2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.2.在實(shí)際情境中，能夠運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)及冪函數(shù)建立模型，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)這些函數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用教學(xué)重點(diǎn)：用函數(shù)模型來解決實(shí)際問題教學(xué)難點(diǎn)：建立函數(shù)模型.【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】知識(shí)點(diǎn)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫實(shí)際問題，初步選擇模型(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論(4)還原：利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論還原到實(shí)際問題中可將這些步驟用框圖表示如下：【新知拓展】常見的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：即直線模型，其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值勻速增大或減小現(xiàn)實(shí)生活中很多事例可以用該模型來表示，例如：勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移的關(guān)系，彈簧的伸長(zhǎng)量與拉力的關(guān)系等(2)二次函數(shù)模型：二次函數(shù)為生活中最常見的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等問題常常是二次函數(shù)的模型(3)分段函數(shù)模型：由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化的實(shí)際問題，或者在某一特定條件下的實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在用函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)，得到的數(shù)學(xué)問題的解就是實(shí)際問題的解()(2)現(xiàn)實(shí)生活中有很多問題都可以用分段函數(shù)來描述，如出租車計(jì)費(fèi)，個(gè)人所得稅等()(3)一根蠟燭長(zhǎng)20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系可以用一次函數(shù)模型來刻畫()答案(1)×(2)(3)2做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)(1)某人從A地出發(fā)，開汽車以80千米/小時(shí)的速度經(jīng)2小時(shí)到達(dá)B地，在B地停留2小時(shí)，則汽車離開A地的距離y(單位：千米)是時(shí)間t(單位：小時(shí))的函數(shù)，該函數(shù)的解析式是_(2)有200 m長(zhǎng)的籬笆材料，如果利用已有的一面墻(假設(shè)長(zhǎng)度夠用)作為一邊，圍成一塊矩形菜地，那么矩形的長(zhǎng)為_ m，寬為_ m時(shí)，這塊菜地的面積最大答案(1)y(2)10050題型一 一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題例1某服裝廠每天生產(chǎn)童裝200套或西服50套，已知每生產(chǎn)一套童裝需成本40元，可獲得利潤(rùn)22元，每生產(chǎn)一套西服需成本150元，可獲得利潤(rùn)80元由于資金有限，該廠每月成本支出不超過23萬元，為使贏利最大，若按每月30天計(jì)算，應(yīng)安排生產(chǎn)童裝和西服各多少天(天數(shù)為整數(shù))？并求出最大利潤(rùn)解設(shè)生產(chǎn)童裝的天數(shù)為x，則生產(chǎn)西服的天數(shù)為(30x)，每月生產(chǎn)童裝和西服的套數(shù)分別為200x和50(30x)，每月生產(chǎn)童裝和西服的成本分別為40×200x元和150×50×(30x)元，每月生產(chǎn)童裝和西服的利潤(rùn)分別為22×200x元和80×50×(30x)元，則總利潤(rùn)為y22×200x80×50×(30x)，化簡(jiǎn)得y400x120000.注意到每月成本不超過23萬元，則40×200x150×50×(30x)230000，從而求出x的取值范圍是0x10，且x為整數(shù)顯然當(dāng)x10時(shí)，贏利最大，最大利潤(rùn)是124000元金版點(diǎn)睛用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題的解題方法(1)建立一次函數(shù)模型時(shí)應(yīng)先求出自變量的取值范圍；(2)根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系建立一次函數(shù)模型；(3)利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解、檢驗(yàn)?zāi)沉谢疖噺谋本┪髡鹃_往石家莊，全程277 km.火車出發(fā)10 min開出13 km后，以120 km/h勻速行駛試寫出火車行駛的總路程s與勻速行駛的時(shí)間t之間的關(guān)系，并求離開北京2 h時(shí)火車行駛的路程解因?yàn)榛疖噭蛩龠\(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(27713)÷120(h)，所以0t.因?yàn)榛疖噭蛩傩旭倀 h所行駛路程為120t，所以，火車行駛總路程s與勻速行駛時(shí)間t之間的關(guān)系是s13120t.離開北京2 h時(shí)火車行駛的路程s13120×233(km).題型二 二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題例2某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y48x8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？解設(shè)可獲得總利潤(rùn)為R(x)萬元，則R(x)40xy40x48x800088x8000(x220)21680(0x210)R(x)在0,210上單調(diào)遞增，x210時(shí)，R(x)max(210220)216801660(萬元)年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)1660萬元金版點(diǎn)睛用二次函數(shù)模型解題的策略(1)根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)解析式(即二次函數(shù)關(guān)系式)(2)利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中的最值問題(3)解答二次函數(shù)最值問題最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象有甲、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷售這兩種商品所獲得的利潤(rùn)依次為Q1萬元和Q2萬元，它們與投入的資金x萬元的關(guān)系是Q1x，Q2.現(xiàn)有3萬元資金投入使用，則對(duì)甲、乙兩種商品如何投資才能獲得最大利潤(rùn)？解設(shè)對(duì)甲種商品投資x萬元，則對(duì)乙種商品投資(3x)萬元，總利潤(rùn)為y萬元所以Q1x，Q2.所以yx(0x3)，令t(0t)，則x3t2.所以y(3t2)t2.當(dāng)t時(shí)，ymax1.05(萬元)，即x0.75(萬元)，所以3x2.25(萬元)由此可知，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別為0.75萬元和2.25萬元，共獲得利潤(rùn)1.05萬元.題型三 分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題例3某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元，該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100個(gè)時(shí)，每多訂購1個(gè)，訂購的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元(1)當(dāng)一次訂購量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元？(2)設(shè)一次訂購量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為P元，寫出函數(shù)Pf(x)的表達(dá)式；(3)當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是多少元？