2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.3 冪函數(shù)教學(xué)案 新人教A版必修第一冊

3.3 冪函數(shù)(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過具體實例了解冪函數(shù)的概念.2.會畫冪函數(shù)yx，yx2，yx3，y，yx的圖象，并能通過圖象了解冪函數(shù)的圖象與性質(zhì).3.能正確應(yīng)用冪函數(shù)的知識解決相關(guān)問題教學(xué)重點：1.冪函數(shù)的概念.2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)難點：應(yīng)用冪函數(shù)的知識解決相關(guān)問題【知識導(dǎo)學(xué)】知識點一冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)(power function)，其中x是自變量，是常數(shù)知識點二一些常用冪函數(shù)的圖象同一坐標(biāo)系中，冪函數(shù)yx，yx2，yx3，yx1，yx的圖象(如圖)知識點三一些常用冪函數(shù)的性質(zhì)【新知拓展】1冪函數(shù)的特征(1)x的系數(shù)是1；(2)x的底數(shù)x是自變量；(3)x的指數(shù)為常數(shù)只有滿足這三個條件，才是冪函數(shù)對于形如y(2x)，y2x5，yx6等的函數(shù)都不是冪函數(shù)2冪函數(shù)的性質(zhì)(1)所有的冪函數(shù)在(0，)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)；(2)如果0，那么冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增；(3)如果0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當(dāng)x從原點趨向于時，圖象在x軸上方無限接近x軸；(4)在(1，)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸1判一判(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)yx32是冪函數(shù)()(2)冪函數(shù)的圖象必過(0,0)和(1,1)這兩點()(3)冪函數(shù)yx的定義域為R，與指數(shù)無關(guān)()(4)當(dāng)x1時，函數(shù)yx2的圖象總在函數(shù)yx3的圖象的下方()答案(1)×(2)×(3)×(4)2做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)若ymx(2n4)是冪函數(shù)，則mn_.(2)已知冪函數(shù)f(x)x的圖象經(jīng)過點(2,8)，則f(2)_.(3)若yax是冪函數(shù)，則該函數(shù)的值域是_答案(1)3(2)8(3)0，) 題型一 冪函數(shù)的定義例1已知冪函數(shù)y(m2m1)xm22m3，求此冪函數(shù)的解析式，并指出其定義域解y(m2m1)xm22m3為冪函數(shù)，m2m11，解得m2或m1.當(dāng)m2時，m22m33，則yx3，且有x0；當(dāng)m1時，m22m30，則yx0，且有x0.故所求冪函數(shù)的解析式為yx3或yx0，它們的定義域都是x|x0金版點睛判斷函數(shù)是冪函數(shù)的依據(jù)判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為yx(為常數(shù))的形式，即滿足：指數(shù)為常數(shù)；底數(shù)x為自變量；系數(shù)為1.(1)在函數(shù)y，y2x2，yx2x，y1中，冪函數(shù)的個數(shù)為()A0 B1 C2 D3(2)已知y(m24m4)x2n3是冪函數(shù)，求m，n的值答案(1)B(2)見解析解析(1)yx2，所以是冪函數(shù)；y2x2由于系數(shù)是2，因此不是冪函數(shù)；yx2x是兩項和的形式，不是冪函數(shù)；y1x0(x0)，可以看出，常函數(shù)y1的圖象比冪函數(shù)yx0的圖象多了一個點(0,1)，所以常函數(shù)y1不是冪函數(shù)(2)由題意得解得所以m3，n.題型二 冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2冪函數(shù)yx2，yx1，yx，yx在第一象限內(nèi)的圖象依次是圖中的曲線()AC2，C1，C3，C4BC4，C1，C3，C2CC3，C2，C1，C4DC1，C4，C2，C3解析由于在第一象限內(nèi)直線x1的右側(cè)，冪函數(shù)yx的圖象從上到下相應(yīng)的指數(shù)由大變小，即冪函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)直線x1右側(cè)的“高低”關(guān)系是“指大圖高”，故冪函數(shù)yx2在第一象限內(nèi)的圖象為C1，yx1在第一象限內(nèi)的圖象為C4，yx在第一象限內(nèi)的圖象為C2，yx在第一象限內(nèi)的圖象為C3.答案D金版點睛解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個原則(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0,1上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在1，)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡記為指大圖高)(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)與0,1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于yx1或yx或yx3)來判斷(1)如圖是冪函數(shù)yxm與yxn在第一象限內(nèi)的圖象，則()A1<n<0<m<1Bn<1,0<m<1C1<n<0，m>1Dn<1，m>1(2)已知函數(shù)y.