2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題6 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第16講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)案 理

第16講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題型1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第53頁)核心知識(shí)儲(chǔ)備·1f(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)x3在(，)上單調(diào)遞增，但f(x)0.2f(x)0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0時(shí)，則f(x)為常函數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)函數(shù)f(x)；(3)若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明)不等式f(x)>0或f(x)<0.若已知函數(shù)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0或f(x)0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題來求解典題試解尋法·【典題】已知函數(shù)f(x)ax2xln x(aR)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)m>n>0，>1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804112】思路分析(1)求f(x)結(jié)合a的取值討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)>1f(m)m>f(n)n由g(x)0求a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2ax1.當(dāng)a0時(shí)，f(x).顯然，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減當(dāng)a0時(shí)，對(duì)于2ax2x10，(1)24×2a×118a.當(dāng)0，即a，因?yàn)閍>0，所以2ax2x10恒成立，即f(x)0恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增若>0，即0<a<或a<0，方程2ax2x10的兩根為x1，x2.當(dāng)a<0時(shí)，x1>0，x2<0.當(dāng)x時(shí)，2ax2x1>0，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x時(shí)，2ax2x1<0，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減當(dāng)0<a<時(shí)，x2>x1>0.當(dāng)x時(shí)，2ax2x1>0，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x時(shí)，2ax2x1<0，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，2ax2x1>0，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增綜上，當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)0<a<時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)因?yàn)?gt;1，且m>n，故f(m)m>f(n)n.記g(x)f(x)x，則函數(shù)g(x)f(x)x在(0，)上單調(diào)遞增由g(x)f(x)xax22xln x，可得g(x)2ax20.因?yàn)閤>0，所以a.記h(x)(x>0)，則h(x)×(2)×.顯然，當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)>0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)<0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減所以h(x)的最大值為h(1)，所以a.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.類題通法求單調(diào)區(qū)間或判斷單調(diào)性的方法(1)不含參數(shù)：解不等式f(x)>0或f(x)<0，把不等式解集與定義域取交集，就是對(duì)應(yīng)的增區(qū)間或減區(qū)間.(2)含有參數(shù)：針對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，引起討論的因素包含：參數(shù)的正負(fù)性，導(dǎo)數(shù)有無極值點(diǎn)，極值點(diǎn)的大小關(guān)系，極值點(diǎn)與定義域的關(guān)系.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·已知函數(shù)f(x)(ax2x1)exf(0)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若g(x)exf(x)ln x，h(x)ex，過點(diǎn)O(0,0)分別作曲線yg(x)與yh(x)的切線l1，l2，且l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱，求證：<a<.解由已知得f(x)ax2(2a1)xex，f(0)0，所以f(x)(ax2x1)ex.(1)f(x)ax2(2a1)xexx(ax2a1)ex.若a>0，當(dāng)x<2或x>0時(shí)，f(x)>0；當(dāng)2<x<0時(shí)，f(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(0，)；單調(diào)遞減區(qū)間為.若a0，f(x)(x1)ex，f(x)xex，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)若<a<0，當(dāng)x>2或x<0時(shí)，f(x)<0；當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)>0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)，.若a，f(x)x2ex0，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，)若a<，當(dāng)x<2或x>0時(shí)，f(x)<0；當(dāng)2<x<0時(shí)，f(x)>0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為和(0，)綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(0，)；單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)當(dāng)<a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)和.當(dāng)a時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，)；當(dāng)a<時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為和(0，)(2)證明：g(x)exf(x)ln xax2x1ln x，設(shè)切線l2的方程為yk2x，切點(diǎn)為(x2，y2)，則y2ex2，k2ex2，所以x21，y2e，k2e.由題意，知k1k2e，所以切線l1的方程為yex.設(shè)l1與yg(x)的切點(diǎn)為(x1，y1)，則k1g(x1)2ax11e，a.又因?yàn)閥1axx11ln x1ex1，即x1ln x10，令u(x)xln x，u(x)，在定義域上，u(x)>0，所以在(0，)上，u(x)是單調(diào)遞增函數(shù)又因?yàn)閡(1)>0，uln<0，所以u(píng)(1)·u<0，即<x1<1.令t，則1<t<，a(t)t2(e1)t，所以a>a，a<a(1).故<a<.