2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題5.2 三角形的重心、垂心、外心和內(nèi)心高效演練學(xué)案

第2講 三角形的重心、垂心、外心和內(nèi)心三角形是最重要的基本平面圖形，它包含了豐富的知識(shí)，也蘊(yùn)含了深刻的思想，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題。三角形與高中三角函數(shù)、向量、解三角形及立體幾何等部分都有密切的聯(lián)系，因而扎實(shí)掌握三角形的相關(guān)知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。 初中階段大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形邊上中線、高線、垂直平分線及內(nèi)角平分線的一些性質(zhì)。如三角形角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等；三角形邊的垂直平分線上的點(diǎn)到這條邊兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，諸如此類。在高中學(xué)習(xí)中，還會(huì)涉及到三角形三條中線交點(diǎn)（重心）、三條高線交點(diǎn)（垂心）、三條邊的垂直平分線交點(diǎn)（外心）及三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)（內(nèi)心）的問題，因而有必要進(jìn)一步了解它們的性質(zhì)。【知識(shí)梳理】三角形的四心(1)角平分線：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，它到三角形各邊的距離相等(2)高線：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的垂心(3)中線：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的重心(4)垂直平分線：三角形的三條垂直平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的外心，外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等【高效演練】1如圖所示，在ABC中，點(diǎn)P是ABC的內(nèi)心，則PBCPCAPAB 度2設(shè)為的重心，且，則的面積為 【解析】由，有，知兩中線，垂直于是【答案】183已知、分別為銳角的垂心和外心，垂足為，則_【解析】可延長交的外接圓于，證明四邊形為平行四邊形即可【答案】214. 如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在OB上任取一點(diǎn)P，連結(jié)AP，過D作AP垂線交OA于Q點(diǎn)求證：OPOQ【解析】 在APD中，由AOPD，DQAP可知，點(diǎn)Q是APD的垂心，連結(jié)PQ，必有PQADABAD，PQBA，又OAOB，OPOQ5. 如圖3，在ABC中，ABAC，過BC的中點(diǎn)D作DEAC于點(diǎn)E，G是DE的中點(diǎn)，求證：AGBE 6.求證：三角形的三條高交于一點(diǎn).已知 中，AD與BE交于H點(diǎn).求證 .證明 以CH為直徑作圓，在以CH為直徑的圓上，.同理，E、D在以AB為直徑的圓上，可得.，又與有公共角，即.7.（1）設(shè)G是ABC的重心，證明：GBC，GAC，GAB的面積相等（2）利用（1）的結(jié)論，證明：三角形頂點(diǎn)到重心的距離，等于重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍【分析】（1）設(shè)三條中線為AD，BE，CF，三中線交于G點(diǎn)，G是重心，由同底等高得到SGBC=2SGCD，SGAC=2SGCD，由此能證明GBC，GAC，GAB的面積相等（2）設(shè)三條中線為AD，BE，CF，三中線交于G點(diǎn)，G是重心，由SGBC=SGAC，SGBC=2SGCD，得到SGAC=2SGCD，由此能證明三角形頂點(diǎn)到重心的距離，等于重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍（2）證明：設(shè)三條中線為AD，BE，CF，三中線交于G點(diǎn)，G是重心，GBC，GAC，GAB的面積相等，SGBC=SGAC，BD=CD，SGBC=2SGCD，SGAC=2SGCD，AGC和DGC在分別以AG和DG為底時(shí)，高都是點(diǎn)C到邊AD的距離，AG=2GD，同理可證CG=2GF，BG=2GE，三角形頂點(diǎn)到重心的距離，等于重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形面積相等的證明，考查三角形重心定理的證明，解題時(shí)要注意三角形面積公式的合理運(yùn)用8.已知三角形的三邊a，b，c，三角形的重心到外接圓的距離為d，外接圓半徑為R，求證：a2+b2+c2+9d2=9R2【分析】以ABC的外心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，可令A(yù)、B、C的坐標(biāo)依次是：（Rcos，Rsin）、（Rcos，Rsin）、（Rcos，Rsin）令A(yù)B中點(diǎn)為D、ABC的重心為G（m，n），求出m，n，進(jìn)而可證明a2+b2+c2+9d2=9R2于是：a2=（RcosRcos）2+（RsinRsin）2=R2（22coscos2sinsin）b2=（RcosRcos）2+（RsinRsin）2=R2（22coscos2sinsin），c2=（RcosRcos）2+（RsinRsin）2=R2（22coscos2sinsin）9d2=9（m0）2+（n0）2=9R（cos+cos+cos）02+R（sin+sin+sin）02=R2（cos+cos+cos）2+（sin+sin+sin）2=R2（3+2coscos+2coscos+2coscos+2sinsin+2sinsin+2sinsin）a2+b2+c2+9d2=9R29.一條直線截三角形，把周長與面積分為對(duì)應(yīng)的兩部分：與，與求證：直線過三角形內(nèi)心的充要條件是【解析】證明： 必要性：如圖1，設(shè)是的內(nèi)心，過的直線交于，交于記， ，內(nèi)切圓半徑為，則，由，有充分性：設(shè)直線把的周長與面積分為對(duì)應(yīng)的兩部分成等比，且與交于，與交，與的平分線交于記，到，的距離為，到的距離為由得注意到，從而有，即，故為的內(nèi)心，即直線過內(nèi)心6