2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第3部分 考前增分策略 專題1 考前教材重溫 2 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)教學(xué)案 理

2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)要點重溫·1幾種常規(guī)函數(shù)：(1)一次函數(shù)：f(x)axb(a0)當(dāng)b0時，f(x)為奇函數(shù)應(yīng)用1若一次函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,2上的最大值為3，最小值為1，則f(x)的解析式為_答案f(x)x，或f(x)x. (2)二次函數(shù)： 一般式：f(x)ax2bxc(a0)；頂點式：f(x)a(xh)2k(a0)；零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)；區(qū)間最值：一看開口方向，二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系應(yīng)用2若函數(shù)yx22x4的定義域、值域都是2,2b，則b_. 【導(dǎo)學(xué)號：07804160】答案2應(yīng)用3設(shè)函數(shù)f(x)x22(a1)x1在區(qū)間(，4)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_答案a3(3)三次函數(shù)的解析式的兩種形式：一般式：f(x)ax3bx2cxd(a0)；零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(xx3)(a0)應(yīng)用4已知函數(shù)f(x)ax3bx2cxd的圖象如圖2，則b的取值范圍是_圖2答案b0應(yīng)用5若函數(shù)f(x)x33ax23(a2)x3既有極大值又有極小值，則a的取值范圍為_答案a>2或a<1(4)反比例函數(shù)：y(x0)平移ya(x0)(中心為(b，a)(5)分段函數(shù)：分段處理，有時結(jié)合函數(shù)圖象來研究問題應(yīng)用6已知實數(shù)a0，函數(shù)f(x)，若f(1a)f(1a)，則a_.解析當(dāng)a0時，(1a)2a2(1a)a，a；當(dāng)a0時，(1a)2a2(1a)a，a(舍)；綜上可知a.答案應(yīng)用7設(shè)函數(shù)f(x) 若f(x0)>1，則x0的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號：07804161】答案(，1)(3，)應(yīng)用8已知f(x) 是(，)上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是_答案(6)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系：abNlogaNb(a>0，a1，N>0) ，換底公式logab；對數(shù)的運算法則：logaMlogaNlogaMN；logaMlogaNloga；解對數(shù)函數(shù)問題時，注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件(真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1)；字母底數(shù)范圍不明確時需分類討論應(yīng)用92log32log3log385log53_.答案1應(yīng)用10已知函數(shù)f(x) loga(x1)的定義域和值域都是0,1，則實數(shù)a的值是_答案2應(yīng)用11設(shè)a0，a1，函數(shù)f(x)ax2x1有最大值，則不等式loga(x1)0的解集為_解析因為x2x1有最小值，函數(shù)f(x)ax2x1有最大值，所以0a1，所以loga(x1)0loga10x11，解得1x2.答案(1,2)(7)對勾函數(shù)： f(x)x函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；單調(diào)性： a0時，區(qū)間(，0)，(0，)上為增函數(shù)； a0時，在(0，0)遞減，在(，)遞增；在c，d上的最值：當(dāng)?shù)忍柲苋〉綍r，利用基本不等式求解；當(dāng)?shù)忍柌荒苋〉綍r，利用單調(diào)性應(yīng)用12已知a0，求函數(shù)y的最小值答案0a1時，ymin2；a1時，ymin2函數(shù)圖象的幾種常見變換(1)平移變換：左右平移“左加右減”(注意是針對x而言)；上下平移“上加下減”(2)翻折變換：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|)(3)對稱變換：函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱；函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于直線x0 (y軸)對稱；函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線y0(x軸)對稱應(yīng)用13已知函數(shù)f(x)e|ln x|，則函數(shù)yf(x1)的大致圖象為()解析f(x)e|ln x|又yf(x1)的圖象可由yf(x)向左平移1個單位得到，所以結(jié)合選項可知A正確答案A3函數(shù)的常用性質(zhì) 研究函數(shù)的性質(zhì)時，樹立定義域優(yōu)先的原則(1)函數(shù)的單調(diào)性與最值判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：定義法、圖象法、導(dǎo)數(shù)法、復(fù)合函數(shù)法；求函數(shù)最值(值域) 的常用方法：單調(diào)性法、圖象法、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、有界函數(shù)法應(yīng)用14已知yloga(2ax)在0,1上是x的減函數(shù)，則a的范圍為_答案(1,2)應(yīng)用15函數(shù)f(x)exx1(e為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間1,1上的最大值是_答案e(2)函數(shù)的對稱性軸對稱：若函數(shù)yf(x)滿足f(ax)f(bx)，則圖象關(guān)于x 對稱. 