2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第52講 拋物線學(xué)案

第52講拋物線考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用，了解拋物線的實(shí)際背景3理解數(shù)形結(jié)合思想.2017·全國(guó)卷，102017·全國(guó)卷，162017·北京卷，182016·浙江卷，91.求解與拋物線定義有關(guān)的問(wèn)題，利用拋物線的定義求軌跡方程，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程2求拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，求解與拋物線焦點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題(如焦點(diǎn)弦、焦半徑等問(wèn)題).分值：5分1拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)_距離相等_的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的_焦點(diǎn)_，直線l叫做拋物線的_準(zhǔn)線_2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O_(0,0)_對(duì)稱(chēng)軸_y0_x0_焦點(diǎn)FFFF離心率e_1_準(zhǔn)線_x_x_y_y_范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開(kāi)口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0)_x0_x0_y0_y0_3必會(huì)結(jié)論拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB是過(guò)拋物線y22px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦長(zhǎng)|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)(3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(4)通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦，長(zhǎng)等于2p.1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線(×)(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x.(×)(3)拋物線既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形(×)解析 (1)錯(cuò)誤當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，軌跡為過(guò)定點(diǎn)F與定直線l垂直的一條直線，而非拋物線；(2)錯(cuò)誤方程yax2(a0)可化為x2y是焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是y；(3)錯(cuò)誤拋物線是只有一條對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形2拋物線y2x2的準(zhǔn)線方程是(D)AxBxCyDy解析 拋物線方程為x2y，p，準(zhǔn)線方程為y.3拋物線y224ax(a0)上有一點(diǎn)M，它的橫坐標(biāo)是3，它到焦點(diǎn)的距離是5，則拋物線的方程為(A)Ay28xBy212xCy216xDy220x解析 準(zhǔn)線方程為l：x6a，M到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點(diǎn)的距離，則36a5，a，拋物線方程為y28x.4若點(diǎn)P到直線x1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡為(D)A圓B橢圓C雙曲線D拋物線解析 由題意知，點(diǎn)P到點(diǎn)(2,0)的距離與P到直線x2的距離相等，由拋物線定義得點(diǎn)P的軌跡是以(2,0)為焦點(diǎn)、以直線x2為準(zhǔn)線的拋物線5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一定點(diǎn)A(2,1)，若線段OA的垂直平分線過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是_x_.解析 線段OA的中垂線方程為4x2y50，令y0得x，焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線方程為x.一拋物線的定義及應(yīng)用拋物線中的最值問(wèn)題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問(wèn)題得解(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決【例1】 (1)已知拋物線x24y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為(D)ABC1D2(2)(2017·全國(guó)卷)已知F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|DE|的最小值為(A)A16B14C12D10解析 (1)由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l：y1，過(guò)點(diǎn)A作AA1l垂足為點(diǎn)A1，過(guò)點(diǎn)B作BB1l垂足為點(diǎn)B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)M作MM1l交l于點(diǎn)M1，則|MM1|.因?yàn)閨AB|AF|BF|(F為拋物線的焦點(diǎn))，即|AF|BF|6，所以|AA1|BB1|6,2|MM1|6，|MM1|3.故點(diǎn)M到x軸的距離d2.(2)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k，則l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y得k2x2(2k24)xk20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22，由拋物線的定義可知，|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|444k2848816，當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k±1時(shí)取等號(hào)，故|AB|DE|的最小值為16，故選A二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可(2)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等性質(zhì)時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(3)涉及拋物線幾何性質(zhì)的問(wèn)題常結(jié)合圖形思考，通過(guò)圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性【例2】 (1)已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線與拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若雙曲線的離心率為2，AOB的面積為，則p(C)A1BC2D3(2)拋物線x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線1相交于A，B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_6_.