2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1 函數(shù)的概念及其表示 3.1.1 函數(shù)的概念教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

3.1.1函數(shù)的概念(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過(guò)豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.2.在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.3.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域教學(xué)重點(diǎn)：1.理解函數(shù)的定義，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.2.明確函數(shù)的兩個(gè)要素，了解同一個(gè)函數(shù)的定義，會(huì)判定兩個(gè)給定的函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)教學(xué)難點(diǎn)：1.對(duì)應(yīng)關(guān)系f的正確理解，函數(shù)符號(hào)yf(x)的理解.2.抽象函數(shù)的定義域.3.一些簡(jiǎn)單函數(shù)值域的求法.【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作yf(x)，xA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合B的子集注意：(1)兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集間的對(duì)應(yīng)能否構(gòu)成函數(shù)，主要看是否滿足三性：任意性、存在性、唯一性這是因?yàn)楹瘮?shù)概念中明確要求對(duì)于非空實(shí)數(shù)集A中的任意一個(gè)(任意性)元素x，在非空實(shí)數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對(duì)應(yīng)這三性只要有一個(gè)不滿足便不能構(gòu)成函數(shù)(2)集合A是函數(shù)的定義域，因?yàn)榻o定A中每一個(gè)x值都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)；集合B不一定是函數(shù)的值域，因?yàn)锽中的元素可以在A中沒(méi)有與之對(duì)應(yīng)的x，也就是說(shuō)，B中的某些元素可以不是函數(shù)值，即f(x)|xAB.(3)在函數(shù)定義中，我們用符號(hào)yf(x)表示函數(shù)，其中f(x)表示“x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值”，而不是“f乘x”知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的兩要素從函數(shù)的定義可以看出，函數(shù)有三個(gè)要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域，由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以確定一個(gè)函數(shù)只需要兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系即要檢驗(yàn)給定的兩個(gè)變量(變量均為數(shù)值)之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只要檢驗(yàn)：(1)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否給出；(2)根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量x在其定義域中的每一個(gè)值是否都有唯一的函數(shù)值y和它對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)三區(qū)間的概念(1)設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b.我們規(guī)定：滿足不等式axb的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為a，b；滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開(kāi)區(qū)間，表示為(a，b)；滿足不等式ax<b或a<xb的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別表示為a，b)，(a，b這里的實(shí)數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(，)，“”讀作“無(wú)窮大”，“”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，“”讀作“正無(wú)窮大”我們可以把滿足xa，x>a，xb，x<b的實(shí)數(shù)x的集合，用區(qū)間分別表示為a，)，(a，)，(，b，(，b)(2)區(qū)間的幾何表示在用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)(3)含“”的區(qū)間的幾何表示注意：(1)無(wú)窮大“”只是一個(gè)符號(hào)，而不是一個(gè)數(shù)，因而它不具備數(shù)的一些性質(zhì)和運(yùn)算法則(2)以“”或“”為區(qū)間一端時(shí)，這一端必須用小括號(hào)知識(shí)點(diǎn)四同一個(gè)函數(shù)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)【新知拓展】(1)函數(shù)符號(hào)“yf(x)”是數(shù)學(xué)中抽象符號(hào)之一，“yf(x)”僅為y是x的函數(shù)的數(shù)學(xué)表示，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定是解析式，還可以是圖表或圖象(2)函數(shù)的概念中強(qiáng)調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，這是因?yàn)楹瘮?shù)定義中明確要求是對(duì)于非空實(shí)數(shù)集A中的任意一個(gè)(任意性)數(shù)x，在非空實(shí)數(shù)集B中都有(存在性)唯一確定(唯一性)的