特別地，若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(x)f(|x|)中心對稱：若函數(shù)yf(x)滿足f(ax)f(ax)0，則圖象關(guān)于(a,0)成中心對稱. 特別地，若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)f(x)應(yīng)用16f(x)(1x) 是_函數(shù)(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)答案非奇非偶應(yīng)用17函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)2sinx(0x4)的圖象的所有交點為(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，則f(y1y2yn)g(x1x2xn)_. 【導(dǎo)學(xué)號：07804162】解析如圖，畫出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，可知有4個交點，并且關(guān)于點(2,0)對稱，所以y1y2y3y40，x1x2x3x48，所以f(y1y2y3y4)g(x1x2x3x4)f(0)g(8)0.答案(3)函數(shù)的周期性f(x)f(xa)(a>0)，則f(x)的周期Ta；f(xa)(f(x)0)或f(xa)f(x)，則f(x)的周期T2a；f(ax)f(xb)，則周期T|ab|.應(yīng)用18設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)x2,1)時，f(x)則f _.答案1(4)函數(shù)的零點函數(shù)yf(x)的零點就是方程f(x)0的實數(shù)根，求f(x)g(x)根的個數(shù)時，可在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)yf(x)和yg(x)的圖象，看它們交點的個數(shù)；求方程根(函數(shù)零點)的范圍，可利用圖象觀察或零點存在性定理應(yīng)用19定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)1，且x0,1時，f(x)4x，x(1,2)時，f(x)，令g(x)2f(x)x4，x6,2，則函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為()A6B7C8D9解析x0,1時，f(x)4x，f(1)4，x(1,2)時，f(x)，g(x)2f(x)x4，x6,2，令g(x)2f(x)x40，即f(x)x2.函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)1，即自變量x每增加2個單位，函數(shù)圖象向上平移1個單位，自變量每減少2個單位，函數(shù)圖象向下平移1個單位，分別畫出函數(shù)yf(x)在x6,2，yx2的圖象，yf(x)在x6,2，yx2有8個交點，故函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為8個故選C.答案C應(yīng)用20已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：(1)f(x)f(2x)0，(2)f(x2)f(x)，(3)在1,1上表達式為f(x)，則函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間3,3上的交點個數(shù)為()A5B6C7D8解析由(1)f(x)f(2x)0可得f(x)關(guān)于(1,0)對稱，(2)f(x2)f(x)可得f(x)關(guān)于直線x1對稱，作出示意圖， 知函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)有6個交點答案B4導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用(1)導(dǎo)數(shù)幾何意義：kf(x0)表示曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處切線的斜率注意過某點的切線(即使點在曲線上)不一定只有一條應(yīng)用21過曲線yx32x上的點(1，1)的切線方程為_解析設(shè)P(x0，y0)為切點，則切線的斜率為y|xx0 3x2.切線方程為yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切線過點(1，1)，把它代入上述方程，得1(x2x0)(3x2)(1x0)，整理，得(x01)2(2x01)0，解得x01，或x0.故所求切線方程為y(12)(32)(x1)，或y(1)(2)(x)，即xy20，或5x4y10.答案xy20 或5x4y10(2)求函數(shù)單調(diào)性的步驟：明確函數(shù)yf(x)的定義域求導(dǎo)數(shù)解不等式f(x)>0得增區(qū)間(解不等式f(x)<0得減區(qū)間)應(yīng)用22函數(shù)f(x)(x>0且x1)在_上是減函數(shù)，在_上是增函數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號：07804163】答案應(yīng)用23已知函數(shù)f(x)x22axln x，若f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_解析由題意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立，因為max，所以2a，即a.