求定義域；判斷奇偶性；已知該函數(shù)在第一象限的圖象如圖所示，試補(bǔ)全圖象，并由圖象確定單調(diào)區(qū)間答案(1)B(2)見解析解析(1)在(0,1)內(nèi)取x0，作直線xx0，與各圖象有交點，則“點低指數(shù)大”如圖，0<m<1，n<1.(2)y，定義域為實數(shù)集R.設(shè)yf(x)，因為f(x)f(x)，且定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，所以函數(shù)y是偶函數(shù)因為函數(shù)為偶函數(shù)，則作出它在第一象限的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象，即得函數(shù)y的圖象，如圖所示根據(jù)圖象易知，函數(shù)y在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(，0上單調(diào)遞減.題型三 冪函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例3比較下列各題中兩個值的大小：(1)2.3，2.4；(2)() ，()；(3)(0.31)2,0.352.解(1)yx在0，)上單調(diào)遞增，且2.3<2.4，2.3<2.4.(2)yx在(0，)上單調(diào)遞減，且<，()>().(3)yx2為R上的偶函數(shù)，(0.31)20.312.又函數(shù)yx2在0，)上單調(diào)遞增，且0.31<0.35，0.312<0.352，即(0.31)2<0.352.金版點睛比較冪值大小的方法比較冪值的大小，關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，若指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮構(gòu)造冪函數(shù)，然后根據(jù)所構(gòu)造的冪函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、奇偶性等來解決問題例4若(32m) >(m1) ，求實數(shù)m的取值范圍解因為yx在定義域0，)上單調(diào)遞增，所以解得1m<.故實數(shù)m的取值范圍為.金版點睛利用冪函數(shù)解不等式的步驟利用冪函數(shù)解不等式，實質(zhì)是已知兩個函數(shù)值的大小，判斷自變量的大小，常與冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題求解步驟如下：(1)確定可以利用的冪函數(shù)；(2)借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的大小關(guān)系，轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系；(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍，注意分類討論思想的應(yīng)用(1)比較下列各組數(shù)的大小：與；3.143與3；(2)已知冪函數(shù)y(m2m5)xm22m3，當(dāng)x(0，)時，y隨x的增大而減小，求此冪函數(shù)的解析式解(1)yx在0，)上單調(diào)遞增，且>，>.yx3是R上的增函數(shù)，且3.14<，3.143<3，3.143>3.(2)y(m2m5)xm22m3是冪函數(shù)，m2m51，即(m2)(m3)0，m2或m3.當(dāng)m2時，m22m33，yx3是冪函數(shù)，且滿足當(dāng)x(0，)時，y隨x的增大而減??；當(dāng)m3時，m22m312，yx12是冪函數(shù)，但不滿足當(dāng)x(0，)時，y隨x的增大而減小，故舍去yx3(x0)1下列函數(shù)是冪函數(shù)的是()Ay5x Byx5Cy5x Dy(x1)3答案B解析由冪函數(shù)的定義知函數(shù)y5x不是冪函數(shù)；函數(shù)y5x是正比例函數(shù)，不是冪函數(shù)；函數(shù)y(x1)3的底數(shù)不是自變量x，不是冪函數(shù)；函數(shù)yx5是冪函數(shù)2函數(shù)yx3的圖象大致是圖中的()答案B解析函數(shù)yx3是奇函數(shù)，且3>1，則其為增函數(shù)，且y隨x的增大急劇增大，函數(shù)圖象為B.3設(shè)a26，b34，c72，則a，b，c的大小關(guān)系為()Ab<a<c Ba<c<bCa<b<c Dc<b<a答案A解析a2682，b3492，c72，由冪函數(shù)yx2在(0，)上單調(diào)遞減，可知b<a<c.4已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(4,2)，則f_.答案解析設(shè)冪函數(shù)為yx(為常數(shù))函數(shù)f(x)的圖象過點(4,2)，24，f(x)x，f.5已知冪函數(shù)yx3m9(mN*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，求f(x)的解析式解冪函數(shù)yx3m9在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，3m9<0，即m<3.又mN*，m1,2.又yx3m9的圖象關(guān)于y軸對稱，即該函數(shù)是偶函數(shù)，3m9是偶數(shù)m1.f(x)x6.- 10 -