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，這“三性”只要有一個(gè)不滿足，便不能構(gòu)成函數(shù)1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)都有定義域中的數(shù)與之對(duì)應(yīng)()(2)函數(shù)的定義域和值域一定是無(wú)限集合()(3)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也就確定了()(4)若函數(shù)的定義域中只有一個(gè)元素，則值域中也只有一個(gè)元素()(5)對(duì)于定義在集合A到集合B上的函數(shù)yf(x)，x1，x2A，若x1x2，則f(x1)f(x2)()答案(1)(2)×(3)(4)(5)×2做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)(1)下列給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，不能確定從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是_A1,4，B1,1，2,2，對(duì)應(yīng)關(guān)系：開(kāi)平方；A0,1,2，B1,2，對(duì)應(yīng)關(guān)系：A0,2，B0,1，對(duì)應(yīng)關(guān)系：(2)下列函數(shù)中，與函數(shù)yx是同一個(gè)函數(shù)的是_y；y；y()2；st.答案(1)(2)題型一求函數(shù)的定義域例1求下列函數(shù)的定義域：(1)y2x3；(2)f(x)；(3)y；(4)y；(5)y(12x)0.解(1)函數(shù)y2x3的定義域?yàn)閤|xR(2)要使函數(shù)式有意義，即分式有意義，則x10，x1.故函數(shù)的定義域?yàn)閤|x1(3)要使函數(shù)式有意義，則即所以x1，從而函數(shù)的定義域?yàn)閤|x1(4)因?yàn)楫?dāng)x210，即x±1時(shí)，有意義，所以函數(shù)的定義域是x|x±1(5)12x0，即x，函數(shù)的定義域?yàn)閤.例2已知函數(shù)f(x)的定義域是1,4，求函數(shù)f(2x1)的定義域解已知函數(shù)f(x)的定義域是1,4，即1x4.故對(duì)于f(2x1)應(yīng)有12x14.22x3，1x，函數(shù)f(2x1)的定義域是.例3如圖所示，用長(zhǎng)為1 m的鐵絲做一個(gè)下部為矩形、上部為半圓形的框架(鐵絲恰好用完)，若半圓的半徑為x(單位：m)，求此框架圍成的面積y(單位：m2)與x的函數(shù)關(guān)系式解由題意可得，AB2x，的長(zhǎng)為x，于是AD，y2x·，即yx2x.由得0<x<，此函數(shù)的定義域?yàn)?故所求的函數(shù)關(guān)系式為yx2x.金版點(diǎn)睛求函數(shù)定義域的基本要求(1)整式：若yf(x)為整式，則函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.(2)分式：若yf(x)為分式，則函數(shù)的定義域?yàn)槭狗帜覆粸?的實(shí)數(shù)集(3)偶次根式：若yf(x)為偶次根式，則函數(shù)的定義域?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)非負(fù)的實(shí)數(shù)集(特別注意0的0次冪沒(méi)有意義)(4)幾部分組成：若yf(x)是由幾部分?jǐn)?shù)學(xué)式子的和、差、積、商組成的形式，定義域是使各部分都有意義的集合的交集(5)對(duì)于抽象函數(shù)的定義域：若f(x)的定義域?yàn)閍，b，則fg(x)中，g(x)a，b，從中解得x的解集即fg(x)的定義域若fg(x)的定義域?yàn)閙，n，則由xm，n可確定g(x)的范圍，設(shè)ug(x)，則fg(x)f(u)，又f(u)與f(x)是同一個(gè)函數(shù)，所以g(x)的范圍即f(x)的定義域已知f(x)的定義域，求fh(x)的定義域，先由f(x)中x的取值范圍，求出(x)的取值范圍，即f(x)中的x的取值范圍，即h(x)的取值范圍，再根據(jù)h(x)的取值范圍便可以求出fh(x)中x的取值范圍(6)實(shí)際問(wèn)題：若yf(x)是由實(shí)際問(wèn)題確定的，其定義域要受實(shí)際問(wèn)題的約束如：例3中，任何一條線段的長(zhǎng)均大于零(1)若函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)?，則函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)開(kāi)；(2)求下列函數(shù)的定義域：y；y；(3)求函數(shù)y的定義域；將長(zhǎng)為a m的鐵絲折成矩形(鐵絲恰好用完)，求矩形的面積y(單位：m2)關(guān)于一邊長(zhǎng)x(單位：m)的解析式，并寫出此函數(shù)的定義域答案(1)(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析解析(1)由題意知，x2，則x13，即f(x)的定義域?yàn)?，x13，解得x4.f(x1)的定義域?yàn)?(2)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足即函數(shù)的定義域?yàn)閤|x1，且x1要使函數(shù)有意義，需滿足|x|x0，即|x|x，x<0.函數(shù)的定義域?yàn)閤|x<0(3)解不等式組得故函數(shù)的定義域是x|1x5，且x3因?yàn)榫匦蔚囊贿呴L(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為(a2x)，所以yx·(a2x)x2ax，定義域?yàn)?題型二 已知函數(shù)值求自變量的值例4已知函數(shù)f(x)2x24，xR，若f(x0)2，求x0的值解易知f(x0)2x4，2x42，即x3.又x0R，x0±.金版點(diǎn)睛就本例而言，已知函數(shù)值求自變量的值就是解方程，需要注意：所求的自變量的值必須在函數(shù)的定義域內(nèi)如果本例中加一個(gè)條件“x0，)”，則x0(不符合題意，舍去)已知函數(shù)f(x)x22x，x(，0)，若f(x0)3.求x0的值解由題意可得f(x0)x2x0.x2x03，即x2x030.解得x03或x01.又x0(，0)，x01.題型三 已知自變量的值求函數(shù)值例5已知f(x)x2，xR，求：(1)f(0)，f(1)；(2)f(a)，f(a1)解(1)f(0)020，f(1)121.(2)aR，a1R，f(a)a2，f(a1)(a1)2.