2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.2 奇偶性教學案 新人教A版必修第一冊

3.2.2奇偶性(教師獨具內(nèi)容)課程標準：1.了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義，并會用符號語言描述.2.了解奇偶函數(shù)的圖象特征，會判斷簡單函數(shù)的奇偶性教學重點：1.函數(shù)奇偶性的概念.2.奇函數(shù)，偶函數(shù)的幾何特征.3.判斷函數(shù)的奇偶性教學難點：1.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性結(jié)合問題.2.函數(shù)奇偶性的判定.【知識導學】知識點一偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義(1)偶函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(even function)(2)奇函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(odd function)知識點二偶函數(shù)、奇函數(shù)的圖象特征(1)偶函數(shù)的圖象特征如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)(2)奇函數(shù)的圖象特征如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)【新知拓展】(1)奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)(對照單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，以加深理解)(2)定義域不關(guān)于原點對稱的函數(shù)，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(3)對于奇函數(shù)f(x)，若f(0)有意義，則f(0)0；對于偶函數(shù)f(x)，必有f(x)f(x)f(|x|)(4)有的函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，如：y2x1；有的函數(shù)是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)，如：yx；有的函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)，如：y|x|；有的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，如：y0(x1,1)(5)常見函數(shù)(一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù))的奇偶性1判一判(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)奇(偶)函數(shù)的定義域都關(guān)于原點對稱()(2)函數(shù)f(x)x2的圖象關(guān)于原點對稱()(3)對于定義在R上的函數(shù)f(x)，若f(1)f(1)，則函數(shù) f(x)一定是奇函數(shù)()(4)對于奇函數(shù)f(x)，一定有f(0)0.()(5)對于函數(shù)yf(x)，xR，若x0R，使f(x0)f(x0)，則該函數(shù)不是偶函數(shù)()答案(1)(2)×(3)×(4)×(5)2做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)函數(shù)f(x)x在定義域R上是_函數(shù)(填“奇”或“偶”)(2)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且f(2)4，則f(2)_.(3)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)x21，則f(2)f(0)_.答案(1)奇(2)4(3)5題型一 函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)x1；(2)f(x)；(3)f(x)|x2|x2|；(4)f(x)解(1)函數(shù)f(x)x1的定義域為實數(shù)集R，關(guān)于原點對稱因為f(x)x1(x1)，f(x)(x1)，即f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)x1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)使函數(shù)有意義需滿足所以該函數(shù)的定義域為1，因為定義域不關(guān)于原點對稱，所以f(x)為非奇非偶函數(shù)(3)函數(shù)f(x)|x2|x2|的定義域為實數(shù)集R，關(guān)于原點對稱因為f(x)|x2|x2|x2|x2|f(x)，所以函數(shù)f(x)|x2|x2|是偶函數(shù)(4)函數(shù)的定義域為(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱當x>0時，x<0，f(x)(x)21f(x)；當x<0時，x>0，f(x)(x)21x21f(x)綜上可知，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)金版點睛函數(shù)奇偶性判斷的方法(1)定義法(2)圖象法：即若函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)此法多用在選擇、填空題中(3)設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是I1，I2，在它們的公共定義域上，有如下結(jié)論：判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)(2)f(x)0(xR)；(3)f(x)2x1；(4)f(x).解(1)顯然函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱當x>0時，x<0，f(x)x2x(xx2)f(x)，當x<0時，x>0，f(x)xx2(x2x)f(x)，f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)(2)f(x)0f(x)，且f(x)0f(x)，f(x)0既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)(3)函數(shù)f(x)2x1的定義域為R，關(guān)于原點對稱 f(x)2x1，f(x)2x1，f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)2x1既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(4)函數(shù)f(x)的定義域為(，1)(1，)，不關(guān)于原點對稱，故函數(shù)f(x)不具有奇偶性.