2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1 函數(shù)的概念及其表示 3.1.2 函數(shù)的表示法 第1課時(shí) 函數(shù)的表示法教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

第1課時(shí)函數(shù)的表示法(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.了解函數(shù)的三種表示方法及各自的優(yōu)缺點(diǎn).2.通過(guò)實(shí)例了解分段函數(shù)的概念.3.掌握求函數(shù)解析式的常見(jiàn)方法教學(xué)重點(diǎn)：1.函數(shù)的三種表示方法.2.根據(jù)條件求函數(shù)的解析式教學(xué)難點(diǎn)：用解析法和圖象法表示分段函數(shù).【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的表示法(1)解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(2)列表法：列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(3)圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系知識(shí)點(diǎn)二描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的三個(gè)步驟(1)列表：先找出一些有代表性的自變量x的值，再計(jì)算出與這些自變量x相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)，并用表格的形式表示出來(lái)(2)描點(diǎn)：把第(1)步表格中的點(diǎn)(x，f(x)一一在平面直角坐標(biāo)系中描出來(lái)(3)連線：用光滑的曲線把這些點(diǎn)按自變量由小到大(或由大到小)的順序連接起來(lái)知識(shí)點(diǎn)三分段函數(shù)的概念如果函數(shù)yf(x)，xA，根據(jù)自變量x在A中不同的取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么稱(chēng)這樣的函數(shù)為分段函數(shù)【新知拓展】1函數(shù)三種表示法的幾點(diǎn)說(shuō)明(1)解析法：變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系明確，且要注意函數(shù)的定義域(2)列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系比如我們生活中經(jīng)常遇到的列車(chē)時(shí)刻表、銀行的利率表等其優(yōu)點(diǎn)是不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值這種表示法常常被應(yīng)用到實(shí)際生產(chǎn)和生活中去(3)圖象法：函數(shù)圖象的形狀不一定是一條或幾條無(wú)限長(zhǎng)的平滑曲線，也可能是一些點(diǎn)、一些線段、一段曲線等，但不是任何一個(gè)圖形都是函數(shù)圖象2分段函數(shù)的特點(diǎn)(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，并非幾個(gè)函數(shù)(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集(3)分段函數(shù)的值域是各段值域的并集(4)分段函數(shù)的圖象要分段來(lái)畫(huà)1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)任何一個(gè)函數(shù)都可以用列表法表示()(2)任何一個(gè)函數(shù)都可以用解析法表示()(3)分段函數(shù)是幾個(gè)函數(shù)，而不是一個(gè)函數(shù)()(4)函數(shù)的圖象可以是一條水平直線()(5)函數(shù)y1|x|的圖象如圖()答案(1)×(2)×(3)×(4)(5)2做一做(1)已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)等于()A1 B2 C3 D不存在(2)函數(shù)yf(x)的圖象如圖，則f(x)的定義域是()ARB(，1)(1，)C(，0)(0，)D(1,0)(3)已知反比例函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(3)6，f(x)的解析式為_(kāi)(4)已知函數(shù)f(x)則f(3)_.(5)已知f(x)若f(x0)4，則x0_.答案(1)C(2)C(3)f(x)(4)1(5)2或1題型一 函數(shù)的表示法例1某商場(chǎng)新進(jìn)了10臺(tái)彩電，每臺(tái)售價(jià)3000元，試求售出臺(tái)數(shù)x與收款數(shù)y(單位：元)之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來(lái)解(1)列表法： (2)圖象法：如圖所示(3)解析法：y3000x，x1,2,3，10金版點(diǎn)睛理解函數(shù)的表示法的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法，無(wú)論用哪種方式表示函數(shù)，都必須滿(mǎn)足函數(shù)的概念(2)判斷所給圖象、表格、解析式是否表示函數(shù)的關(guān)鍵在于是否滿(mǎn)足函數(shù)的定義(3)函數(shù)的三種表示法互相兼容或補(bǔ)充，許多函數(shù)是可以用三種方法表示的，但在實(shí)際操作中，仍以解析法為主已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出則fg(1)的值為_(kāi)；當(dāng)gf(x)2時(shí)，x_.