2019高考高考數(shù)學二輪復習 第二部分 第六講 解析幾何 微專題1 直線與圓學案 理

微專題1直線與圓命 題 者 說考 題 統(tǒng) 計考 情 點 擊2018·全國卷·T6·直線與圓位置關系的應用2018·北京高考·T7·點到直線距離的最值2017·全國卷·T10·直線與圓的位置關系2016·全國卷·T4·圓的方程、點到直線的距離1.圓的方程近兩年為高考全國課標卷命題的熱點，需重點關注。此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式呈現(xiàn)。2.直線與圓的方程偶爾單獨命題，單獨命題時有一定的深度，對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上?？枷蛞?直線的方程【例1】(1)已知直線l1：(k3)x(4k)y10與直線l2：2(k3)x2y30平行，則k的值是()A1或3 B1或5C3或5 D1或2(2)在ABC中，A(1,1)，B(m，)(1<m<4)，C(4,2)，則當ABC的面積最大時，m()A BC D解析(1)當k4時，直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率存在，所以兩直線不平行；當k4時，兩直線平行的一個必要條件是k3，解得k3或k5；但必須滿足(截距不等)才是充要條件，經檢驗知滿足這個條件。故選C。(2)由兩點間距離公式可得|AC|，直線AC的方程為x3y20，所以點B到直線AC的距離d，從而ABC的面積S|AC|d|m32|，又1<m<4，所以1<<2，所以當，即m時，S取得最大值。故選B。答案(1)C(2)B直線方程應用的兩個關注點(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2A2B10建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的情況。(2)求直線方程時應根據條件選擇合適的方程形式，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意。 變|式|訓|練1(2018·江門模擬)已知三條直線l1：4xy1，l2：xy0，l3：2xmy3，若l1關于l2對稱的直線與l3垂直，則實數(shù)m的值是()A8 B C8 D解析易知直線l1：4xy1關于直線l2：xy0對稱的直線方程為x4y1，又l3：2xmy3。故由題意得1×24×(m)0，所以m。故選D。答案D2(2018·河南名校聯(lián)考)已知m，n，a，bR，且滿足3m4n6,3a4b1，則的最小值為()AB C1 D解析此題可理解為點A(m，n)和點B(a，b)分別在直線l1：3x4y6與l2：3x4y1上，求A、B兩點距離的最小值，|AB|，因為l1l2，所以|AB|min1。故選C。答案C考向二 圓的方程【例2】(1)(2018·珠海聯(lián)考)已知圓C與直線xy0及xy40都相切，圓心在直線xy0上，則圓C的標準方程為()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22(2)(2018·貴陽摸底)過點M(2,2)的直線l與坐標軸的正方向分別相交于A，B兩點，O為坐標原點，若OAB的面積為8，則OAB外接圓的標準方程是_。解析(1)由題意設圓心坐標為(a，a)，則有，即|a|a2|，解得a1。故圓心坐標為(1，1)，半徑r，所以圓C的標準方程為(x1)2(y1)22。故選B。(2)解法一：設直線l的方程為1(a>0，b>0)，由直線l過點M(2,2)，得1，又SOABab8，所以a4，b4，不妨設A(4,0)，B(0,4)，OAB外接圓的方程為x2y2DxEyF0，則將O，A，B的坐標分別代入得解得所以OAB外接圓的方程為x2y24x4y0，標準方程為(x2)2(y2)28。解法二：設直線l的方程為1(a>0，b>0)，由直線l過點M(2,2)，得1。又SOABab8，所以a4，b4，所以OAB是等腰直角三角形，且M是斜邊AB的中點，則OAB外接圓的圓心是點M(2,2)，半徑|OM|2，所以OAB外接圓的標準方程是(x2)2(y2)28。答案(1)B(2)(x2)2(y2)28求圓的方程的兩種方法(1)幾何法：通過已知條件，利用相應的幾何知識求圓的圓心，半徑。(2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)。 變|式|訓|練1拋物線y24x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點，其準線與x軸的交點為M，則過M，A，B三點的圓的標準方程為_。解析由題意知，A(1,2)，B(1，2)，M(1,0)，AMB是以點M為直角頂點的直角三角形，則線段AB是所求圓的直徑，故所求圓的標準方程為(x1)2y24。答案(x1)2y242在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為_。解析解法一：由題意得：半徑等于 ，當且僅當m1時取等號，所以半徑最大為r，所求圓為(x1)2y22。解法二：直線mxy2m10，ym(x2)1恒過點M(2，1)，如圖，設C(1,0)，則M為切點時半徑最大，且rmax|CM|，所以半徑最大的圓的標準方程為(x1)2y22。答案(x1)2y22考向三 直線與圓的位置關系微考向1：直線與圓的相交弦【例3】(1)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點，若|MN|，則直線l的方程為_。(2)設直線xya0與圓x2y24相交于A，B兩點，O為坐標原點，若AOB為等邊三角形，則實數(shù)a的值為()A± B± C±3 D±9解析(1)直線l的方程為ykx1，圓心C(2,3)到直線l的距離d，由R2d22得1，解得k2或，所求直線l的方程為y2x1或yx1。(2)由題意知：圓心坐標為(0,0)，半徑為2，則AOB的邊長為2，所以AOB的高為，即圓心到直線xya0的距離為，所以，解得a±。故選B。