2018版高考數(shù)學二輪復習 第1部分 重點強化專題 專題1 三角函數(shù) 第1講 三角函數(shù)問題教學案 理

第1講三角函數(shù)問題題型1三角函數(shù)的圖象問題(對應(yīng)學生用書第1頁)核心知識儲備·1“五點法”作圖用五點法畫yAsin(x)在一個周期內(nèi)的簡圖時，一般先列表，后描點，連線，其中所列表如下：xx02Asin(x)0A0A02圖象變換典題試解尋法【典題1】(考查三角函數(shù)圖象的平移變換)(2017·全國卷)已知曲線C1：ycos x，C2：ysin，則下面結(jié)論正確的是()A把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2B把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2D把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2思路分析異名三角函數(shù)同名三角函數(shù)得結(jié)論解析因為ysincoscos，所以曲線C1：ycos x上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到曲線ycos 2x，再把得到的曲線ycos 2x向左平移個單位長度，得到曲線ycos 2cos.故選D.答案D【典題2】(考查已知三角函數(shù)的圖象求解析式)(2017·洛陽模擬)函數(shù)f(x)2sin(x)的部分圖象如圖1­1所示，已知圖象經(jīng)過點A(0,1)，B，則f(x)_. 【導學號：07804000】圖1­1思路分析由圖象得周期T，利用T得由特殊點A(0,1)得關(guān)于的三角方程利用的范圍確定的值f(x)解析由已知得，T，又T，3.f(0)1，sin ，又0，f(x)2sin(經(jīng)檢驗滿足題意)答案2sin 類題通法(1)當原函數(shù)與所要變換得到的目標函數(shù)的名稱不同時，首先要將函數(shù)名稱統(tǒng)一，將ysin x(0)的圖象變換成ysin(x)的圖象時，只需進行平移變換，應(yīng)把x變換成，根據(jù)確定平移量的大小，根據(jù)的符號確定平移的方向.(2)函數(shù)yAsin(x)的解析式的確定A由最值確定，A；由周期確定；(3)由圖象上的特殊點確定.通常利用峰點、谷點或零點列出關(guān)于的方程，結(jié)合的范圍解得的值，所列方程如下：峰點：x2k；谷點：x2k.,利用零點時，要區(qū)分該零點是升零點，還是降零點.升零點(圖象上升時與x軸的交點)：x2k；降零點(圖象下降時與x軸的交點)：x2k.(以上kZ)對點即時訓練·1已知函數(shù)f(x)sin2(x)(0)的最小正周期為，若將其圖象沿x軸向右平移a(a0)個單位，所得圖象關(guān)于原點對稱，則實數(shù)a的最小值為()ABCDD依題意得f(x)cos 2x，最小正周期T，2，所以f(x)cos 4x，將f(x)cos 4x的圖象向右平移a個單位后得到函數(shù)g(x)cos4(xa)的圖象又函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點對稱因此有g(shù)(0)cos 4a0,4ak，kZ，即a，kZ，因此正實數(shù)a的最小值是，選D.2函數(shù)f(x)Asin(x)(A，為常數(shù)，A0，0,0)的圖象如圖1­2所示，則f 的值為_圖1­21根據(jù)圖象可知，A2，所以周期T，2.又函數(shù)過點，所以有sin1，而0，所以，則f(x)2sin，因此f 2sin1.題型強化集訓·(見專題限時集訓T3、T5、T11)題型2三角函數(shù)的性質(zhì)問題(對應(yīng)學生用書第2頁)核心知識儲備1三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：ysin x的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ)；ycos x的單調(diào)遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間是2k，2k(kZ)；ytan x的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)2三角函數(shù)的對稱性yAsin(x)，當k(kZ)時為奇函數(shù)；當k(kZ)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由xk(kZ)求得yAcos(x)，當k(kZ)時為奇函數(shù)；當k(kZ)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由xk(kZ)求得yAtan(x)，當k(kZ)時為奇函數(shù)3三角函數(shù)的最值(1)yasin xbcos xc型函數(shù)的最值：通過引入輔助角可將此類函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為ysin(x)c的最值問題，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解(2)yasin2xbsin xcos xccos2x型函數(shù)的最值：可利用降冪公式sin2x，sin xcos x，cos2x，將yasin2xbsin xcos xccos2x轉(zhuǎn)化為yAsin 2xBcos 2xC，這樣就可將其轉(zhuǎn)化為(1)的類型來求最值典題試解尋法·【典題1】(考查三角函數(shù)圖象的對稱性)將函數(shù)f(x)cos 2x的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)具有性質(zhì)()A最大值為1，圖象關(guān)于直線x對稱B在上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)C在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)D周期為，圖象關(guān)于點對稱解析由題意可得將f(x)cos 2x的圖象向右平移個單位得到g(x)coscossin 2x的圖象，因為函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，所以排除C，又當x時函數(shù)值為0，當x時，函數(shù)值為，所以A和D中對稱的說法不正確，選B.答案B【典題2】(考查三角函數(shù)的值域問題)(2017·全國卷)函數(shù)f(x)sin2xcos x的最大值是_解析f(x)1cos2xcos x1.x，cos x0,1，當cos x時，f(x)取得最大值，最大值為1.答案1【典題3】(考查三角函數(shù)的定義域、周期性及單調(diào)性的判斷)已知函數(shù)f(x)4tan x·sin·cos. 【導學號：07804001】(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性解(1)f(x)的定義域為.f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，則函數(shù)y2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ.設(shè)A，B，易知AB.