f(2)2215.3函數(shù)y的定義域是_x|x±1由x210，得x±1.所以函數(shù)y的定義域為x|x±14已知函數(shù)f(x).(1)求f(2)和ff(2)；(2)若f(x)，求x；(3)求函數(shù)f(x)的值域解(1)f(2)，ff(2)f.(2)由f(x)，得，x23，x±.(3)f(x)1.x211，2<0，11<1.函數(shù)f(x)的值域為1,1)- 8 -