答案(3)求函數(shù)極值、最值的步驟：求導(dǎo)；變形；求解；列表；作答特別提醒：導(dǎo)數(shù)為零的點并不一定是極值點， f(x0)0是x0為極值點的必要不充分條件；給出函數(shù)極大(小)值的條件，既要考慮f(x0)0，又要考慮檢驗“左正右負”(或“左負右正”)應(yīng)用24函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處有極小值10，則ab的值為_解析f(x)3x22axb，由x1時，函數(shù)取得極值10，得聯(lián)立得或當(dāng)a4，b11時， f(x)3x28x11(3x11)(x1)在x1兩側(cè)的符號相反，符合題意當(dāng)a3，b3時， f(x)3(x1)2在x1兩側(cè)的符號相同，所以a3，b3不符合題意，舍去綜上可知a4，b11，ab7.答案7(4)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題的思想證明不等式f(x)<g(x)，可構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，再證明h(x)max<0.不等式恒成立問題可利用分離參數(shù)法或直接求含參數(shù)的函數(shù)的最值應(yīng)用25設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(0，)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且有2f(x)xf(x)>x2，則不等式(x2 017)2f(x2 017)4f(2)>0的解集為()A(2 014，)B(0,2 014)C(0,2 019)D(2 019，)解析由2f(x)xf(x)>x2且x>0，得2xf(x)x2f(x)>x3>0.令g(x)x2f(x)(x>0)，則g(x)2xf(x)x2f(x)>0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增因為g(2)4f(2)，g(x2 017)(x2 017)2f(x2 017)，所以不等式(x2 017)2f(x2 017)4f(2)>0等價于g(x2 017)>g(2)，所以x2 017>2，解得x>2 019，故選D.答案D查缺補漏·1下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減的是() 【導(dǎo)學(xué)號：07804164】Af(x)Bf(x)Cf(x)2x2xDf(x)cos xB對于A，偶函數(shù)與單調(diào)遞減均不滿足；對于B，符合題意；對于C，不滿足單調(diào)遞減；對于D，不滿足單調(diào)遞減，故選B.2已知f(x)則f的值是()A1B1CDC<1，f f(2)，又2<1，ff(2)f(2)log22.3由曲線xy1，直線yx，y3所圍成的平面圖形的面積為()A.B2ln 3C4ln 3D4ln 3D由曲線xy1，直線yx，y3所圍成的平面圖形如下圖中的陰影部分所示：其中A，B(1,1)，C(3,3)，所以陰影部分的面積Sdy4ln 3，故選D.4函數(shù)y的圖象大致為()ABCDDyf(x)，f(x)f(x)是奇函數(shù)，排除A，又在區(qū)間上，f(x)>0，排除B，當(dāng)x時，f(x)0，排除C，故選D.5當(dāng)0<x時，4x<logax，則a的取值范圍是()【導(dǎo)學(xué)號：07804165】ABC(1，)D(，2)B當(dāng)0<a<1時，ylogax是減函數(shù)，在0<x內(nèi)它的值域為，而y4x的值域為(1,2，所以此時有2<logalogaa2<loga，a2>，解得<a<1；當(dāng)a>1時，ylogax是增函數(shù)，在0<x內(nèi)它的值域為，而y4x的值域為(1,2，所以此時有l(wèi)oga<loga10，顯然不符合題意，綜上<a<1.6已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且ff恒成立，當(dāng)x2,3時，f(x)x，則當(dāng)x(2,0)時，f(x)()A2|x1|B3|x1|C|x2|Dx4BxR，f f ，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，即f(x)是最小正周期為2的函數(shù)令0x1，則2x23，當(dāng)x2,3時，f(x)x，f(x2)x2，f(x)x2，x0,1，f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)x2，x1,0，令2x1，則0x21，f(x)x2，x0,1，f(x2)x4，f(x)x4，x2，1，當(dāng)2<x<0時，函數(shù)的解析式為：f(x)3|x1|.7中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，如圖3所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美，給出定義：能夠?qū)AO的周長和面積同時平分的函數(shù)稱為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)”，給出下列命題：圖3對于任意一個圓O，其“優(yōu)美函數(shù)“有無數(shù)個”；函數(shù)f(x)ln(x2)可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；正弦函數(shù)ysin x可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；函數(shù)yf(x)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)yf(x)的圖象是中心對稱圖形. 