解析 (1)因?yàn)殡p曲線的離心率e2，所以ba，所以雙曲線的漸近線方程為y±x，與拋物線的準(zhǔn)線x相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，所以AOB的面積為××p，又p0，所以p2.(2)在等邊三角形ABF中，AB邊上的高為p，p，所以B.又因?yàn)辄c(diǎn)B在雙曲線上，故1，解得p6.三直線與拋物線的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)問(wèn)題(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式x1x2p；若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用弦長(zhǎng)公式【例3】 已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，且8.(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)直線l為拋物線C的切線，且lMN，點(diǎn)P為l上一點(diǎn)，求·的最小值解析 (1)由題意可知F，則該直線方程為yx，代入y22px(p0)，得x23px0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，8，x1x2p8，即3pp8，解得p2，拋物線的方程為y24x.(2)設(shè)直線l的方程為yxb，代入y24x，得x2(2b4)xb20.直線l為拋物線C的切線，16(1b)0，解得b1，直線l的方程為yx1.由(1)可知：x1x26，x1x21，設(shè)P(m，m1)，則(x1m，y1(m1)，(x2m，y2(m1)，·(x1m)(x2m)y1(m1)y2(m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m1)(y1y2)(m1)2.x1x26，x1x21，(y1y2)216x1x216，y1y24.yy4(x1x2)，y1y24·4.·16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)2714.當(dāng)且僅當(dāng)m2時(shí)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)時(shí)，·取最小值為14.1若動(dòng)圓的圓心在拋物線yx2上，且與直線y30相切，則此圓恒過(guò)定點(diǎn)(C)A(0,2)B(0，3)C(0,3)D(0,6)解析 直線y30是拋物線x212y的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知拋物線上的點(diǎn)到直線y3的距離與到焦點(diǎn)(0,3)的距離相等，所以此圓恒過(guò)定點(diǎn)(0,3)2已知點(diǎn)P是拋物線x24y上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)Q，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(8,7)，則的最小值為(C)A7B8C9D10解析 拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y1，根據(jù)拋物線的定義知，1.11111019，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為9.3已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2y23a2(a>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線y28ax與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若12，則拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)x2_.解析 將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得1，拋物線的準(zhǔn)線為x2a，聯(lián)立解得x3a，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3a.而由，得6a，3a2a6a，得a1，拋物線的準(zhǔn)線方程為x2.4(2017·北京卷)已知拋物線C：y22px過(guò)點(diǎn)P(1,1)過(guò)點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)解析 (1)由拋物線C：y22px過(guò)點(diǎn)P(1,1)，得p.所以拋物線C的方程為y2x.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.準(zhǔn)線方程為x.(2)證明：由題意，設(shè)直線l的方程為ykx(k0)，l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10.則x1x2，x1x2.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)，所以直線OP的方程為yx，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，x1)直線ON的方程為yx，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)閥12x10，所以y12x1.故A為線段BM的中點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)直線與拋物線的公共點(diǎn)認(rèn)識(shí)不清錯(cuò)因分析：只考慮直線斜率k存在的情況而忽略k不存在以及直線l平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸時(shí)的兩種情形【例1】 過(guò)點(diǎn)(0,3)的直線l與拋物線y24x只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程解析 當(dāng)斜率k存在且k0時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykx3，將其代入y24x，整理得k2x2(6k4)x90，則由0解得k；當(dāng)k0時(shí)，直線l的方程為y3，此時(shí)l平行于對(duì)稱(chēng)軸，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k不存在時(shí)，直線l與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)l的方程為x0.綜上，過(guò)點(diǎn)(0,3)且與拋物線y24x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程為yx3；y3；x0.【跟蹤訓(xùn)練1】 設(shè)拋物線C：y22px(p>0)，過(guò)點(diǎn)M(p,0)作直線l.證明：l與C至少有一個(gè)交點(diǎn)證明 (1)當(dāng)直線與y軸不垂直時(shí)，設(shè)l：xmyp，聯(lián)立C與l的方程，得則y22pmy2p20.(2pm)24·2p24p2(m22)>0恒成立故此時(shí)C與l有2個(gè)交點(diǎn)(2)當(dāng)直線l與y軸垂直時(shí)，l：x0，C與l有一個(gè)交點(diǎn)(0,0)綜上(1)，(2)知，C與l至少有一個(gè)交點(diǎn)課時(shí)達(dá)標(biāo)第52講解密考綱對(duì)拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)的考查是常數(shù)，通常在選擇題、填空題中單獨(dú)考查或在解答題中與圓錐曲線綜合考查一、選擇題1(2018·寧夏銀川九中月考)已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x軸上，其上點(diǎn)P(3，m)到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線方程為(B)Ay28xBy28xCy24xDy24x解析 設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，則(3)5，p4，拋物線方程為y28x.