所以當x時，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減類題通法函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”視為一個整體，借助復合函數(shù)性質(zhì)求yAsin(x)B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題對點即時訓練·1已知函數(shù)f(x)sin(x2)2sin cos(x)(0，R)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是()A(0,2BCDCf(x)sin(x)2sin cos(x)cos sin(x)sin cos(x)sin x，2kx2k，kZx，kZ，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，kZ，所以，kZ，由，可得2k，kZ，由，kZ，可得1，kZ，所以2k1，kZ，又，所以，因為0，所以02，所以當k0時，1.故選C.2已知函數(shù)f(x)Acos2(x)1的最大值為3，f(x)的圖象與y軸的交點坐標為(0,2)，其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則f(1)f(2)f(2 016)()【導學號：07804002】A2 468 B3 501C4 032D5 739Cf(x)cos(2x2)1.由相鄰兩條對稱軸間的距離為2，知2，得T4，由f(x)的最大值為3，得A2.又f(x)的圖象過點(0,2)，cos 20，2k(kZ)，即(kZ)，又0，f(x)cos2sin 2.f(1)f(2)f(2 016)(12)(02)(12)(02)(12)(02)2×2 0164 032.題型強化集訓·(見專題限時集訓T1、T4、T6、T7、T8、T12、T13、T14)題型3三角恒等變換(對應(yīng)學生用書第4頁)核心知識儲備·1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin cos ±cos sin ；(2)cos(±)cos cos sin sin ；(3)tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 2.3輔助角公式asin xbcos xsin(x).典題試解尋法·【典題1】(考查給式求角問題)(2014·全國卷)設(shè)，且tan ，則()A3B2C3D2解析法一：(切化弦)由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin.，由sin()sin，得，2.法二：(弦化切)tan cottantan，k，kZ，22k，kZ.當k0時，滿足2，故選B.答案B【典題2】(考查給值求值問題)(2016·江西八校聯(lián)考)如圖1­3，圓O與x軸的正半軸的交點為A，點C，B在圓O上，且點C位于第一象限，點B的坐標為，AOC，若|BC|1，則cos2sincos 的值為_. 【導學號：07804003】圖1­3解析由題意可知|OB|BC|1，OBC為正三角形由三角函數(shù)的定義可知，sinAOBsin，cos2sincoscos sin sin.答案類題通法解決三角函數(shù)式的化簡求值要堅持“三看”原則：一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分；二是“函數(shù)名稱”，是需進行“切化弦”還是“弦化切”等，從而確定使用的公式；三看“結(jié)構(gòu)特征”，了解變式或化簡的方向.對點即時訓練·1對于銳角，若sin，則cos()ABCDD由為銳角，且sin，可得cos，那么coscoscoscos sinsin ，于是cos2cos212×1.故選D.2已知tan ，tan ，且0，則2的值為_tan 2，又0，所以2，又，所以2(，0)，又tan ，則tan(2)1，故2.題型強化集訓·(見專題限時集訓T2、T9、T10)三年真題| 驗收復習效果(對應(yīng)學生用書第4頁)1(2015·全國卷)sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°()AB.CD.Dsin 20°cos 10°cos 160°sin 10°sin 20°cos 10°cos 20°sin 10°sin(20°10°)sin 30°，故選D.2(2016·全國卷)若tan ，則cos22sin 2()ABC1DA因為tan ，則cos22sin 2.故選A.3(2016·全國卷)若將函數(shù)y2sin 2x的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為() 【導學號：07804004】Ax(kZ)Bx(kZ)Cx(kZ)Dx(kZ)B將函數(shù)y2sin 2x的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y2sin 22sin的圖象由2xkx(kZ)，得x(kZ)，即平移后圖象的對稱軸為x(kZ)4(2017·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)cos，則下列結(jié)論錯誤的是()Af(x)的一個周期為2Byf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱Cf(x)的一個零點為xDf(x)在單調(diào)遞減DA項，因為f(x)cos的周期為2k(kZ)，所以f(x)的一個周期為2，A項正確B項，因為f(x)cos圖象的對稱軸為直線xk(kZ)，所以yf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，B項正確C項，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，當k1時，x，所以f(x)的一個零點為x，C項正確D項，因為f(x)cos的遞減區(qū)間為(kZ)，遞增區(qū)間為(kZ)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項錯誤故選D.5(2015·全國卷)函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖象如圖1­4所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()【導學號：07804005】圖1­4A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZD由圖象知，最小正周期T22，2，.由×2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2k<x<2k，kZ，得2k<x<2k，kZ，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，kZ.故選D.6(2016·全國卷)已知函數(shù)f(x)sin(x)，x為f(x)的零點，x為yf(x)圖象的對稱軸，且f(x)在上單調(diào)，則的最大值為()A11B9C7D5B因為f(x)sin(x)的一個零點為x，x為yf(x)圖象的對稱軸，所以·k(k為奇數(shù))又T，所以k(k為奇數(shù))又函數(shù)f(x)在上單調(diào)，所以×，即12.若11，又|，則，此時，f(x)sin，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不滿足條件若9，又|，則，此時，f(x)sin，滿足f(x)在上單調(diào)的條件故選B.14