2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第2節(jié) 簡單幾何體的表面積與體積學(xué)案 北師大版

第2節(jié)簡單幾何體的表面積與體積最新考綱了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.知 識(shí) 梳 理1.多面體的表(側(cè))面積多面體的各個(gè)面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和.2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺(tái)側(cè)(r1r2)l3.簡單幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VS底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VS底h臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積S側(cè)S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.正方體與球的切、接常用結(jié)論正方體的棱長為a，球的半徑為R，(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2Ra；(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2Ra；(3)若球與正方體的各棱相切，則2Ra.2.長方體的共頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R.3.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為31.診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)錐體的體積等于底面面積與高之積.()(2)球的體積之比等于半徑比的平方.()(3)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.()(4)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長為a，則Ra.()解析(1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確.(2)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確.答案(1)×(2)×(3)(4)2.(教材練習(xí)改編)已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm解析由題意，得S表r2rlr2r·2r3r212，解得r24，所以r2(cm).答案B3.(2016·全國卷)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A.12 B. C.8 D.4解析設(shè)正方體的棱長為a，則a38，解得a2.設(shè)球的半徑為R，則2Ra，即R.所以球的表面積S4R212.答案A4.(2017·全國卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A. B. C. D.解析如圖畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心.球半徑ROA1，球心到底面圓的距離為OM.底面圓半徑r，故圓柱體積V·r2·h·×1.答案B5.(2018·西安質(zhì)檢)已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為_m3.解析根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長為2 m，高為1 m的平行四邊形，四棱錐的高為3 m.故該四棱錐的體積V×2×1×32 (m3).答案2考點(diǎn)一簡單幾何體的表面積【例1】 (1)(2016·全國卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A.20 B.24C.28 D.32(2)(2017·全國卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A.10 B.12C.14 D.16解析(1)幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h.由三視圖知r2，c2r4，h4.所以l4.故該幾何體的表面積S表r2chcl416828.(2)由三視圖可畫出直觀圖，該直觀圖各面內(nèi)只有兩個(gè)相同的梯形的面，S梯×(24)×26，S全梯6×212.答案(1)C(2)B規(guī)律方法1.由幾何體的三視圖求其表面積：(1)關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及度量大小.(2)還原幾何體的直觀圖，套用相應(yīng)的面積公式.2.(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.【訓(xùn)練1】 (1)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于()A.82 B.112C.142 D.15(2)(2016·全國卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是()A.17 B.18C.20 D.28解析(1)由三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示.直角梯形斜腰長為，所以底面周長為4，側(cè)面積為2×(4)82，兩底面的面積和為2××1×(12)3.所以該幾何體的表面積為823112.(2)由題知，該幾何體的直觀圖如圖所示，它是一個(gè)球(被過球心O且互相垂直的三個(gè)平面)切掉球所剩的組合體，其表面積是球面面積的和三個(gè)圓面積.設(shè)球的半徑為R，則×R3，R2.故幾何體的表面積S×4R2R217.答案(1)B(2)A考點(diǎn)二簡單幾何體的體積【例2】 (1)如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐AB1DC1的體積為()A.3 B.C.1 D.(2)(2016·山東卷)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為()A. B.C. D.1解析(1)如題圖，在正ABC中，D為BC中點(diǎn)，則有ADAB，又平面BB1C1C平面ABC，ADBC，AD平面ABC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD平面BB1C1C，即AD為三棱錐AB1DC1的底面B1DC1上的高，VAB1DC1SB1DC1·AD××2××1.(2)由三視圖知該四棱錐是底面邊長為1，高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為，從而該幾何體的體積為×12×1××.答案(1)C(2)C規(guī)律方法1.求三棱錐的體積：等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上.2.求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解.3.若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.【訓(xùn)練2】 (1)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則主視圖中的x的值是()A.2 B.C. D.3(2)(2018·鄭州質(zhì)檢)已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的主視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是_.解析(1)由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底(12)×23.Vx·33，解得x3.(2)由題可知，三棱錐每個(gè)面都是腰為2的等腰三角形，由主視圖可得如右俯視圖，且三棱錐高為h1，則體積VSh××1.答案(1)D(2)考點(diǎn)三多面體與球的切、接問題(典例遷移)【例3】 (經(jīng)典母題)(2016·全國卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A.4 B. C.6 D.