題型強(qiáng)化集訓(xùn)·(見專題限時(shí)集訓(xùn)T5、T6、T10)題型2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值問題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第54頁)核心知識(shí)儲(chǔ)備·1若在x0附近左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f(x)<0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值；若在x0附近左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)>0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值2設(shè)函數(shù)yf(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得典題試解尋法·【典題】已知函數(shù)f(x)x2(a1)x2aln x(aR)(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；(2)若a2，求函數(shù)f(x)在1，t(t>1)上的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804113】解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)x(a1).由f(x)0，可得x1a，x21.若a0，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)極小值故f(x)的極小值點(diǎn)為1，無極大值點(diǎn)若0<a<1，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，a)a(a,1)1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值故f(x)的極小值點(diǎn)為1，極大值點(diǎn)為a.若a1，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)故函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)性沒有變化，所以沒有極值，既沒有極大值點(diǎn)，也沒有極小值點(diǎn)若a>1，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)極大值極小值故f(x)的極小值點(diǎn)為a，極大值點(diǎn)為1.綜上，若a0，f(x)的極小值點(diǎn)為1，無極大值點(diǎn)；若0<a<1，f(x)的極小值點(diǎn)為1，極大值點(diǎn)為a；若a1，f(x)既無極大值點(diǎn)，也無極小值點(diǎn)；若a>1，f(x)極小值點(diǎn)為a，極大值點(diǎn)為1.(2)當(dāng)a2時(shí)，f(x)x23x22ln x.由(1)可知，函數(shù)f(x)在1,2上單調(diào)遞減，在2，)上單調(diào)遞增若1<t2，則函數(shù)f(x)在1，t上單調(diào)遞減，所以f(x)的最小值為f(t)t23t22ln t.若t>2，則函數(shù)f(x)在1,2上單調(diào)遞減，在2，t上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f(2)×223×222ln 222ln 2.綜上，當(dāng)1<t2時(shí)，f(x)的最小值為t23t22ln t；當(dāng)t>2時(shí)，f(x)的最小值為22ln 2.類題通法1.求函數(shù)f(x)的極值，則先求方程f(x)0的根，再檢查f(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào).2.若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來求解.3.求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·已知函數(shù)f(x)a(xln x)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)當(dāng)a>0時(shí)，試求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)的定義域?yàn)閤(0，)，f(x)a.當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)于任意x(0，)，exax>0恒成立，所以若x>1，f(x)>0，若0<x<1，f(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)(2)由條件，知f(x)0在區(qū)間上有三個(gè)不同的根，即exax0在x上有兩個(gè)不同的根，且ae，則a，令g(x)，則g(x)，則當(dāng)x時(shí)g(x)單調(diào)遞增，x(1,2)時(shí)單調(diào)遞減，所以g(x)的最大值為g(1)e，g2，g(2)e2，而2e22>0，所以2<a<e.題型強(qiáng)化集訓(xùn)·(見專題限時(shí)集訓(xùn)T2、T3、T4、T7、T9、T13)題型3利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題(答題模板)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第54頁)函數(shù)與不等式恒成立、不等式證明相交匯的問題在近年的高考中有升溫趨勢(shì)，常以解答題的壓軸題呈現(xiàn)，一般難度較大(1)以單調(diào)性或?qū)?shù)的幾何意義為背景，根據(jù)已成立的不等式求參數(shù)的范圍(2017·全國卷T21、2015·全國卷T21、2015·全國卷T21、2014·全國卷T21)(2)以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為背景，證明不等式(2017·全國卷T21、2014·全國卷T21、2013·全國卷T21、2013·全國卷T21)典題試解尋法·【典例】(本小題滿分12分)(2014·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)aexln x，(1)(2) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804114】審題指導(dǎo)題眼挖掘關(guān)鍵信息看到曲線的切線方程，想到求出f(1)，f(1)，用a，b表示切線方程.看到求a，b，想到用兩條切線方程系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.看到證明不等式，想到求函數(shù)f(x)的最小值.規(guī)范解答(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，由題意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.4分(2)證明：由(1)知，f(x)exln xex1，從而f(x)>1等價(jià)于6分設(shè)函數(shù)g(x)xln x，則g(x)1ln x.所以當(dāng)x時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x時(shí)，g(x)>0.故g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，)上的最小值為g.8分設(shè)函數(shù)h(x)xex，則h(x)ex(1x)所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)>0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)<0.故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，)上的最大值為h(1).10分因?yàn)樗?，?dāng)x>0時(shí)，g(x)>h(x)，即f(x)>1.12分閱卷者說易錯(cuò)點(diǎn)防范措施處導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則不熟練，運(yùn)算失分.對(duì)于復(fù)雜解析式求導(dǎo)要分清層次，包括運(yùn)算層次，復(fù)合層次.處未對(duì)不等式進(jìn)行變形、分化函數(shù)致解題受阻.對(duì)于復(fù)雜不等式，變形轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不等式證明，是證明不等式的重要方法.處未轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的不等關(guān)系致解題受阻.將不等式轉(zhuǎn)化為不等式兩邊函數(shù)的最值關(guān)系是常用的方法，但要注意任意、存在等邏輯關(guān)系區(qū)別.類題通法1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形.(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x).(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值.