其中正確的命題是：()ABCDA對于，過圓心的任一直線都可以滿足要求，所以正確；對于，可以做出其圖象，故不能是某圓的優(yōu)美函數(shù)；對于，只需將圓的圓心放在正弦函數(shù)的圖象的對稱中心上即可，所以正弦函數(shù)是無數(shù)個圓的優(yōu)美函數(shù)；對于，函數(shù)是中心對稱圖形時，函數(shù)是優(yōu)美函數(shù)，但是優(yōu)美函數(shù)不一定是中心對稱，如圖所示：故選A.8已知yf(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)>0，則關(guān)于x的函數(shù)g(x)f(x)的零點個數(shù)為()A1B2C0D0或2C因為函數(shù)g(x)f(x)，可得x0，所以g(x)的零點跟xg(x)的非零零點是完全一樣的，故我們考慮xg(x)xf(x)1的零點，由于當(dāng)x0時，f(x)>0，當(dāng)x>0時，(xg(x)(xf(x)xf(x)f(x)x>0，在(0，)上，函數(shù)xg(x)單調(diào)遞增又f(x)在R上可導(dǎo)，當(dāng)x(0，)時，函數(shù)xg(x)xf(x)1>1恒成立，因此，在(0，)上，函數(shù)xg(x)xf(x)1沒有零點當(dāng)x<0時，因為(xg(x)(xf(x)xf(x)f(x)x<0，故函數(shù)xg(x)在(，0)上是遞減函數(shù)，函數(shù)xg(x)xf(x)1>1恒成立，故函數(shù)xg(x)在(，0)上無零點綜上得，函數(shù)g(x)f(x)在R上的零點個數(shù)為0.9若函數(shù)f(x)ln(x2ax1)是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：07804166】0由題意知，f(x)ln(x2ax1)為偶函數(shù)，即ln(x2ax1)ln(x2ax1)，即x2ax1x2ax1，顯然a0.10若偶函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x2對稱，f(3)3，則f(1)_.3因為f(x)的圖象關(guān)于直線x2對稱，所以f(x)f(4x)，f(x)f(4x)，又f(x)f(x)，所以f(x)f(4x)，則f(1)f(41)f(3)3.11若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(，0上是減函數(shù)，且f(2)0，則使得f(x)<0的x的取值范圍是_(2,2)因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)f(|x|)因為f(x)<0，f(2)0.所以f(|x|)<f(2)又因為f(x)在(，0上是減函數(shù)，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以|x|<2，所以2<x<2.12已知函數(shù)f(x)若f(x)的最小值是a，則a_.4若a0，函數(shù)的值域為(0，)，不符合題意；若a<0，則函數(shù)的最小值為1a或.所以1aa或a，解得a4.13已知函數(shù)f(x)x3x，函數(shù)g(x)滿足g(x)g(2x)0，若函數(shù)h(x)g(x)f(x1)有10個零點，則所有零點之和為_10易知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其對稱中心為(0,0)，所以函數(shù)yf(x1)的對稱中心為(1,0)由函數(shù)g(x)滿足g(x)g(2x)0，知函數(shù)g(x)的對稱中心為(1,0)，函數(shù)h(x)g(x)f(x1)有10個零點， 即函數(shù)yg(x)與yf(x1)有10個交點，并且(1,0)對稱，所以函數(shù)h(x)g(x)f(x1)有10個零點，則所有零點之和為10.14已知函數(shù)f(x)ln x(a>0)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：當(dāng)a時，函數(shù)f(x)沒有零點(提示：ln 20.69)解(1)因為f(x)ln x，所以f(x). 因為x>0，所以當(dāng)x(0，a2)時，f(x)<0，當(dāng)x(a2，)時，f(x)>0.所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a2，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a2). 當(dāng)xa2時，f(x)取得極小值f(a2)a21(a21)ln a2(2)證明：由(1)可知：當(dāng)xa2時，f(x)取得極小值，亦即最小值f(a2)a21(a21)lna2，又因為a2，所以a24.設(shè)g(x)x1(x1)ln x，則g(x)ln x，因為g(x)在上單調(diào)遞減，且g(1)>0，g(2)<0，所以g(x)有唯一的零點m(1,2)，使得g(x)在上單調(diào)遞增，在(m,4上單調(diào)遞減， 又由于g>0，g(4)56ln 2>0, 所以g(x)>0恒成立從而f(a2)a21(a21)lna2>0恒成立，則f(x)>0恒成立所以當(dāng)a時，函數(shù)f(x)沒有零點. 15設(shè)函數(shù)f(x)4ln xax2(4a)x(aR)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)存在極值，對于任意的0<x1<x2，存在正實數(shù)x0，使得f(x1)f(x2)f(x0)·(x1x2)，試判斷x1x2與2x0的大小關(guān)系并給出證明. 【導(dǎo)學(xué)號：07804167】解(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)ax(4a).當(dāng)a0時，則f(x)>0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a>0時，則由f(x)0得，x，x1(舍去)當(dāng)x時，f(x)>0，當(dāng)x時，f(x)<0.所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)a0時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a>0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (2)由(1)知，當(dāng)a>0時，f(x)存在極值f(x1)f(x2)4(ln x1ln x2)a(xx)(4a)(x1x2)4(lnx1lnx2)a(x1x2)(x1x2)(4a)(x1x2)由題設(shè)得f(x0)a(x1x2)(4a)又fa·4a，所以f(x0)f.設(shè)t，則t>1，則lnlnt(t>1)令g(t)lnt(t>1)，則g(t)>0，所以g(t)在(1，)上單調(diào)遞增，所以g(t)>g(1)0，故ln>0.又因為x2x1>0，因此f(x0)f>0，即f<f(x0)又由f(x)ax(4a)知f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以>x0，即x1x2>2x0.15