2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專(zhuān)題 專(zhuān)題4 立體幾何 第8講 空間幾何體的三視圖、表面積和體積教學(xué)案 理

第8講空間幾何體的三視圖、表面積和體積題型1幾何體的三視圖、表面積和體積(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第27頁(yè))核心知識(shí)儲(chǔ)備·1畫(huà)幾何體的三視圖應(yīng)遵循：“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”2柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式(1)S柱側(cè)ch(c為底面周長(zhǎng)，h為高)；(2)S錐側(cè)ch(c為底面周長(zhǎng)，h為斜高)；(3)S臺(tái)側(cè)(cc)h(c，c分別為上下底面的周長(zhǎng)，h為斜高)3柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式(1)V柱體Sh(S為底面面積，h為高)；(2)V錐體Sh(S為底面面積，h為高)；(3)V臺(tái)(SS)h(不要求記憶)4球體的體積公式VR3；表面積公式S4R2(其中R為球的半徑)典題試解尋法·【典題1】(考查多面體的體積問(wèn)題)如圖8­1，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804054】圖8­1A64B.C16D.思路分析三視圖直觀圖多面體的體積解析利用正方體還原幾何體，如圖中的三棱錐D­ABC所示，由三視圖可知ABC的邊BC2，BC邊上的高為4，三棱錐D­ABC的高為CD4，故三棱錐D­ABC的體積為V××2×4×4.故選D.答案D【典題2】(考查組合體的表面積問(wèn)題)(2016·全國(guó)卷)如圖8­2，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()圖8­2A17B18C20D28思路分析三視圖球體的球體的半徑幾何體的表面積解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖設(shè)球的半徑為R，則R3×R3，解得R2.因此它的表面積為×4R2R217.故選A.答案A【典題3】(考查立體幾何中的數(shù)學(xué)文化題)(2017·武昌區(qū)模擬)(立體幾何中的數(shù)學(xué)文化題)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一種標(biāo)準(zhǔn)量器商鞅銅方升，其三視圖如圖8­3所示(單位：寸)，若取3，其體積為12.6(單位：立方寸)，則圖中的x為()圖8­3A1.2B1.6C1.8D2.4思路分析數(shù)學(xué)文化信息提取空間幾何體的體積量的計(jì)算解析該幾何體是一個(gè)組合體，左邊是一個(gè)底面半徑為的圓柱，右邊是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5.4x、3、1的長(zhǎng)方體，組合體的體積VV圓柱V長(zhǎng)方體·×x(5.4x)×3×112.6(其中3)，解得x1.6.故選B.答案B類(lèi)題通法1.在長(zhǎng)方體(或正方體)中根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖，能快速確定幾何體中線面位置關(guān)系.2.空間幾何體的體積與表面積求法(1)三視圖中數(shù)據(jù)的還原：分析三視圖，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(2)割補(bǔ)法：求不規(guī)則幾何體的體積或表面積時(shí)，通過(guò)割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成規(guī)則幾何體求解.(3)等積變換：涉及三棱錐的體積，注意靈活選擇底面和對(duì)應(yīng)的高.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)(如圖8­4)，用過(guò)點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的正視圖為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804055】圖8­4C過(guò)點(diǎn)A，E，C1的平面與棱DD1相交于點(diǎn)F，且F是棱DD1的中點(diǎn)，截去正方體的上半部分，剩余幾何體的直觀圖如圖所示，則其正視圖應(yīng)為選項(xiàng)C.2某幾何體的三視圖如圖8­5所示，則該幾何體的表面積為()圖8­5A.1BC.1D1C由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱和半個(gè)圓錐的組合體，故其表面積為12×21，選C.題型強(qiáng)化集訓(xùn)·(見(jiàn)專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)T2、T3、T4、T5、T6、T11、T14、T15、T16、T17、T19)題型2球與幾何體的切接問(wèn)題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第28頁(yè))核心知識(shí)儲(chǔ)備·1多面體與球接、切問(wèn)題求解策略(1)截面法：過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系(2)補(bǔ)形法：“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，則利用4R2a2b2c2求解. 2球的切、接問(wèn)題的常用結(jié)論(1)長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球的直徑，即2R.(2)棱長(zhǎng)為a的正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球的直徑，即a2R.(3)棱長(zhǎng)為a的正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)等于內(nèi)切球的直徑，即a2R.(4)若直棱柱(或有一條棱垂直于一個(gè)面的棱錐)的高為h，底面外接圓半徑為x，則該幾何體外接球半徑R滿足R2x2.典題試解尋法·【典題1】(考查與球有關(guān)的幾何體的切、接問(wèn)題)(2016·南昌二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖8­6所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804056】圖8­6A.BC.D思路分析三視圖空間幾何體確定球心求半徑R.解析由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S ­ ABC，其中HS是三棱錐的高，由三視圖可知HS2，HAHBHC2，故H為ABC外接圓的圓心，該圓的半徑為2.