2019-2020學年高中數(shù)學 第3講 柯西不等式與排序不等式 1 二維形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5

一二維形式的柯西不等式學習目標：1.認識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義(難點)2.通過運用柯西不等式分析解決一些簡單問題(重點)教材整理二維形式的柯西不等式閱讀教材P31P36，完成下列問題內(nèi)容等號成立的條件代數(shù)形式若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2b2)·(c2d2)(acbd)2當且僅當adbc時，等號成立向量形式設(shè)，是兩個向量，則|·|當且僅當是零向量，或存在實數(shù)k，使k時，等號成立三角形式設(shè)x1，y1，x2，y2R，那么當且僅當P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三點共線且P1，P2在點O兩旁時，等號成立已知xy1，那么2x23y2的最小值是()A.B.C.D.B2x23y2(2x23y2)·(xy)2.二維柯西不等式的向量形式及應(yīng)用【例1】已知p，q均為正數(shù)，且p3q32.求證：pq2.精彩點撥為了利用柯西不等式的向量形式，可分別構(gòu)造兩個向量·.又(pq)22(p2q2)，p2q2，·，則(pq)48(pq)又pq>0，(pq)38，故pq2.使用二維柯西不等式的向量形式證明不等式，關(guān)鍵是合理構(gòu)造出兩個向量同時，要注意向量模的計算公式|a|對數(shù)學式子變形的影響1若本例的條件中，把“p3q32”改為“p2q22”，試判斷結(jié)論是否仍然成立？解設(shè)m(p，q)，n(1,1)，則pqp·1q·1|m·n|m|·|n|·.又p2q22.pq·2.故仍有結(jié)論pq2成立.運用柯西不等式求最值【例2】若2x3y1，求4x29y2的最小值精彩點撥由2x3y1以及4x29y2的形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過構(gòu)造(1212)作為一個因式而解決問題自主解答由柯西不等式得(4x29y2)(1212)(2x3y)21.4x29y2，當且僅當2x×13y×1，即x，y時取等號4x29y2的最小值為.1利用柯西不等式求最值，不但要注意等號成立的條件，而且要善于配湊，保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果2常用的配湊的技巧有：巧拆常數(shù)；重新安排某些項的次序；適當添項；適當改變結(jié)構(gòu)，從而達到運用柯西不等式求最值的目的2若3x4y2，試求x2y2的最小值及最小值點解由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4.所以x2y2，當且僅當時，“”成立為求最小值點，需解方程組因此，當x，y時，x2y2取得最小值，最小值為，最小值點為.二維柯西不等式代數(shù)形式的應(yīng)用探究問題在二維形式的柯西不等式中，取等號的條件可以寫成嗎？提示不可以當b·d0時，柯西不等式成立，但不成立【例3】已知|3x4y|5，求證：x2y21.精彩點撥探求已知條件與待證不等式之間的關(guān)系，設(shè)法構(gòu)造柯西不等式進行證明自主解答由柯西不等式可知(x2y2)(3242)(3x4y)2，所以(x2y2).又因為|3x4y|5，所以1，即x2y21.1利用二維形式的柯西不等式證明時，要抓住柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，必要時，需要將數(shù)學表達式適當變形2變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，找到突破口3設(shè)a，bR且ab2.求證：2.證明根據(jù)柯西不等式，有(2a)(2b)()2()2(ab)24.2，當且僅當··，即ab1時等號成立2.1設(shè)x，yR，且2x3y13，則x2y2的最小值為()A.B169C13 D0C(2x3y)2(2232)(x2y2)，x2y213.2已知a，bR，且ab1，則()2的最大值是()A2 B.C6 D12D()2(1×1×)2(1212)(4a14b1)24(ab)22×(4×12)12，當且僅當，即ab時等號成立故選D.3平面向量a，b中，若a(4，3)，|b|1，且a·b5，則向量b_.解析|a|5，且 |b|1，a·b|a|·|b|，因此，b與a共線，且方向相同，b.答案4已知x，y0，的最小值為4，則xy_.解析，4.又0，1，xy1.答案15已知x，y，a，bR，且1，求xy的最小值解構(gòu)造兩組實數(shù)，；，.x，y，a，bR，1，xy()2()2()2，當且僅當，即時取等號，(xy)min()2.- 6 -