解析由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.則×6×8×(6810)·r，所以r2.2r43，不合題意.球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大.由2R3，即R.故球的最大體積VR3.答案B【遷移探究】 若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面積.解將直三棱柱補(bǔ)形為長方體ABECA1B1E1C1，則球O是長方體ABECA1B1E1C1的外接球.體對(duì)角線BC1的長為球O的直徑.因此2R13.故S球4R2169.規(guī)律方法1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.2.若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.【訓(xùn)練3】 (1)(2017·全國卷)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9.則球O的表面積為_.(2)(2018·佛山一中月考)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A.36 B.64C.144 D.256解析(1)如圖，連接OA，OB，因?yàn)镾AAC，SBBC，所以O(shè)ASC，OBSC.因?yàn)槠矫鍿AC平面SBC，平面SAC平面SBCSC，且OA平面SAC，所以O(shè)A平面SBC.設(shè)球O的半徑為r，則OAOBr，SC2r，所以VASBC×SSBC×OA××2r×r×rr3，所以r39r3，所以球O的表面積為4r236.(2)因?yàn)锳OB的面積為定值，所以當(dāng)OC垂直于平面AOB時(shí)，三棱錐OABC的體積取得最大值.由×R2×R36，得R6.從而球O的表面積S4R2144.答案(1)36(2)C基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.(2015·全國卷)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛解析設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r8，所以r.所以米堆的體積為V×·r2·5··5(立方尺).故堆放的米約有÷1.6222(斛).答案B2.(2018·北京燕博園研究中心)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A. B.2 C.3 D.8解析由三視圖知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)同底的圓錐.該幾何體的體積V3××12·×12×32.答案B3. (2018·九江聯(lián)考)如右圖所示，某簡單幾何體的主視圖與左視圖相同，則此幾何體的表面積為()A.6 B.C.4 D.2解析此幾何體為一個(gè)組合體，上為一個(gè)圓錐，下為一個(gè)半球組合而成.表面積為S×2×24.答案C4.(2016·全國卷)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()A.1836 B.5418C.90 D.81解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為正方形的斜平行六面體.由題意可知該幾何體底面邊長為3，高為6，所以側(cè)棱長為3.故該幾何體的表面積S32×2(3×6)×2(3×3)×25418.答案B5.(2018·商丘模擬)一塊硬質(zhì)材料的三視圖如圖所示，主視圖和俯視圖都是邊長為10 cm的正方形，將該材料切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑最接近()A.3 cm B.4 cmC.5 cm D.6 cm解析由題意，知該硬質(zhì)材料為三棱柱(底面為等腰直角三角形)，所以最大球的半徑等于左視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑，設(shè)為r cm，則10r10r10.r1053.答案A二、填空題6.(2017·全國卷)長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為_.解析長方體的頂點(diǎn)都在球O的球面上，長方體的體對(duì)角線的長度就是其外接球的直徑.設(shè)球的半徑為R，則2R.球O的表面積為S4R24×14.答案147.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為_.解析設(shè)新的底面半徑為r，由題意得r2·4r2·8×52×4×22×8，解得r.答案8.(2017·江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是_.解析設(shè)球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長為2R.又V1R2·2R2R3，V2R3，所以.答案三、解答題9.(2016·江蘇卷改編)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐PA1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB6 m，PO12 m，則倉庫的容積是多少？解由PO12 m，知O1O4PO18 m.因?yàn)锳1B1AB6 m，所以正四棱錐PA1B1C1D1的體積V錐·A1B·PO1×62×224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積V柱AB2·O1O62×8288(m3)，所以倉庫的容積VV錐V柱24288312(m3).故倉庫的容積是312 m3.10.(2015·全國卷)如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值.解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.(2)如圖，作EMAB，垂足為M，則AMA1E4，EB112，EMAA18.因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故S四邊形A1EHA×(410)×856，S四邊形EB1BH×(126)×872.因?yàn)殚L方體被平面分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為.能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.(2018·衡水中學(xué)調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為()A. B.C.4 D.解析由三視圖知該幾何體為四棱錐，側(cè)面PBC為左視圖，PE平面ABC，E，F(xiàn)分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，底面ABCD是邊長是2的正方形，如圖所示.設(shè)外接球的球心到平面ABCD的距離為h，則h2212(2h)2，h，R2.幾何體的外接球的表面積S4R2.答案B12.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的主視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為1620，則r_.解析該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，如圖.則表面積S×4r2r2(2r)2r·2r(54)r2，又S1620，所以(54)r21620，解得r2.答案213.(2018·沈陽質(zhì)檢)在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACABBC2，且點(diǎn)O為AC中點(diǎn).(1)證明：A1O平面ABC；(2)求三棱錐C1ABC的體積.(1)證明因?yàn)锳A1A1C，且O為AC的中點(diǎn)，所以A1OAC，又平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，且A1O平面AA1C1C，A1O平面ABC.(2)解A1C1AC，A1C1平面ABC，AC平面ABC，A1C1平面ABC，即C1到平面ABC的距離等于A1到平面ABC的距離.由(1)知A1O平面ABC且A1O，VC1ABCVA1ABCSABC·A1O××2××1.14