2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 章末復習教學案 新人教A版必修第一冊

第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 知識系統(tǒng)整合 規(guī)律方法收藏1.同一函數(shù)的判定方法(1)定義域相同；(2)對應關(guān)系相同(兩點必須同時具備)2.函數(shù)解析式的求法(1)定義法；(2)換元法；(3)待定系數(shù)法；(4)解方程(組)法；(5)賦值法3.函數(shù)的定義域的求法(1)已給出函數(shù)解析式：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合(2)實際問題：求函數(shù)的定義域既要考慮解析式有意義，還應考慮使實際問題有意義(3)復合函數(shù)問題若函數(shù)f(x)的定義域為a，b，函數(shù)fg(x)的定義域應由ag(x)b解出；若函數(shù)fg(x)的定義域為a，b，則函數(shù)f(x)的定義域為函數(shù)g(x)在a，b上的值域注意：函數(shù)f(x)中的x與函數(shù)fg(x)中的g(x)地位相同定義域所指永遠是x的范圍4.函數(shù)值域的求法(1)配方法(二次或四次)；(2)判別式法；(3)換元法；(4)函數(shù)的單調(diào)性法5.判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)設(shè)x1，x2是所研究區(qū)間內(nèi)任意兩個自變量的值，且x1<x2；(2)判定f(x1)與f(x2)的大?。鹤鞑畋容^或作商比較；(3)根據(jù)單調(diào)性定義下結(jié)論6.函數(shù)奇偶性的判定方法首先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再看函數(shù)f(x)與f(x)之間的關(guān)系：若函數(shù)f(x)f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若函數(shù)f(x)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；若f(x)f(x)0，則f(x)為偶函數(shù)；若f(x)f(x)0，則f(x)為奇函數(shù)；若1(f(x)0)，則f(x)為偶函數(shù)；若1(f(x)0)，則f(x)為奇函數(shù)7.冪函數(shù)的圖象特征(1)冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)，至于是否在第二、三象限內(nèi)出現(xiàn)，則要看冪函數(shù)的奇偶性(2)冪函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的變化規(guī)律為：在第一象限內(nèi)直線x1的右側(cè)，圖象從下到上，相應的指數(shù)由小到大，直線x1的左側(cè)，圖象從下到上，相應的指數(shù)由大到小8.函數(shù)的應用解決函數(shù)應用題關(guān)鍵在于理解題意，提高閱讀能力一方面要加強對常見函數(shù)模型的理解，弄清其產(chǎn)生的實際背景，把數(shù)學問題生活化；另一方面，要不斷拓寬知識面，增加間接的生活閱歷，諸如了解一些物價、行程、產(chǎn)值、利潤、環(huán)保等實際問題，及有關(guān)角度、面積、體積、造價的問題，培養(yǎng)實際問題數(shù)學化的意識和能力 學科思想培優(yōu)一、函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是指函數(shù)yf(x)中自變量x的取值范圍確定函數(shù)的定義域是進一步研究函數(shù)其他性質(zhì)的前提，而研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)學問題是中學數(shù)學的重要組成部分所以熟悉函數(shù)定義域的求法，對于函數(shù)綜合問題的解決起著至關(guān)重要的作用典例1(1)函數(shù)f(x)(3x1)0的定義域是()A. B.C. D.(2)已知函數(shù)yf(x1)的定義域是2,3，則yf(2x1)的定義域是()A. B1,4C.5,5 D3,7解析(1)由題意，得解得x<1且x.(2)設(shè)ux1，由2x3，得1x14，所以yf(u)的定義域為1,4再由12x14，解得0x，即函數(shù)yf(2x1)的定義域是.答案(1)D(2)A二、分段函數(shù)問題所謂分段函數(shù)是指在定義域的不同子區(qū)間上的對應關(guān)系不同的函數(shù)分段函數(shù)是一個函數(shù)而非幾個函數(shù)，其定義域是各子區(qū)間的并集，值域是各段上值域的并集分段函數(shù)求值等問題是高考常考的問題典例2已知實數(shù)a0，函數(shù)f(x)若f(1a)f(1a)，則a的值為_解析當1a<1，即a>0時，此時a1>1，由f(1a)f(1a)，得2(1a)a(1a)2a，解得a(舍去)；當1a>1，即a<0時，此時a1<1，由f(1a)f(1a)，得(1a)2a2(1a)a，解得a，符合題意綜上所述，a.