2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1 函數(shù)及其表示方法 第2課時(shí) 函數(shù)的表示方法學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)

第2課時(shí)函數(shù)的表示方法(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖像的作用.2.通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的三種表示方法；分段函數(shù)的圖像及應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).【情境導(dǎo)學(xué)】(教師獨(dú)具內(nèi)容)我們已經(jīng)知道圓的面積A與半徑r之間的關(guān)系A(chǔ)r2是函數(shù)關(guān)系，銀行里常用的“利息表”和我國人口出生率的變化曲線也是函數(shù)關(guān)系等等，既然都是函數(shù)關(guān)系，它們的表示各有什么特征？對(duì)你解決問題有哪些益處？學(xué)了本節(jié)知識(shí)，你一定有很深的體會(huì)【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的表示方法(1)解析法用代數(shù)式(或解析式)來表示函數(shù)的方法稱為解析法(2)列表法用列表的形式給出函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種表示函數(shù)的方法稱為列表法(3)圖像法一般地，將函數(shù)yf(x)，xA中的自變量x和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y，分別看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，則滿足條件的點(diǎn)(x，y)組成的集合F稱為函數(shù)的圖像，即F(x，y)|yf(x)，xA這就是說，如果F是函數(shù)yf(x)的圖像，則圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都滿足函數(shù)關(guān)系yf(x)；反之，滿足函數(shù)關(guān)系yf(x)的點(diǎn)(x，y)都在函數(shù)圖像F上用函數(shù)的圖像表示函數(shù)的方法稱為圖像法知識(shí)點(diǎn)二 分段函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)，在其定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對(duì)應(yīng)方式，則稱其為分段函數(shù)知識(shí)點(diǎn)三 常數(shù)函數(shù)值域只有一個(gè)元素的函數(shù)，這類函數(shù)通常稱為常數(shù)函數(shù)【新知拓展】1對(duì)函數(shù)的三種表示法的說明(1)列表法：采用列表法的前提是定義域內(nèi)自變量的個(gè)數(shù)較少，當(dāng)自變量的個(gè)數(shù)較多時(shí)，使用不方便(2)圖像法：圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是離散的點(diǎn)(3)解析法：利用解析式表示函數(shù)的前提是變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系明確，且利用解析法表示函數(shù)時(shí)要注意注明其定義域2關(guān)于分段函數(shù)(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)(2)研究分段函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)根據(jù)“先分后合”的原則，尤其是在作分段函數(shù)的圖像時(shí)，可將各段的圖像分別畫出來，從而得到整個(gè)函數(shù)的圖像(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，其值域是各段值域的并集，寫定義域時(shí)，區(qū)間端點(diǎn)應(yīng)不重不漏(4)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，關(guān)鍵是看自變量的取值屬于哪一段，就用哪一段的解析式求解3關(guān)于函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，在確定出函數(shù)的解析式后，不僅要注意解析式本身對(duì)自變量的限制，還要注意自變量的實(shí)際意義1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)任何一個(gè)函數(shù)都可以用解析法表示()(2)函數(shù)的圖像一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線()(3)分段函數(shù)分幾段，其圖像就有相應(yīng)的幾段()答案(1)×(2)×(3) 2做一做(1)已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)等于()x1x<222<x4f(x)123A1 B2 C3 D不存在(2)函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則f(x)的定義域是_，值域是_(3)已知函數(shù)f(x)則f(2)_.