故選B2(2018·江西九江第一次統(tǒng)考)已知拋物線的方程為y22px(p>0)，過(guò)拋物線上一點(diǎn)M(p，p)和拋物線的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于另一點(diǎn)N，則|NF|FM|(C)A1B1C12D13解析 由題意知直線l的方程為y2，聯(lián)立方程得N.所以|NF|p，|MF|pp，所以|NF|FM|12，故選C3已知拋物線C：y24x，頂點(diǎn)為O，動(dòng)直線l：yk(x1)與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則·(A)A5B5C4D4解析 設(shè)A，B，由已知得直線l過(guò)定點(diǎn)E(1,0)，因?yàn)镋，A，B三點(diǎn)共線，所以y2y1，即(y1y2)y1y2，因?yàn)閥1y2，所以y1y24，所以·y1y25.4(2018·吉林長(zhǎng)春一模)過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為120°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A、B兩點(diǎn)，則(A)ABCD解析 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l：x，|FB|m，|FA|n，過(guò)A，B兩點(diǎn)向準(zhǔn)線l作垂線AC，BD，由拋物線定義知|AC|FA|n，|BD|FB|m，過(guò)B作BEAC，E為垂足，則|AE|CE|AC|BD|AC|mn，|AB|FA|FB|nm.在RtABE中，BAE60°，cos 60°，即m3n.故.5已知點(diǎn)A(2,1)，拋物線y24x的焦點(diǎn)是F，若拋物線上存在一點(diǎn)P，使得|PA|PF|最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(D)A(2,1)B(1,1)CD解析 由拋物線定義知，|PF|等于P到準(zhǔn)線x1的距離，當(dāng)PA與準(zhǔn)線垂直時(shí)|PA|PF|最小，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入方程得x.6已知拋物線x24y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為(D)ABC1D2解析 由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l：y1，過(guò)點(diǎn)A作AA1l于點(diǎn)A1，過(guò)點(diǎn)B作BB1l于點(diǎn)B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)M作MM1l于點(diǎn)M1，則|MM1|.因?yàn)?|AB|AF|BF|，所以|AA1|BB1|6,2|MM1|6，|MM1|3，故點(diǎn)M到x軸的距離d2，故選D二、填空題7(2018·福建福州質(zhì)檢)過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，分別過(guò)P，Q兩點(diǎn)作PP1，QQ1垂直于拋物線的準(zhǔn)線于P1，Q1，若|PQ|2，則四邊形PP1Q1Q的面積是_1_.解析 由題意得四邊形PP1Q1Q為直角梯形，|PP1|QQ1|PQ|2，|P1Q1|PQ|sin 30°1，S·|P1Q1|1.8如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米水位下降1米后，水面寬_2_米解析 如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x22py(p>0)由題意將點(diǎn)A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.設(shè)B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面寬為2米9(2017·全國(guó)卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|_6_.解析 依題意，拋物線C：y28x的焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線x2，因?yàn)辄c(diǎn)N在y軸上，M為FN的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，所以|MF|1(2)3，|FN|2|MF|6.三、解答題10已知拋物線y24px(p>0)的焦點(diǎn)為F，圓W：(xp)2y2p2的圓心到過(guò)點(diǎn)F的直線l的距離為p.(1)求直線l的斜率；(2)若直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，WAB的面積為8，求拋物線的方程解析 (1)易知拋物線y24px(p>0)的焦點(diǎn)為F(p,0)，依題意設(shè)直線l的方程為xmyp，因?yàn)閃(p,0)，所以點(diǎn)W到直線l的距離為p，解得m±，所以直線l的斜率為±.(2)由(1)知直線l的方程為x±yp，由于兩條直線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，不妨取xyp，代入y24px中，得y24py4p20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24p，y1y24p2，所以|AB|·16p，因?yàn)閃AB的面積為8，所以p×16p8，得p1，所以拋物線的方程為y24x.11已知拋物線y22px(p>0)，過(guò)點(diǎn)C(2,0)的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，·12.(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)以AB為直徑的圓與y軸相切時(shí)，求直線l的方程解析 (1)設(shè)l：xmy2，代入y22px中，得y22pmy4p0.(*)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y22pm，y1y24p，所以x1x24.因?yàn)?#183;12，所以x1x2y1y212，即44p12，得p2，拋物線的方程為y24x.(2)(1)中(*)式可化為y24my80.y1y24m，y1y28.設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24，又|AB|y1y2|，由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，m±.所以直線l的方程為xy20或xy20.12(2017·全國(guó)卷)已知拋物線：C：y22x，過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4，2)，求直線l與圓M的方程解析 (1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2.由可得y22my40，則y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率與OB的斜率之積為·1，所以O(shè)AOB.故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24.故圓心M的坐標(biāo)為(m22，m)，圓M的半徑r.由于圓M過(guò)點(diǎn)P(4，2)，因此·0，即(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可得y1y24，x1x24.所以2m2m10，解得m1或m.當(dāng)m1時(shí)，直線l的方程為xy20，圓心M的坐標(biāo)為(3,1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x3)2(y1)210.當(dāng)m時(shí)，直線l的方程為2xy40，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為，圓M的方程為22.13