2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計(jì)數(shù)原理與概率 第59講 幾何概型學(xué)案

第59講幾何概型考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率2了解幾何概型的意義.2017·全國(guó)卷，22017·江蘇卷，7幾何概型主要考查事件發(fā)生的概率與構(gòu)成事件區(qū)域的長(zhǎng)度、角度、面積、體積有關(guān)的實(shí)際問題，注重考查數(shù)形結(jié)合思想和邏輯思維能力.分值：5分1幾何概型如果事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的_長(zhǎng)度(面積或體積)_成比例，而與A的形狀和位置無(wú)關(guān)則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型2幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn)一是_無(wú)限性_，即在一次試驗(yàn)中，基本事件的個(gè)數(shù)可以是無(wú)限的；二是_等可能性_，即每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的因此，用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”，即隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的_圖形面積(體積、長(zhǎng)度)_”與“試驗(yàn)的基本事件所占的_總面積(總體積、總長(zhǎng)度)_”之比來(lái)表示3在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式P(A)_.4幾種常見的幾何概型(1)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題；(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率()(2)相同環(huán)境下兩次隨機(jī)模擬得到的概率的估計(jì)值是相等的(×)(3)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等()(4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()解析 (1)正確由隨機(jī)模擬方法及幾何概型可知，該說(shuō)法正確(2)錯(cuò)誤雖然環(huán)境相同，但是因?yàn)殡S機(jī)模擬得到的是某一次的頻率，所以結(jié)果不一定相等(3)正確由幾何概型的定義知，該說(shuō)法正確(4)正確由幾何概型的定義知，該說(shuō)法正確2在區(qū)間(15,25內(nèi)的所有實(shí)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則這個(gè)實(shí)數(shù)滿足17a20的概率是(C)ABCD解析 a(15,25，P(17a20).3有一杯2 L的水，其中含有1個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從水中取0.1 L水，則小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率為(C)A0.01B0.02C0.05D0.1解析 因?yàn)槿∷请S機(jī)的，而細(xì)菌在2 L水中的任何位置是等可能的，則小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率為P0.05.4已知x是4,4上的一個(gè)隨機(jī)數(shù)，則使x滿足x2x20的概率為(B)ABCD0解析 x2x202x1，則P.5某路公共汽車每5 min發(fā)車一次，某乘客到乘車點(diǎn)時(shí)刻是隨機(jī)的，則他候車時(shí)間不超過3 min的概率是(A)ABCD解析 此題可以看成向區(qū)間0,5內(nèi)均勻投點(diǎn)，求點(diǎn)落入2,5內(nèi)的概率設(shè)A某乘客候車時(shí)間不超過3 min則P(A).一與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型(1)設(shè)線段l是線段L的一部分，向線段L上任投一點(diǎn)，點(diǎn)落在線段l的概率為P.(2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，如扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率，且不可用線段代替，這是兩種不同的度量手段【例1】 (1)(2017·江蘇卷)記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈.在區(qū)間4,5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則xD的概率是.(2)(2016·全國(guó)卷)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是(B)ABCD解析 (1)由6xx20，解得2x3，則D2,3，則所求概率為.(2)由題意得圖：由圖得等車時(shí)間不超過10分鐘的概率為.二與面積有關(guān)的幾何概型與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對(duì)所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計(jì)算，基本方法是數(shù)形結(jié)合【例2】 (1)在區(qū)間1,1內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，則滿足yx21的概率是(D)ABCD(2)(2017·全國(guó)卷)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(B)ABCD解析 (1)如圖滿足yx21的概率為陰影部分面積與正方形面積的比， 1(x21)dx (2x2)dx|，,P.,(2)不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則正方形的面積為4，正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，面積為.由于正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，所以黑色部分的面積為，故此點(diǎn)取自黑色部分的概率為，故選B,三與體積有關(guān)的幾何概型,對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求【例3】 (1)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_1_.(2)在體積為V的三棱錐SABC的棱AB上任取一點(diǎn)P，則三棱錐SAPC的體積大于的概率是_.解析 (1)正方體的體積為2×2×28，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為×r3××13，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為：11.(2)由題意知，三棱錐SABC的高與三棱錐SAPC的高相同作PMAC于M，BNAC于N，則PM，BN分別為APC與ABC的高，所以>，,又，所以，故所求的概率為(即為長(zhǎng)度之比)1把半徑為2的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在半徑為2的圓內(nèi)，現(xiàn)在往該圓內(nèi)任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在星形內(nèi)的概率為(A)A1BCD解析 這是一道幾何概型概率計(jì)算問題星形弧半徑為2，所以點(diǎn)落在星形內(nèi)的概率為P1，故選A2在區(qū)間1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使cos 的值介于0到之間的概率為(A)ABCD解析 在區(qū)間1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為2.1x1，x.由0cos x，得x或x，x1或1x.設(shè)事件A為“cos x的值介于0到之間”，則事件A發(fā)生對(duì)應(yīng)的區(qū)域長(zhǎng)度為.P(A).3在區(qū)間2,2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使1成立的概率為_.解析 在區(qū)間2,2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則2x2，而不等式|x1|x1|1的解集為x.又因?yàn)?x2，故2x，所以使不等式成立的概率為P.4如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為_.解析 根據(jù)題意，可以求得陰影部分的面積為S(x2)dx|，,故該點(diǎn)落在陰影部分的概率為P.