2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第6節(jié) 空間向量及其運(yùn)算學(xué)案 北師大版

第6節(jié)空間向量及其運(yùn)算最新考綱1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.知 識(shí) 梳 理1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個(gè)平面的向量2.空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理空間兩個(gè)向量a與b(b0)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得ab.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表達(dá)式：pxayb，其中x，yR，a，b為不共線向量，推論的表達(dá)式為xy或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有xy或xyz，其中xyz1.(3)空間向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空間三個(gè)不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實(shí)數(shù)1，2，3，使得a1e12e23e3.空間中不共面的三個(gè)向量e1，e2，e3叫作這個(gè)空間的一個(gè)基底.3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作a，b，則AOB叫作向量a與b的夾角，記作a，b，其范圍是0，若a，b，則稱a與b互相垂直，記作ab.非零向量a，b的數(shù)量積a·b|a|b|cosa，b.(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律：結(jié)合律：(a)·b(a·b)；交換律：a·bb·a；分配律：a·(bc)a·ba·c.4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1a2b2a3b3共線ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直a·b0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夾角a，b(a0，b0)cosa，b常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：xy(其中xy1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).2.在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：xyz(其中xyz1)，O為空間任意一點(diǎn).3.向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·bb·a，a·(bc)a·ba·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·ca·(b·c)不一定成立.診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面.()(2)對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b，若a·b0，則ab.()(3)若a，b，c是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量.()(4)若a·b0，則a，b是鈍角.()解析對(duì)于(2)，因?yàn)?與任何向量數(shù)量積為0，所以(2)不正確；對(duì)于(3)，若a，b，c中有一個(gè)是0，則a，b，c共面，所以(3)不正確；對(duì)于(4)，若a，b，則a·b<0，故(4)不正確.答案(1)(2)×(3)×(4)×2.若a，b，c為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的一組向量是()A.a，ab，ab B.b，ab，abC.c，ab，ab D.ab，ab，a2b解析若c，ab，ab共面，則c(ab)m(ab)(m)a(m)b，則a，b，c為共面向量，此與a，b，c為空間向量的一組基底矛盾，故c，ab，ab可構(gòu)成空間向量的一組基底.答案C3.如圖所示，在四面體OABC中，a，b，c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則_(用a，b，c表示).解析aa()aa×()abc.答案abc4.（2018·宜春月考）已知a(2，3，1)，b(4，2，x)，且ab，則|b|_.解析a·b2×(4)3×21·x0，x2，|b|2.答案25.已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，則向量ab與ab的夾角是_.解析ab(cos sin ，2，cos sin )，ab(cos sin ，0，sin cos )，(ab)·(ab)(cos2sin2)(sin2cos2)0，(ab)(ab)，則ab與ab的夾角是.答案考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算【例1】 如圖所示，在簡(jiǎn)單幾何體ABCDA1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設(shè)a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2).解(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，所以aacacb.(2)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，所以aabc.又ca，所以abc.規(guī)律方法1.選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，這是用向量解決立體幾何問(wèn)題的基本要求.用已知基向量表示指定向量時(shí)，應(yīng)結(jié)合已知和所求向量觀察圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行運(yùn)算.2.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則.提醒空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似于平面向量中的坐標(biāo)運(yùn)算.【訓(xùn)練1】 如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn).(1)化簡(jiǎn)：_.(2)用，表示，則_.解析(1)().(2)因?yàn)?)，所以().答案(1)(2)考點(diǎn)二共線、共面向量定理的應(yīng)用【例2】 已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，用向量方法求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)BD平面EFGH.證明(1)連接BG，則()，由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.(2)因?yàn)?)，因?yàn)镋，H，B，D四點(diǎn)不共線，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.規(guī)律方法1.證明空間三點(diǎn)P，A，B共線的方法(1)(R)；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，xy(xy1).2.證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的方法(1)xy；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，xyz(xyz1)；(3)(或或).【訓(xùn)練2】 已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足().