答案三、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，某些數(shù)學問題，通過函數(shù)的單調(diào)性可將函數(shù)值間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的關(guān)系進行研究，從而達到化繁為簡的目的，特別是在比較大小、證明不等式、求值或求最值、解方程(組)等方面應用十分廣泛奇偶性是函數(shù)的又一重要性質(zhì)，利用奇偶函數(shù)圖象的對稱性可以縮小問題研究的范圍，常能使求解的問題避免復雜的討論典例3定義在(1,1)上的函數(shù)f(x)滿足：對任意的x，y(1,1)，均有f(x)f(y)f；當x(1,0)時，f(x)>0.(1)判定函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)判定函數(shù)f(x)在(1,0)上的單調(diào)性解(1)令xy0，得2f(0)f(0)，f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)f(0)0，f(x)f(x)，f(x)在(1,1)上是奇函數(shù)(2)設(shè)1<x1<x2<0，則x2x1>0.f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f.1<x1<x2<0，1x1>0,1x2>0，且0<x1x2<1，0<1x1x2<1，>0.x2x11x1x2(x21)x1(x21)(1x1)(x21)<0，0<x2x1<1x1x2，0<<1.x(1,0)時，f(x)>0，且f(x)為奇函數(shù)，x(0,1)時，f(x)<0，f(x2)f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)f(x)在(1,0)上單調(diào)遞減四、函數(shù)圖象及應用函數(shù)的圖象是函數(shù)的重要表示方法，它具有明顯的直觀性，通過函數(shù)的圖象能夠掌握函數(shù)重要的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性等反之，掌握好函數(shù)的性質(zhì)，有助于函數(shù)圖象正確地畫出函數(shù)圖象廣泛應用于解題過程中，利用數(shù)形結(jié)合解題具有直觀、明了、易懂的優(yōu)點典例4設(shè)函數(shù)f(x)x22|x|1(3x3)(1)證明：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；(2)畫出這個函數(shù)的圖象；(3)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f(x)的單調(diào)性；(4)求函數(shù)的值域解(1)證明：函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且f(x)(x)22|x|1x22|x|1f(x)，即f(x)f(x)，f(x)是偶函數(shù)(2)當0x3時，f(x)x22x1(x1)22.當3x<0時，f(x)x22x1(x1)22.即f(x)根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如下圖(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為3，1)，1,0)，0,1)，1,3f(x)在區(qū)間3，1)和0,1)上單調(diào)遞減，在1,0)和1,3上單調(diào)遞增(4)當0x3時，函數(shù)f(x)(x1)22的最小值為2，最大值為f(3)2；當3x<0時，函數(shù)f(x)(x1)22的最小值為2，最大值為f(3)2.故函數(shù)f(x)的值域為2,2.五、冪函數(shù)的圖象問題對于給定的冪函數(shù)圖象，能從函數(shù)圖象的分布、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)注意圖象與函數(shù)解析式中指數(shù)的關(guān)系，能夠根據(jù)圖象比較指數(shù)的大小 典例5如圖是冪函數(shù)yxa，yxb，yxc，yxd在第一象限內(nèi)的圖象，則a，b，c，d的大小關(guān)系為()A.a<b<c<dB.a<b<d<cC.b<a<c<dD.b<a<d<c解析由冪函數(shù)的圖象特征可知，在第一象限內(nèi)直線x1的右側(cè)，圖象從下到上，相應的指數(shù)由小到大故選A.答案A六、函數(shù)模型及其應用建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型解決實際問題的步驟：(1)對實際問題進行抽象概括，確定變量之間的主被動關(guān)系，并用x，y分別表示；(2)建立函數(shù)模型，將變量y表示為x的函數(shù)，此時要注意函數(shù)的定義域；(3)求解函數(shù)模型，并還原為實際問題的解典例6已知A，B兩城市相距100 km，在兩地之間距離A城市x km的D處修建一垃圾處理廠來解決A，B兩城市的生活垃圾和工業(yè)垃圾為保證不影響兩城市的環(huán)境，垃圾處理廠與市區(qū)距離不得少于10 km.已知垃圾處理費用和距離的平方與垃圾量之積的和成正比，比例系數(shù)為0.25.若A城市每天產(chǎn)生的垃圾量為20 t，B城市每天產(chǎn)生的垃圾量為10 t(1)求x的取值范圍；(2)把每天的垃圾處理費用y表示成x的函數(shù)；(3)垃圾處理廠建在距離A城市多遠處，才能使每天的垃圾處理費用最少？解(1)由題意可得x10,100x10.所以10x90.所以x的取值范圍為10,90(2)由題意，得y0.2520x210(100x)2，即yx2500x25000(10x90)(3)由yx2500x250002(10x90)，則當x時，y最小即當垃圾處理廠建在距離A城市 km時，才能使每天的垃圾處理費用最少- 7 -