易錯(cuò)點(diǎn)幾何概型概念不清,錯(cuò)因分析：對(duì)事件中的幾何元素認(rèn)識(shí)不清晰，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤【例1】 (1)在等腰RtABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，則AMAC的概率為_(2)在等腰RtABC中，過直角頂點(diǎn)C在ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，則AMAC的概率為_解析 (1)這是一個(gè)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型問題，在AB上截取ACAC，于是P(AMAC)P(AMAC).(2)這是一個(gè)與角度有關(guān)的幾何概型問題，在AB上截取ACAC，則ACC67.5°，而ACB90°，于是P(AMAC)P(AMAC).答案 (1)(2)【跟蹤訓(xùn)練1】 (2016·山東卷)在1,1上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線ykx與圓(x5)2y29相交”發(fā)生的概率為_.解析 直線ykx與圓(x5)2y29相交的充要條件為3，解之得k，,故所求概率為P.課時(shí)達(dá)標(biāo)第59講解密考綱幾何概型在高考中常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)一、選擇題1在區(qū)間2,3上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則X1的概率為(B)ABCD解析 區(qū)間2,3的長(zhǎng)度為3(2)5，2,1的長(zhǎng)度為1(2)3，故滿足條件的概率P.2設(shè)p在0,5上隨機(jī)地取值，則關(guān)于x的方程x2px10有實(shí)數(shù)根的概率為(C)ABCD解析 方程有實(shí)根，則p240，解得p2或p2(舍去)所以所求概率為.3在區(qū)間0,2上任取一個(gè)數(shù)x，則使得2sin x>1的概率為(C)ABCD解析 2sin x>1，x0,2，x，p，故選C4如圖所示，半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在圓中隨機(jī)扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是，則陰影部分的面積是(D)ABC2D3解析 設(shè)陰影部分的面積為S1，圓的面積S×329，由幾何概型的概率計(jì)算公式得，得S13.5(2018·北京昌平模擬)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到直線y20的距離大于2的概率是(D)ABCD解析 作出平面區(qū)域可知平面區(qū)域D是以A(4, 3)，B(4，2)，C(6，2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，當(dāng)點(diǎn)在AED區(qū)域內(nèi)時(shí)，點(diǎn)到直線y20的距離大于2.P，故選D6(2016·全國(guó)卷)從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為(C)ABCD解析 如圖，數(shù)對(duì)(xi，yi)(i1,2，n)表示的點(diǎn)落在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內(nèi)，則由幾何概型的概率公式可得.故選C二、填空題7正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐MABCD的體積小于的概率為_.解析 當(dāng)VMABCD時(shí)，即×1×1×h，解得h，即點(diǎn)M到底面ABCD的距離小于，所以所求概率P.8記集合A(x，y)|x2y24和集合B(x，y)|xy20，x0，y0表示的平面區(qū)域分別為1和2，若在區(qū)域1內(nèi)任取一點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M落在區(qū)域2的概率為_.解析 作圓O：x2y24，區(qū)域1就是圓O內(nèi)部(含邊界)，其面積為4，區(qū)域2就是圖中AOB內(nèi)部(含邊界)，其面積為2，因此所求概率為.9在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率是_.解析 設(shè)隨機(jī)取出的兩個(gè)數(shù)分別為x，y，則0<x<1,0<y<1，依題意有xy<，由幾何概型知，所求概率為P.三、解答題10甲、乙兩艘輪船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)任何時(shí)刻到達(dá)是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊時(shí)間都是4小時(shí)，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率；(2)如果甲船的停泊時(shí)間為4小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間為2小時(shí)，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率解析 (1)設(shè)甲、乙兩船到達(dá)時(shí)間分別為x，y，則0x<24,0y<24，且yx>4或yx<4.作出區(qū)域設(shè)“兩船無(wú)需等待碼頭空出”為事件A，則P(A).(2)當(dāng)甲船的停泊時(shí)間為4小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間為2小時(shí)，兩船不需等待碼頭空出，則滿足xy>2或yx>4.設(shè)在上述條件時(shí)“兩船不需等待碼頭空出”為事件B，畫出區(qū)域則P(B).11已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b.記“2ab3”為事件A，求事件A的概率；在區(qū)間0,2內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事件“x2y2>(ab)2恒成立”的概率解析 (1)由題意共有小球n2個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是，解得n2.(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b，則取出2個(gè)小球的可能情況共有12種結(jié)果，令滿足“2ab3”為事件A，則事件A共有8種結(jié)果，故P(A)；由可知(ab)24，故x2y2>4，(x，y)可以看成平面中點(diǎn)的坐標(biāo)，則全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域(x，y)|0x2,0y2，x，yR，由幾何概型可得概率為P1.12甲、乙兩家商場(chǎng)對(duì)同一種商品開展促銷活動(dòng)，對(duì)購(gòu)買該商品的顧客兩家商場(chǎng)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：甲商場(chǎng)：顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示圓盤，當(dāng)指針指向陰影部分(圖中四個(gè)陰影部分均為扇形，且每個(gè)扇形圓心角均為15°，邊界忽略不計(jì))即為中獎(jiǎng)乙商場(chǎng)：從裝有3個(gè)白球3個(gè)紅球的盒子中一次性摸出2個(gè)球(球除顏色外不加區(qū)分)，如果摸到的是2個(gè)紅球，即為中獎(jiǎng)問：購(gòu)買該商品的顧客在哪家商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大？解析 如果顧客去甲商場(chǎng)，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A盤，面積為R2(R為圓盤的半徑)，陰影區(qū)域的面積為.所以，在甲商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率為P1.如果顧客去乙商場(chǎng)，記盒子中3個(gè)白球?yàn)閍1，a2，a3,3個(gè)紅球?yàn)閎1，b2，b3，記(x，y)為一次摸球的結(jié)果，則一切可能的結(jié)果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3 )，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3 )，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15種摸到的2個(gè)球都是紅球有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共3個(gè)，所以在乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率為P2，又P1<P2，所以顧客在乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大12