(1)判斷，三個(gè)向量是否共面；(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).解(1)由已知3，()().即，共面.(2)由(1)知，共面且過(guò)同一點(diǎn)M.四點(diǎn)M，A，B，C共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).考點(diǎn)三空間向量數(shù)量積及應(yīng)用(典例遷移)【例3】 (經(jīng)典母題)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)·；(2)·；解設(shè)a，b，c.則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，(1)ca，a，bc，··(a)a2a·c，(2)·()·()·()·()·(ca).【遷移探究1】 本例的條件不變，求證：EGAB.證明由例3知()(bca)，所以·(a·ba·ca2)0.故，即EGAB.【遷移探究2】 本例的條件不變，求EG的長(zhǎng).解由例3知abc，|2a2b2c2a·bb·cc·a，則|，即EG的長(zhǎng)為.【遷移探究3】 本例的條件不變，求異面直線AG和CE所成角的余弦值.解由例3知bc，ba，cos，由于異面直線所成角的范圍是，所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.規(guī)律方法1.利用數(shù)量積解決問(wèn)題的兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.2.空間向量的數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長(zhǎng)度問(wèn)題.(1)a0，b0，aba·b0；(2)|a|；(3)cosa，b.【訓(xùn)練3】 如圖所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長(zhǎng)；(2)求證：AC1BD；(3)求BD1與AC夾角的余弦值.(1)解記a，b，c，則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，a·bb·cc·a.|2(abc)2a2b2c22(a·bb·cc·a)1112×6，|1|，即AC1的長(zhǎng)為.(2)證明abc，ba，·(abc)·(ba)a·b|b|2b·c|a|2a·ba·cb·ca·c|b|c|cos 60°|a|c|cos 60°0.，AC1BD.(3)解bca，ab，|，|，·(bca)·(ab)b2a2a·cb·c1.cos，.AC與BD1夾角的余弦值為.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.已知a(2，1，3)，b(1，2，1)，若a(ab)，則實(shí)數(shù)的值為()A.2 B. C. D.2解析由題意知a·(ab)0，即a2a·b0，所以1470，解得2.答案D2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A.垂直 B.平行C.異面 D.相交但不垂直解析由題意得，(3，3，3)，(1，1，1)，所以3，所以與共線，又AB與CD沒(méi)有公共點(diǎn)，所以ABCD.答案B3.如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若a，b，1c，則下列向量中與相等的向量是()A.abc B.abcC.abc D.abc解析11()c(ba)abc.答案A4.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則·的值為()A.a2 B.a2C.a2 D.a2解析如圖，設(shè)a，b，c，則|a|b|c|a，且a，b，c三向量?jī)蓛蓨A角為60°.(ab)，c，·(ab)·c(a·cb·c)(a2cos 60°a2cos 60°)a2.答案C5.如圖，在空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45°，OAB60°，則OA與BC所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析因?yàn)?，所?#183;··|cos，|cos，8×4×cos 135°8×6×cos 120°1624.所以cos，.即OA與BC所成角的余弦值為.答案A二、填空題6.(2018·鄭州調(diào)研)已知a(2，1，3)，b(1，2，3)，c(7，6，)，若a，b，c三向量共面，則等于_.解析由題意知cxayb，即(7，6，)x(2，1，3)y(1，2，3)，解得9.答案97.正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為_(kāi).解析|2()22222(···)1222122(1×2×cos 120°02×1×cos 120°)2，|，EF的長(zhǎng)為.答案8.(2018·南昌調(diào)研)已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且2，現(xiàn)用基底，表示向量，有xyz，則x，y，z的值分別為_(kāi).解析()，x，y，z.答案，三、解答題9.已知空間中三點(diǎn)A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，設(shè)a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值.解(1)c，(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmm(2，1，2)(2m，m，2m)，|c|3|m|3，m±1.c(2，1，2)或(2，1，2).(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，a·b(1，1，0)·(1，0，2)1，又|a|，|b|，cosa，b，故向量a與向量b的夾角的余弦值為.10.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體OABCO1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AEBFx，其中0xa，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(1)寫出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；(2)求證：A1FC1E；(3)若A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，求證：.(1)解E(a，x，0)，F(xiàn)(ax，a，0).(2)證明A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，·axa(xa)a20，A1FC1E.(3)證明A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，共面.選與為在平面A1C1E上的一組基向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.有下列命題：若pxayb，則p與a，b共面；若p與a，b共面，則pxayb；若xy，則P，M，A，B共面；若P，M，A，B共面，則xy.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4解析正確；中若a，b共線，p與a不共線，則pxayb就不成立；正確；中若M，A，B共線，點(diǎn)P不在此直線上，則xy不正確.答案B12.已知V為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且VAVBVCVD，.則VA與平面PMN的位置關(guān)系是_.解析如圖，設(shè)a，b，c，則acb，由題意知bc，abc.因此，共面.又VA平面PMN，VA平面PMN.答案平行13.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，a，b，c，點(diǎn)M，N分別是A1D，B1D1的中點(diǎn).(1)試用a，b，c表示；(2)求證：MN平面ABB1A1.(1)解ca，(ca).同理，(bc)，(bc)(ca)(ba)ab.(2)證明ab，即MNAB1，AB1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，MN平面ABB1A1.14