答案11解析由于函數(shù)關(guān)系是用表格形式給出的，知g(1)3，fg(1)f(3)1；由于g(2)2，f(x)2，x1.題型二 函數(shù)圖象的作法及應(yīng)用例2作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域(1)y，x2，)；(2)yx22x，x2,2；(3)y(4)y|x1|x3|.解(1)列表：畫(huà)圖象，當(dāng)x2，)時(shí)，圖象是反比例函數(shù)y的一部分(圖)，觀察圖象可知其值域?yàn)?0,1 (2)列表：畫(huà)圖象，圖象是拋物線yx22x在2x2之間的部分(圖)由圖可得函數(shù)的值域是1,8(3)函數(shù)y的圖象如圖所示，觀察圖象，得函數(shù)的值域?yàn)?1，)(4)將原函數(shù)式中的絕對(duì)值符號(hào)去掉，化為分段函數(shù)為y的圖象如圖所示觀察圖象，得函數(shù)的值域?yàn)?，)金版點(diǎn)睛作函數(shù)圖象的方法(1)若函數(shù)是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，則可根據(jù)函數(shù)圖象特征描出圖象上的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，直接畫(huà)出圖象即可，有些可能需要根據(jù)定義域進(jìn)行取舍(2)若函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，則要按：列表；描點(diǎn)；連線三個(gè)基本步驟作出函數(shù)的圖象.(3)對(duì)含有絕對(duì)值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象.(4)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，可先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏.作出下列函數(shù)圖象，并求其值域：(1)y1x(xZ，且|x|2)；(2)y2x24x3(0x<3)；(3)y(2x1，且x0)解(1)因?yàn)閤Z，且|x|2，所以x2，1,0,1,2所以該函數(shù)圖象為一直線上的孤立點(diǎn)(如圖)由圖象知，y1,0,1,2,3(2)因?yàn)閥2(x1)25，所以當(dāng)x0時(shí)，y3；當(dāng)x3時(shí)，y3；當(dāng)x1時(shí)，y5.因?yàn)閤0,3)，故圖象是一段拋物線(如圖)由圖象可知，y5,3)(3)用描點(diǎn)法可以作出函數(shù)的圖象如圖.由圖可知y(2x1，且x0)的值域?yàn)?，12，).題型三 求函數(shù)的解析式例3(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且ff(x)9x4，求f(x)的解析式；(2)已知函數(shù)f(x1)x22x，求f(x)的解析式；(3)已知函數(shù)yf(x)滿(mǎn)足f(x)2fx，求函數(shù)yf(x)的解析式；(4)設(shè)f(x)是R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足f(0)1，并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(xy)f(x)y(2xy1)，求f(x)的解析式解(1)設(shè)f(x)kxb(k0)，則ff(x)k(kxb)bk2xkbb9x4.解得或f(x)3x1或f(x)3x2.(2)解法一(換元法)：令x1t，則xt1，tR，可得f(t)(t1)22(t1)t24t3，即f(x)x24x3.解法二(配湊法)：因?yàn)閤22x(x22x1)(4x4)3(x1)24(x1)3，所以f(x1)(x1)24(x1)3，即f(x)x24x3.(3)在已知等式中，將x換成，得f2f(x)，與已知方程聯(lián)立，得解得f(x).(4)解法一：由已知條件得f(0)1，又f(xy)f(x)y(2xy1)，設(shè)yx，則f(xy)f(0)f(x)x(2xx1)，所以f(x)x2x1.解法二：令x0，得f(0y)f(0)y(y1)，即f(y)1y(y1)，將y用x代換得f(x)x2x1.金版點(diǎn)睛函數(shù)解析式的求法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是對(duì)基本方法的掌握，常用方法有配湊法、換元法、待定系數(shù)法、解方程(組)法、賦值法等(1)配湊法：將形如fg(x)的函數(shù)的表達(dá)式配湊為關(guān)于g(x)的表達(dá)式，并整體將g(x)用x代換，即可求出函數(shù)f(x)的解析式如由f(x1)(x1)2可得f(x)x2.(2)換元法：將函數(shù)fg(x)中的g(x)用t表示，則可求得x關(guān)于t的表達(dá)式，并將最終結(jié)果中的t用x代換，即可求得函數(shù)f(x)的解析式(3)待定系數(shù)法：將已知類(lèi)型的函數(shù)以確定的形式表達(dá)，并利用已知條件求出其中的參數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式一次函數(shù)解析式為yaxb(a0)二次函數(shù)解析式為yax2bxc(a0)(4)解方程(組)法：采用解方程或方程組的方法，消去不需要的函數(shù)式子，得到f(x)的表達(dá)式，這種方法也稱(chēng)為消去法(5)賦值法：利用恒等式將特殊值代入，求出特定函數(shù)的解析式這種方法靈活性強(qiáng)，必須針對(duì)不同的類(lèi)型選取不同的特殊值(1)已知函數(shù)f(x)x2，g(x)為一次函數(shù)，且一次項(xiàng)系數(shù)大于零，若fg(x)4x220x25，求g(x)的表達(dá)式；(2)已知f(1)x2，