金版點(diǎn)睛對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都可以求函數(shù)值(當(dāng)然函數(shù)值唯一)，本例可以直接應(yīng)用公式：f(x)x2求解，實(shí)質(zhì)上就是求代數(shù)式的值，例如f(1)就是當(dāng)x1時(shí)，代數(shù)式x2的值，而f(a1)就是當(dāng)xa1時(shí)，代數(shù)式x2的值已知f(x)，求：(1)f(2)；(2)當(dāng)a>0時(shí)，f(a1)的值解(1)f(2).(2)易知f(x)的定義域A0，)，a>0，a1>1，則a1A，f(a1).題型四 求函數(shù)的值域例6求下列函數(shù)的值域：(1)yx1，x1,2,3,4,5；(2)yx22x3，x0,3)；(3)y；(4)y2x.解(1)(觀察法)因?yàn)閤1,2,3,4,5，分別代入求值，可得函數(shù)的值域?yàn)?,3,4,5,6(2)(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)?,6)(3)(分離常數(shù)法)y2，顯然0，所以y2.故函數(shù)的值域?yàn)?，2)(2，)(4)(換元法)設(shè)t，則xt21，且t0，所以y2(t21)t22，由t0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如右圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)?金版點(diǎn)睛求函數(shù)值域的原則及常用方法(1)原則：先確定相應(yīng)的定義域；再根據(jù)函數(shù)的具體形式及運(yùn)算法則確定其值域(2)常用方法觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察法得到配方法：是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法換元法：運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域?qū)τ趂(x)axb(其中a，b，c，d為常數(shù)，且ac0)型的函數(shù)常用換元法分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域求下列函數(shù)的值域：(1)y；(2)yx24x6，x1,5)；(3)yx.解(1)y1，且0，函數(shù)y的值域?yàn)閥|y1(2)配方，得y(x2)22.x1,5)，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的值域?yàn)閥|2y<11(3)(換元法)設(shè)t，則xt21，且t0，所以yt2t12，由t0，再結(jié)合函數(shù)的圖象可得函數(shù)的值域?yàn)?，).題型五 相同函數(shù)的判斷例7下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是()Af(x)x，g(x)()2Bf(x)x21，g(t)t21Cf(x)1，g(x)Df(x)x，g(x)|x|解析A項(xiàng)中，由于f(x)x的定義域?yàn)镽，g(x)()2的定義域?yàn)閤|x0，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數(shù)B項(xiàng)中，函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，所以它們是同一函數(shù)C項(xiàng)中，由于f(x)1的定義域?yàn)镽，g(x)的定義域?yàn)閤|x0，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數(shù)D項(xiàng)中，兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以它們不是同一函數(shù)答案B金版點(diǎn)睛判斷兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)的條件(1)判斷兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)的準(zhǔn)則是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是相同函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是相同函數(shù)(2)函數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒(méi)有限制的另外，在化簡(jiǎn)解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)yx相同？(1)y()2；(2)y；(3)y；(4)y.解(1)y()2x(x0)，y0，定義域不同且值域不同，所以不相同(2)yx(xR)，yR，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，定義域和值域都相同，所以相同(3)y|x|y0；值域不同，且當(dāng)x<0時(shí)，它的對(duì)應(yīng)關(guān)系與函數(shù)yx不相同，所以不相同(4)y的定義域?yàn)閤|x0，與函數(shù)yx的定義域不相同，所以不相同1下列各圖中，可能是函數(shù)yf(x)的圖象的是()答案D解析A，B中的圖象與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)y值與x0對(duì)應(yīng)，所以A，B不可能是函數(shù)yf(x)的圖象；對(duì)于C中圖象，過(guò)x1作與x軸垂直的直線，與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以C不可能是函數(shù)yf(x)的圖象故選D.2函數(shù)f(x)x的定義域是()Ax|x2 Bx|x>2Cx|x2 Dx|x<2答案C解析要使函數(shù)式有意義，則2x0，即x2.所以函數(shù)的定義域?yàn)閤|x23已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,0)，則函數(shù)f(2x1)的定義域?yàn)?)A(1,1) B.C(1,0) D.答案B解析原函數(shù)的定義域?yàn)?1,0)，1<2x1<0，解得1<x<.函數(shù)f(2x1)的定義域?yàn)?4已知函數(shù)f(x)x22ax5的定義域和值域都是1，a，則a_.答案2解析因?yàn)閒(x)(xa)25a2，所以f(x)在1，a上是減函數(shù)，又f(x)的定義域和值域均為1，a，所以即解得a2.5已知函數(shù)f(x)x2x1.(1)求f(2)，f，f(a1)；(2)若f(x)5，求x.解(1)f(2)22215，f1，f(a1)(a1)2(a1)1a23a1.(2)f(x)x2x15，x2x60，解得x2或x3.- 12 -