由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐S­ABC外接球的球心O在直線HS上，連接OB.設(shè)球的半徑為R，則球心O到ABC外接圓的距離為OH|SHOS|2R|，由球的截面性質(zhì)可得ROB，解得R，所以所求外接球的表面積為4R24×.故選D.答案D【典題2】(考查與球有關(guān)的最值問(wèn)題)(2016·全國(guó)卷)在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4BC6D思路分析先計(jì)算球與直三棱柱三個(gè)側(cè)面相切時(shí)球的半徑，再計(jì)算球與直三棱柱兩底面相切時(shí)球的半徑，半徑較小的球即為所求解析由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切設(shè)球的半徑為R.因?yàn)锳BC的內(nèi)切圓半徑為2，所以R2.又2R3，所以R，所以Vmax.故選B.答案B類(lèi)題通法 多面體與球接、切問(wèn)題的求解策略涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，進(jìn)而畫(huà)出內(nèi)接、外切的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，找到球的半徑(或直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1球O的球面上有四點(diǎn)S，A，B，C，其中O，A，B，C四點(diǎn)共面，ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAB平面ABC，則三棱錐S­ABC的體積的最大值為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804057】A.BC.D2A取AB中點(diǎn)D，連接SD，CD，可知當(dāng)SDAB時(shí)棱錐體積最大因?yàn)槠矫鍿AB平面ABC，交線為AB，所以SD平面ABC.解正三角形ABC可得：SABC4，球半徑ROC ，SD2.故棱錐體積為×2×4.2如圖8­7，在四面體ABCD中，AB平面BCD，BCD是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形若AB4，則四面體ABCD外接球的表面積為_(kāi)圖8­764由題意知四面體ABCD的外接球與如圖中正三棱柱的外接球是同一個(gè)球，記E、F分別為ACD和BCD的中心，連接EF，則EF的中點(diǎn)O為四面體ABCD外接球的球心連接AO，AE，BF，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為6的正三角形，所以AE×6×sin 60°2，OEAB2，所以R2OE2AE216，則外接球表面積S4R264.題型強(qiáng)化集訓(xùn)·(見(jiàn)專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)T1、T7、T8、T9、T10、T12、T13、T18、T20)三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第29頁(yè))1(2017·全國(guó)卷)某多面體的三視圖如圖8­8所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804058】圖8­8A10B12C14D16B觀察三視圖可知該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2.三棱錐的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示因此該多面體各個(gè)面中有2個(gè)梯形，且這兩個(gè)梯形全等，梯形的上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為4，高為2，故這些梯形的面積之和為2××(24)×212.故選B.2(2017·全國(guó)卷)如圖8­9，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()圖8­9A90B63C42D36B法一：(割補(bǔ)法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱被截去上面虛線部分所得，如圖所示將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V×32×4×32×6×63故選B.法二：(估值法)由題意知，V圓柱V幾何體V圓柱又V圓柱×32×1090，45V幾何體90.觀察選項(xiàng)可知只有63符合題意故選B.3(2017·全國(guó)卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()ABC.DB設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R1，由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形r.圓柱的體積為Vr2h×1.故選B.4(2015·全國(guó)卷)九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖8­10，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()圖8­10A14斛B22斛C36斛D66斛B 設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r8，所以r，所以米堆的體積為V×·r2·5××5(立方尺)故堆放的米約有÷1.6222(斛)故選B.5(2015·全國(guó)卷)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)若三棱錐O­ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A36B64C144D256C如圖，設(shè)球的半徑為R，AOB90°，SAOBR2.VO­ABCVC­AOB，而AOB面積為定值，當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VO­ABC最大，當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積VO­ABC最大為×R2×R36，R6，球O的表面積為4R24×62144.故選C.6(2017·全國(guó)卷)如圖8­11，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804059】圖8­114 cm3如圖，連接OD，交BC于點(diǎn)G，由題意，知ODBC，OGBC.設(shè)OGx，則BC2x，DG5x，三棱錐的高h(yuǎn)，SABC×2x×3x3x2，則三棱錐的體積VSABC·hx2··.令f(x)25x410x5，x，則f(x)100x350x4.令f(x)0得x2.當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最大值80，則V×4.三棱錐體積的最大值為4 cm3.10