如果訂購1000個(gè)，利潤(rùn)又是多少元？(工廠售出一個(gè)零件的利潤(rùn)實(shí)際出廠單價(jià)成本)解(1)設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元時(shí)，一次訂購量為x0個(gè)，則x0100550(個(gè))因此，當(dāng)一次訂購量為550個(gè)時(shí)，每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元(2)當(dāng)0<x100時(shí)，P60；當(dāng)100<x550時(shí)，P600.02(x100)62；當(dāng)x>550時(shí)，P51.Pf(x)(xN)(3)設(shè)銷售商一次訂購量為x個(gè)時(shí)，工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，則L(P40)x(xN)當(dāng)x500時(shí)，L6000；當(dāng)x1000時(shí)，L11000.因此，當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是6000元；如果訂購1000個(gè)，利潤(rùn)是11000元金版點(diǎn)睛用分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題的解法分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段變量的范圍，特別是端點(diǎn)值有一新款服裝在4月份(共30天)投放某專賣店銷售，日銷售量y(單位：件)關(guān)于時(shí)間n(1n30，nN*)(單位：天)的函數(shù)圖象如圖所示，其中函數(shù)yf(n)的圖象中的點(diǎn)位于斜率為5和3的兩條直線上，兩直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且第m天日銷售量最大(1)求f(n)的表達(dá)式，及前m天的銷售總量；(2)按規(guī)律，當(dāng)該服裝的銷售總量超過400件時(shí)，社會(huì)上流行該服裝，而日銷售量連續(xù)下降并低于30件時(shí)，該服裝的流行會(huì)消失試問該服裝在社會(huì)上流行的天數(shù)是否會(huì)超過10天？并說明理由解(1)由圖象知，當(dāng)1nm且nN*時(shí)，設(shè)f(n)5nb，將點(diǎn)(1,2)代入，得5b2，解得b3，則f(n)5n3.由f(m)57，即5m357，得m12.當(dāng)12<n30且nN*時(shí)，設(shè)f(n)3nk，將點(diǎn)(30,3)代入，得3×30k3，解得k93，則f(n)3n93.綜上得f(n)前12天的銷售總量為5(12312)3×12354(件)(2)第13天的銷售量為f(13)3×139354(件)，而35454>400，從第14天開始銷售總量超過400件，即該服裝開始流行設(shè)第n天的日銷售量開始低于30件(12<n30且nN*)，即f(n)3n93<30，解得n>21.從第22天開始日銷售量低于30件，即流行時(shí)間為14號(hào)至21號(hào)該服裝在社會(huì)上流行的天數(shù)不超過10天.題型四 綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題例4某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件若售價(jià)降低x成(1成10%)，售出商品數(shù)量就增加x成要求售價(jià)不能低于成本價(jià)(1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)，并寫出定義域；(2)若要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍解(1)由題意得y100·100.因?yàn)槭蹆r(jià)不能低于成本價(jià)，所以100800，得x2.所以yf(x)20(10x)(508x)，定義域?yàn)?,2(2)由題意得20(10x)(508x)10260，化簡(jiǎn)得8x230x130.解得x.所以x的取值范圍是.金版點(diǎn)睛對(duì)于此類實(shí)際應(yīng)用問題，應(yīng)先根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式，再解決數(shù)學(xué)問題，最后結(jié)合問題的實(shí)際意義作出回答.建立函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1x10)，每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100元(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤(rùn)解(1)根據(jù)題意，得2003000，整理得5x140，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，x的取值范圍是3,10(2)設(shè)利潤(rùn)為y元，則y·1009×1049×104，故當(dāng)x6時(shí)，ymax457500元即甲廠以6千克/小時(shí)的生產(chǎn)速度生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品時(shí)獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為457500元1設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)米，小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所走過的路程y(米)和其所用的時(shí)間x(分)的函數(shù)圖象為(如下圖所示)()答案D解析注意到y(tǒng)表示“小王從出發(fā)到返回原地所走過的路程”，而不是位移故選D.2某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)yx(x表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()Ay ByCy Dy答案B解析根據(jù)規(guī)定可知，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)分別為7,8,9時(shí)可以增選一名代表，所以最小應(yīng)該加3，因此利用取整函數(shù)可表示為y.3生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)x22x20(萬元).1萬件售價(jià)是20萬元，若該企業(yè)生產(chǎn)的這種商品能夠全部售出，那么為獲取最大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品的數(shù)量為()A18萬件 B20萬件 C16萬件 D8萬件答案A解析利潤(rùn)L(x)20xC(x)(x18)2142，當(dāng)x18時(shí)，L(x)有最大值故選A.4某同學(xué)將父母給的零用錢按每月相等的數(shù)額存放在儲(chǔ)蓄盒內(nèi)，準(zhǔn)備捐給希望工程，盒內(nèi)原有60元，2個(gè)月后盒內(nèi)有80元?jiǎng)t盒內(nèi)錢數(shù)y(元)與存錢月數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為_答案y10x60(x0)解析設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為ykxb.因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，y60；當(dāng)x2時(shí)，y80，所以解得所以y10x60(x0)5心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x(單位：分)之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)0.1x22.6x43(0x30)，y值越大，表示接受能力越強(qiáng)(1)x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低？(2)第10分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力是多少？(3)第幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？解(1)因?yàn)閥0.1x22.6x430.1(x13)259.9.所以，當(dāng)0x13時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)；當(dāng)13x30時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步下降(2)當(dāng)x10時(shí)，y0.1×(1013)259.959，即第10分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力為59.(3)當(dāng)x13時(shí)，y取最大值所以，在第13分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)- 9 -