答案(1)y2x1或yx1(2)B(1)直線(圓)與圓位置關系問題的求解思路研究直線與圓的位置關系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，兩個圓的位置關系的判斷依據是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較。(2)弦長的求解方法根據半徑，弦心距，半弦長構成的直角三角形，構成三者間的關系r2d2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)，弦長l2。根據公式：l|x1x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標，k為直線的斜率)，或根據l|y1y2|求解。求出交點坐標，用兩點間距離公式求解。 變|式|訓|練(2018·合肥一模)設圓x2y22x2y20的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點，若|AB|2，則直線l的方程為()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90解析當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x0，圓心到直線l的距離為d1，所以|AB|22，符合題意。當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為ykx3，因為圓x2y22x2y20即(x1)2(y1)24，所以圓心為C(1,1)，圓的半徑r2，易知圓心C(1,1)到直線ykx3的距離d，因為d22r2，所以34，解得k，所以直線l的方程為yx3，即3x4y120。綜上，直線l的方程為3x4y120或x0。故選B。答案B微考向2：直線與圓位置關系的應用【例4】(1)(2018·全國卷)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2,6 B4,8C，3 D2，3(2)(2018·北京高考)在平面直角坐標系中，記d為點P(cos，sin)到直線xmy20的距離。當，m變化時，d的最大值為()A1 B2C3 D4解析(1)因為直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點。所以A(2,0)，B(0，2)，則|AB|2。因為點P在圓(x2)2y22上，所以圓心為(2,0)，則圓心到直線的距離d12。故點P到直線xy20的距離d2的取值范圍為，3。則SABP|AB|d2d22,6。故選A。(2)解法一：因為cos2sin21，所以P點的軌跡是以原點為圓心的單位圓，又xmy20表示過點(2,0)且斜率不為0的直線，如圖，可得點(1,0)到直線x2的距離即為d的最大值。故選C。解法二：由題意可得d，因為1sin()1，所以d，1，所以當m0時，d取最大值3。故選C。答案(1)A(2)C利用圓的圖形特征求解有關距離的最值問題往往比一些常規(guī)的方法簡單、便捷。 變|式|訓|練1(2018·太原五中模擬)已知kR，點P(a，b)是直線xy2k與圓x2y2k22k3的公共點，則ab的最大值為()A15 B9C1 D解析由題意得，圓心到直線xy2k的距離d，且k22k3>0，解得3k1，因為2ab(ab)2(a2b2)4k2(k22k3)3k22k3，所以當k3時，ab取得最大值9。故選B。答案B2(2018·山西晉中二模)由直線yx1上的一點P向圓(x3)2y21引切線，則切線長的最小值為_。解析設圓心M到直線yx1的距離為d，則d2，所以|PM|的最小值為2。所以切線長l。則切線長的最小值為。答案1(考向一)已知直線l1：ax(a2)y10，l2：xay20，其中aR，則“a3”是“l(fā)1l2”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析直線l1l2的充要條件是a(a2)a0，所以a(a3)0，所以a0或a3。故選A。答案A2(考向二)(2018·安徽“江南十?！甭?lián)考)已知圓C的圓心在直線xy0上，圓C與直線xy0相切，且在直線xy30上截得的弦長為，則圓C的方程為_。解析因為所求圓的圓心在直線xy0上，所以設所求圓的圓心為(a，a)。又因為所求圓與直線xy0相切，所以半徑r|a|。又所求圓在直線xy30上截得的弦長為，圓心(a，a)到直線xy30的距離d，所以d22r2，即2a2，解得a1，所以圓C的方程為(x1)2(y1)22。答案(x1)2(y1)223(考向三)(2018·鄭州外國語中學調研)已知圓C1：(x2a)2y24和圓C2：x2(yb)21只有一條公切線，若a，bR且ab0，則的最小值為()A2 B4 C8 D9解析由題意可知，圓C1的圓心為(2a,0)，半徑為2，圓C2的圓心為(0，b)，半徑為1，因為兩圓只有一條公切線，所以兩圓內切，所以21，即4a2b21。所以·(4a2b2)5529，當且僅當，且4a2b21，即a2，b2時等號成立，所以的最小值為9。故選D。答案D4(考向三)(2018·南寧、柳州聯(lián)考)過點(，0)作直線l與曲線y相交于A，B兩點，O為坐標原點，當AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于_。解析令P(，0)，如圖，易知|OA|OB|1，所以SAOB|OA|·|OB|·sinAOBsinAOB，當AOB90°時，AOB的面積取得最大值，此時過點O作OHAB于點H，則|OH|，于是sinOPH，易知OPH為銳角，所以OPH30°，則直線AB的傾斜角為150°，故直線AB的斜率為tan150°。答案5(考向三)某學校有2 500名學生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，為了了解學生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數(shù)分別為a，b，且直線axby80與以A(1，1)為圓心的圓交于B，C兩點，且BAC120°，則圓C的方程為_。解析由題意，所以a40，b24，所以直線axby80，即5x3y10，A(1，1)到直線的距離為，因為直線axby80與以A(1，1)為圓心的圓交于B，C兩點，且BAC120°，所以r，所以圓C的方程為(x1)2(y1)2。答案(x1)2(y1)29