(4)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且其圖像過點(diǎn)A(2,0)，B(1，5)兩點(diǎn)，則f(x)的解析式為_答案(1)C(2)1,2)(1,1(3)4(4)f(x)x題型一 函數(shù)的三種表示方法例1某商場新進(jìn)了10臺(tái)彩電，每臺(tái)售價(jià)3000元，試求售出臺(tái)數(shù)x(臺(tái))與收款總額y(元)之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖像法、解析法表示出來解(1)列表法：(2)圖像法：(3)解析法：y3000x，x1,2,3，10金版點(diǎn)睛函數(shù)的表示方法(1)解析法有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系；二是可以通過解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值中學(xué)階段所研究的主要是能夠用解析式表示的函數(shù)(2)圖像法的優(yōu)點(diǎn)是能直觀形象地表示出隨自變量的變化，相應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)，有利于我們通過圖像來研究函數(shù)的某些性質(zhì)圖像法在生產(chǎn)和生活中有許多應(yīng)用，如企業(yè)生產(chǎn)圖、股市走勢(shì)圖等(3)列表法的優(yōu)點(diǎn)是不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，表格法在實(shí)際生產(chǎn)和生活中也有廣泛應(yīng)用，如銀行利率表、列車時(shí)刻表等某問答游戲的規(guī)則是：共5道選擇題，基礎(chǔ)分為50分，每答錯(cuò)一道題扣10分，答對(duì)不扣分，試分別用列表法、圖像法、解析法表示一個(gè)參與者的得分y與答錯(cuò)題目道數(shù)x(x0,1,2,3,4,5)之間的函數(shù)關(guān)系解(1)該函數(shù)關(guān)系用列表法表示為：x/道012345y/分50403020100(2)該函數(shù)關(guān)系用圖像法表示，如圖(3)該函數(shù)關(guān)系用解析法表示為y5010x(x0,1,2,3,4,5).題型二 作函數(shù)的圖像例2作出下列各函數(shù)的圖像：(1)y1x，xZ；(2)yx22x，x2,2解(1)列表：x210123y321012描點(diǎn)可得這個(gè)函數(shù)的圖像由一些點(diǎn)組成，這些點(diǎn)都在直線y1x上，xZ，yZ，這些點(diǎn)稱為整點(diǎn)，如圖(1)所示(2)列表：x21012y01038描點(diǎn)、連線可得這個(gè)函數(shù)的圖像是拋物線yx22x在2x2之間的部分，如圖(2)所示金版點(diǎn)睛作函數(shù)圖像應(yīng)注意的問題(1)作函數(shù)圖像主要有三步：列表、描點(diǎn)、連線作圖像時(shí)一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，最后列表畫出圖像(2)函數(shù)的圖像可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點(diǎn)，畫圖時(shí)要注意關(guān)鍵點(diǎn)，如圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)等等，還要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn)畫出下列函數(shù)的圖像：(1)yx1(x0)；(2)yx22x(x>1或x<1)解(1)yx1(x0)表示一條射線，圖像如圖(1)(2)yx22x(x1)21，(x>1或x<1)是拋物線yx22x去掉1x1之間的部分后剩余的曲線，如圖(2)題型三 函數(shù)解析式的求法例3(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且ff(x)9x4，求f(x)的解析式；(2)已知f(1)x2，求f(x)的解析式解(1)設(shè)f(x)kxb(k0)，則ff(x)k(kxb)bk2xkbb9x4.解得k3，b1或k3，b2.f(x)3x1或f(x)3x2.(2)解法一(配湊法)：f(1)x2(1)21(11)，f(x)x21(x1)解法二(換元法)：令1t(t1)，則x(t1)2(t1)，f(t)(t1)22t21(t1)f(x)x21(x1)金版點(diǎn)睛求函數(shù)解析式的五種常用方法(1)待定系數(shù)法：已知函數(shù)f(x)的函數(shù)類型，求f(x)的解析式時(shí)，根據(jù)類型設(shè)出其解析式，確定其系數(shù)即可(2)換元法：即令tg(x)，解出x，代入h(x)中，得到一個(gè)含t的解析式，即為函數(shù)解析式，注意：換元后新元的范圍(3)配湊法：已知fg(x)的解析式，要求f(x)時(shí)，可從fg(x)的解析式中拼湊出“g(x)”，即用g(x)來表示f(x)，再將解析式兩邊的g(x)用x代替即可(4)代入法：已知yf(x)的解析式求yfg(x)的解析式時(shí)，可直接用新自變量g(x)替換yf(x)中的x.