(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.,特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問題.2.構(gòu)造輔助函數(shù)的四種方法(1)移項(xiàng)法：證明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x)的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)g(x)>0(f(x)g(x)<0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)f(x)g(x).(2)構(gòu)造“形似”函數(shù)：對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)；把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù).(3)主元法：對(duì)于(或可化為)f(x1，x2)A的不等式，可選x1(或x2)為主元，構(gòu)造函數(shù)f(x，x2)(或f(x1，x).(4)放縮法：若所構(gòu)造函數(shù)最值不易求解，可將所證明不等式進(jìn)行放縮，再重新構(gòu)造函數(shù).對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·已知函數(shù)f(x)(x1)2ln(x1)x，(x)mx2.(1)當(dāng)m1且x0時(shí)，證明：f(x)(x)；(2)若x0，f(x)(x)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)證明：當(dāng)m1時(shí)，令p(x)f(x)(x)(x1)2ln(x1)xx2(x0)，所以p(x)2(x1)ln(x1)(x1)2·12x2(x1)ln(x1)x.設(shè)p(x)G(x)，則G(x)2ln(x1)1>0，所以函數(shù)p(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以p(x)p(0)0，所以函數(shù)p(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以p(x)p(0)0.所以f(x)(x)(2)設(shè)h(x)(x1)2ln(x1)xmx2(x0)，所以h(x)2(x1)ln(x1)x2mx.由(1)知當(dāng)x0時(shí)，(x1)2ln(x1)x2xx(x1)，所以(x1)ln(x1)x，所以h(x)3x2mx.當(dāng)32m0，即m時(shí)，h(x)0，所以h(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以h(x)h(0)0，滿足題意當(dāng)32m<0，即m>時(shí)，設(shè)H(x)h(x)2(x1)·ln(x1)(12m)x，H(x)2ln(x1)32m，令H(x)0，得x0e1>0，故h(x)在0，x0上單調(diào)遞減，在x0，)上單調(diào)遞增當(dāng)x0，x0)時(shí)，h(x)<h(0)0，所以h(x)在0，x0)上單調(diào)遞減，所以h(x)<h(0)0，不滿足題意綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.題型強(qiáng)化集訓(xùn)·(見專題限時(shí)集訓(xùn)T1、T8、T11、T12、T14)三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第56頁)1.(2016·全國卷)若函數(shù)f(x)xsin 2xasin x在(，)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A1,1BC.DC取a1，則f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具備在(，)上單調(diào)遞增的條件，故排除A，B，D.故選C.2(2015·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)0，當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804115】A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)A設(shè)yg(x)(x0)，則g(x)，當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)f(x)<0，g(x)<0，g(x)在(0，)上為減函數(shù)，且g(1)f(1)f(1)0.f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，g(x)的圖象的示意圖如圖所示當(dāng)x>0，g(x)>0時(shí)，f(x)>0,0<x<1，當(dāng)x<0，g(x)<0時(shí)，f(x)>0，x<1，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(，1)(0,1)，故選A.3.(2016·全國卷)(1)討論函數(shù)f(x)ex的單調(diào)性，并證明當(dāng)x0時(shí)，(x2)exx20.(2)證明：當(dāng)a0,1)時(shí)，函數(shù)g(x)(x0)有最小值設(shè)g(x)的最小值為h(a)，求函數(shù)h(a)的值域解(1)f(x)的定義域?yàn)?，2)(2，)f(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上單調(diào)遞增因此當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>f(0)1.所以(x2)ex>(x2)，即(x2)exx2>0.(2)g(x)(f(x)a)由(1)知，f(x)a單調(diào)遞增對(duì)任意a0,1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一xa(0,2，使得f(xa)a0，即g(xa)0.當(dāng)0<x<xa時(shí)，f(x)a<0，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>xa時(shí)，f(x)a>0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增因此g(x)在xxa處取得最小值，最小值為g(xa).于是h(a).由0，得y單調(diào)遞增，所以，由xa(0,2，得h(a).因?yàn)閥單調(diào)遞增，對(duì)任意，存在唯一的xa(0,2，af(xa)0,1)，使得h(a).所以h(a)的值域是.綜上，當(dāng)a0,1)時(shí)，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.4.(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)ax2axxln x，且f(x)0.(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e2f(x0)22.解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)設(shè)g(x)axaln x，則f(x)xg(x)，f(x)0等價(jià)于g(x)0.因?yàn)間(1)0，g(x)0，故g(1)0，而g(x)a，g(1)a1，得a1.若a1，則g(x)1.當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增所以x1是g(x)的極小值點(diǎn)，故g(x)g(1)0.綜上，a1.(2)證明：由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x.設(shè)h(x)2x2ln x，則h(x)2.當(dāng)x時(shí)，h(x)0；當(dāng)x時(shí)，h(x)0.所以h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又h(e2)>0，h0，h(1)0，所以h(x)在上有唯一零點(diǎn)x0，在上有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)x(0，x0)時(shí)，h(x)>0；當(dāng)x(x0,1)時(shí)，h(x)<0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)>0.因?yàn)閒(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一極大值點(diǎn)由f(x0)0得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0)由x0得f(x0).因?yàn)閤x0是f(x)在(0,1)上的最大值點(diǎn)，由e1(0,1)，f(e1)0得f(x0)>f(e1)e2.所以e2<f(x0)<22.13