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)2f(x)x22x，求f(x)；(4)設(shè)f(x)是R上的函數(shù)，f(0)1，并且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(xy)f(x)y(2x1)，求f(x)解(1)由g(x)為一次函數(shù)，設(shè)g(x)axb(a>0)，fg(x)4x220x25，(axb)24x220x25，即a2x22abxb24x220x25，從而a24,2ab20，b225，解得a2，b5，故g(x)2x5(xR)(2)解法一(配湊法)：f(1)x2(1)21(11)，f(x)x21(x1)解法二(換元法)：令1t(t1)，則x(t1)2(t1)，f(t)(t1)22(t1)t21(t1)f(x)x21(x1)(3)將f(x)2f(x)x22x中的x用x替換，得f(x)2f(x)x22x.于是得到關(guān)于f(x)，f(x)的方程組解得f(x)x22x.(4)由已知條件得f(0)1，又f(xy)f(x)y(2x1)，設(shè)yx，則f(xx)f(x)(x)(2x1)，f(x)2x2x1.題型四 根據(jù)圖象求分段函數(shù)的解析式例4根據(jù)如圖所示的函數(shù)f(x)的圖象，寫(xiě)出函數(shù)的解析式解當(dāng)3x<1時(shí)，設(shè)f(x)axb(a0)，將點(diǎn)(3,1)，(1，2)代入，可得f(x)x；當(dāng)1x<1時(shí)，同理，可設(shè)f(x)cxd(c0)，將點(diǎn)(1，2)，(1,1)代入，可得f(x)x；當(dāng)1x<2時(shí)，f(x)1.所以f(x)金版點(diǎn)睛由圖象求函數(shù)的解析式，需充分挖掘圖象中提供的點(diǎn)的坐標(biāo)，合理利用待定系數(shù)法求解.對(duì)于分段函數(shù)，需觀察各段圖象的端點(diǎn)是空心點(diǎn)還是實(shí)心點(diǎn)，正確寫(xiě)出各段解析式對(duì)應(yīng)的自變量的范圍.已知函數(shù)yf(x)的圖象是由圖中的兩條射線和拋物線的一部分組成的，求此函數(shù)的解析式解設(shè)左側(cè)的射線對(duì)應(yīng)的解析式為ykxb(x1)點(diǎn)(1,1)，(0,2)在射線上，解得左側(cè)射線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式為yx2(x1)同理，當(dāng)x3時(shí)，函數(shù)的解析式為yx2(x3)設(shè)拋物線的一部分對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為ya(x2)22(1<x<3，a<0)點(diǎn)(1,1)在拋物線上，a21，即a1.當(dāng)1<x<3時(shí)，函數(shù)的解析式為yx24x2(1<x<3)綜上，函數(shù)的解析式為y題型五 分段函數(shù)求值例5(1)設(shè)f(x)則f(5)的值是()A24 B21 C18 D16(2)設(shè)函數(shù)f(x)則ff(3)()A. B3 C. D.(3)已知函數(shù)f(x)若f(x)3，則x_.解析(1)f(5)ff(10)，f(10)ff(15)f(18)21，f(5)f(21)24.(2)f(3)<1，ff(3)21.(3)若x1，由x13，得x4.若x>1，由1x23，得x24，解得x2或x2(舍去)綜上可得，所求x的值為4或2.答案(1)A(2)D(3)4或2金版點(diǎn)睛1求分段函數(shù)函數(shù)值的方法(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間(2)然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止2已知函數(shù)值求字母取值的步驟(1)先對(duì)字母的取值范圍分類(lèi)討論(2)然后代入到不同的解析式中(3)通過(guò)解方程求出字母的值(4)檢驗(yàn)所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi)3若題目是含有多層“f”的問(wèn)題，要按照“由里到外”的順序，層層處理(1)已知函數(shù)f(x)若ff(0)a，則實(shí)數(shù)a_；(2)已知f(x)求fff(3)答案(1)(2)見(jiàn)解析解析(1)依題意知f(0)3×022，則ff(0)f(2)222aa，求得a.(2)3<0，f(3)0，ff(3)f(0).又>0，fff(3)f()1，即fff(3)1.1已知函數(shù)yf(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表，函數(shù)yg(x)的圖象是如圖的曲線ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，則fg(2)的值為()A3 B2 C1 D0答案B解析由函數(shù)g(x)的圖象知，g(2)1，則fg(2)f(1)2.2下列圖形是函數(shù)yx|x|的圖象的是()答案D解析f(x)分別畫(huà)出yx2(取x0部分)及yx2(取x<0部分)即可3對(duì)a，bR，記maxa，b函數(shù)f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是()A0 B. C. D3答案C解析分別作出y|x1|和y|x2|的圖象，則實(shí)線部分為f(x)的圖象，由圖象可得，其最小值為.故選C.4如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(4,2)，則fff(2)_，f(x)的值域是_答案20,4解析f(2)0，ff(2)f(0)4，fff(2)f(4)2.由圖象可知，f(x)的值域是0,45已知f(x)xb，f(ax1)3x2，求a，b的值解由f(x)xb，得f(ax1)ax1b.ax1b3x2，a3，b12，即a3，b1.- 12 -