題型二 奇偶函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2已知奇函數(shù)yf(x)的定義域為5,5，且在區(qū)間0,5上的圖象如圖所示，則使函數(shù)值y<0的x的取值集合為_解析因為函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)，所以yf(x)在5，5上的圖象關(guān)于原點對稱由yf(x)在0,5上的圖象，可知它在5,0上的圖象，如圖所示由圖象知，使函數(shù)值y<0的x的取值集合為(2,0)(2,5)答案(2,0)(2,5)結(jié)論探究本例條件不變，問題改為比較f(1)與f(3)的大小解由例題圖象知f(1)0，f(3)0，故f(1)f(3)金版點睛巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題(1)依據(jù)：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱(2)求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決諸如求函數(shù)值或畫出奇偶函數(shù)圖象的問題(3)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的關(guān)系若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致；若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的最值相反，且互為相反數(shù)；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的最值相等若f(x)是奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)x38，則x|f(x2)>0()Ax|2<x<0或x>2Bx|0<x<2或x>4Cx|x<0或2<x<4Dx|x<2或x>2答案B解析當x2時，有f(2)0，又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(2)0，作出f(x)的大致圖象，由圖象可知，當2<x2<0或x2>2，即0<x<2或x>4時，有f(x2)>0，故選B.題型三 利用函數(shù)奇偶性求解析式例3若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，f(x)x(2x)，求函數(shù)f(x)的解析式解f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(0)0，當x>0時，x<0，則f(x)x(2x)f(x)，f(x)x(x2)故f(x)金版點睛求函數(shù)解析式的注意事項(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間求解析式，x就設(shè)在哪個區(qū)間內(nèi)(2)要利用已知區(qū)間的解析式進行代入(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)注意：若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有f(0)0，但若為偶函數(shù)，則未必有f(0)0.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，并且當x>0時，f(x)x3x1，求f(x)的解析式解當x>0時，f(x)x3x1，設(shè)x<0，則x>0.f(x)(x)3(x)1x3x1.又f(x)是奇函數(shù)，f(0)0，f(x)f(x)f(x)x3x1，即f(x)x3x1.故f(x)題型四 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用例4(1)已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在2,6上單調(diào)遞減，比較f(5)與f(3)的大小；(2)設(shè)定義在2,2上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，若f(1m)<f(m)，求實數(shù)m的取值范圍解(1)因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(5)f(5)，因為f(x)在2,6上單調(diào)遞減，所以f(5)<f(3)，所以f(5)<f(3)(2)因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)f(|x|)所以不等式f(1m)<f(m)等價于f(|1m|)<f(|m|)又f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，所以解得1m<.即m的取值范圍是.金版點睛奇偶性與單調(diào)性綜合問題的兩種類型(1)比較大?。嚎醋宰兞渴欠裨谕粏握{(diào)區(qū)間上在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的兩函數(shù)值，然后利用單調(diào)性比較大小(2)解不等式利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，脫掉不等式中的“f”，轉(zhuǎn)化為簡單不等式求解(1)已知函數(shù)f(x)在5,5上是偶函數(shù)，f(x)在0,5上是單調(diào)函數(shù)，且f(4)<f(2)，則下列不等式一定成立的是()Af(1)<f(3) Bf(2)<f(3)Cf(3)<f(5) Df(0)>f(1)(2)設(shè)f(x)在R上是偶函數(shù)，在(，0)上單調(diào)遞減，若f(a22a3)>f(a2a1)，求實數(shù)a的取值范圍答案(1)D(2)見解析解析(1)因為函數(shù)f(x)在5,5上是偶函數(shù)，所以f(4)<f(2)f(4)<f(2)又f(x)在0,5上是單調(diào)函數(shù)所以f(x)在0,5上單調(diào)遞減，從而f(0)>f(1)(2)由題意知f(x)在(0，)上單調(diào)遞增又a22a3(a1)22>0，a2a12>0，且f(a22a3)>f(a2a1)，所以a22a3>a2a1，解得a<.綜上，實數(shù)a的取值范圍是.1下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()Ay|x| By2xCy Dyx28答案C解析A，D兩項，函數(shù)均為偶函數(shù)，B項中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而C項中函數(shù)為奇函數(shù)2若函數(shù)f(x)滿足1，則f(x)圖象的對稱軸是()Ax軸 By軸C直線yx D不能確定答案B解析由于f(x)f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱3已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)等于()A4 B3 C2 D1答案B解析由題意知f(1)g(1)f(1)g(1)2，f(1)g(1)f(1)g(1)4.兩式相加，解得g(1)3.4奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,6上單調(diào)遞增，在區(qū)間3,6上最大值是4，最小值是1，則2f(6)f(3)_.答案7解析f(x)是奇函數(shù)，且在3,6上單調(diào)遞增，f(3)1，f(6)4.2f(6)f(3)2f(6)f(3)2×417.5已知函數(shù)f(x)x24x3.(1)若g(x)f(x)bx為偶函數(shù)，求b；(2)求函數(shù)f(x)在3,3上的最大值解(1)g(x)f(x)bxx2(b4)x3，g(x)x2(b4)x3，g(x)g(x)，b40，b4.(2)f(x)x24x3的圖象關(guān)于直線x2對稱，因此f(x)在x2時取得最小值1，在x3時取得最大值24.- 9 -