(5)方程組法：當(dāng)同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中的含有自變量的兩個(gè)表達(dá)式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造方程組求解(1)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)1，f(1)2，f(2)5，求該二次函數(shù)的解析式；(2)已知函數(shù)f(x1)x23x2，求f(x)；(3)已知f(4)x8，求f(x2)；(4)已知函數(shù)yf(x)，滿足2f(x)f2x，xR且x0，求f(x)解(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為f(x)ax2bxc(a0)，由題意，得解得故f(x)x21.(2)解法一：令x1t，則xt1，代入，得f(t)(t1)23(t1)2，即f(t)t25t6，f(x)x25x6.解法二：f(x1)x23x2(x1)25x1(x1)25(x1)6，f(x)x25x6.(3)解法一：f(4)()28(4)216，f(x)x216(x4)f(x2)x416(x2或x2)解法二：令4t(t4)，則x(t4)2.f(t)(t4)28(t4)t216(t4)，即f(x)x216(x4)f(x2)x416(x2或x2)(4)用代替x有2ff(x)，所以有×2，得3f(x)4x，即f(x)(x0).題型四 分段函數(shù)例4(1)已知函數(shù)f(x)求f(2)，f；若f(a)3，求a的值；(2)已知函數(shù)f(x)畫出函數(shù)f(x)的圖像；求函數(shù)f(x)的定義域和值域；利用圖像解不等式f(x)>x.解(1)f(2)2×24，f2.當(dāng)a1時(shí)，f(a)a2，即a23，a1(舍去)當(dāng)1<a<2時(shí)，f(a)a23，a±，<1，a不符合題意，舍去，a.當(dāng)a2時(shí)，f(a)2a3，a1.5(舍去)綜上可知，a.(2)函數(shù)f(x)的圖像如右圖所示由條件，知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.由圖像，知當(dāng)|x|1時(shí)，f(x)x2的值域?yàn)?,1，當(dāng)|x|>1時(shí)，f(x)1，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,1由圖像，知不等式f(x)>x的解集為x|x<0金版點(diǎn)睛分段函數(shù)求值應(yīng)注意的問題(1)分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，然后代入相應(yīng)的解析式求得，當(dāng)不明確時(shí)要分類討論(2)分段函數(shù)的解析式因其特點(diǎn)可以分成兩個(gè)或兩個(gè)以上的不同解析式，所以它的圖像也由幾部分構(gòu)成，有的可以是光滑的曲線段，有的也可以是一些孤立的點(diǎn)或幾段線段，而分段函數(shù)的定義域與值域的最好的求法也是“圖像法”，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是分別求出各段上的值域的并集(1)已知函數(shù)f(x)則f_；(2)如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿逆時(shí)針方向由B點(diǎn)(起點(diǎn))向A點(diǎn)(終點(diǎn))移動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，ABP的面積為y.根據(jù)題意寫出y與x之間的函數(shù)解析式；作出函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像求y的最大值答案(1)(2)見解析解析(1)由于1，所以f2，而>1，所以f12.所以f.(2)點(diǎn)P移動(dòng)，ABP的面積隨之變化，可分點(diǎn)P落在邊BC上，CD上，DA上三種情況進(jìn)行討論，得關(guān)系式y(tǒng)函數(shù)的圖像如圖所示由圖像可得ymax8.1在下面四個(gè)圖中，可表示函數(shù)yf(x)的圖像的只可能是()答案D解析根據(jù)函數(shù)的定義，任意作出與x軸垂直的直線，直線與函數(shù)圖像至多有一個(gè)交點(diǎn)，因此只有D符合2若f(x)3x4，g(x1)f(x)，則g(x)()A3x3 B3x5 C3x1 D3x4答案C解析g(x1)3x43(x1)1，g(x)3x1.3函數(shù)yx的圖像是圖中的()答案C解析yx畫出圖像即為C.4設(shè)函數(shù)f(x)則f的值為_答案解析f，ff.5某市“招手即?！惫财嚨钠眱r(jià)按下列規(guī)則制定：(1)5 km以內(nèi)(含5 km)，票價(jià)2元；(2)5 km以上，每增加5 km，票價(jià)增加1元(不足5 km的部分按5 km計(jì)算)如果某條線路的總里程為20 km，請(qǐng)根據(jù)題意，寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖像解設(shè)里程為x km時(shí)，票價(jià)為y元由題意可知，自變量x的取值范圍是(0,20由“招手即停”公共汽車票價(jià)的制定規(guī)則，可得函數(shù)解析式為y根據(jù)這個(gè)函數(shù)的解析式，可畫出函數(shù)的圖像，如圖所示11