2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語疑難規(guī)律方法學(xué)案 新人教A版選修2-1

第一章 常用邏輯用語1怎樣解邏輯用語問題1.利用集合理清關(guān)系充分(必要)條件是高中學(xué)段的一個(gè)重要概念，并且是理解上的一個(gè)難點(diǎn).要解決這個(gè)難點(diǎn)，將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來，看得見、想得通，才是最好的方法.本節(jié)使用集合模型對(duì)充要條件的外延與內(nèi)涵作了直觀形象的解釋，實(shí)踐證明效果較好.集合模型解釋如下：(1)A是B的充分條件，即AB.(2)A是B的必要條件，即BA.(3)A是B的充要條件，即AB.(4)A是B的既不充分也不必要條件，即AB或A、B既有公共元素也有非公共元素.或例1設(shè)集合S0，a，TxZ|x2<2，則“a1”是“ST”的_條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析TxZ|x2<21，0，1，a1時(shí)，S0，1，所以ST；反之，若ST，則S0，1或S0，1.所以“a1”是“ST”的充分不必要條件.答案充分不必要2.抓住量詞，對(duì)癥下藥全稱命題與特稱命題是兩類特殊的命題，這兩類命題的否定是這部分內(nèi)容中的重要概念，解決有關(guān)此類命題的題目時(shí)一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞，理解其相應(yīng)的含義，從而對(duì)癥下藥.例2(1)已知命題p：“任意x1，2，x2a0”與命題q：“存在x0R，x2ax02a0”都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_.(2)已知命題p：“存在x01，2，xa0”與命題q：“存在x0R，x2ax02a0”都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_.解析(1)將命題p轉(zhuǎn)化為當(dāng)x1，2時(shí)，(x2a)min0，即1a0，即a1.命題q：即方程有解，(2a)24×(2a)0，解得a1或a2.綜上所述，a的取值范圍為(，1.(2)命題p轉(zhuǎn)化為當(dāng)x01，2時(shí)，(xa)max0，即4a0，即a4.命題q同(1).綜上所述，a的取值范圍為(，12，4.答案(1)(，1(2)(，12，4點(diǎn)評(píng)認(rèn)真比較兩題就會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩題形似而神異，所謂失之毫厘，謬之千里，需要我們抓住這類問題的本質(zhì)量詞，有的放矢.3.挖掘等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，提高解題速度在四種命題的關(guān)系、充要條件、簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞中，時(shí)時(shí)刻刻滲透著等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，例如互為逆否命題的兩個(gè)命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假，它們就是等價(jià)的；但原命題與逆命題不等價(jià)，即原命題為真，其逆命題不一定為真.例3設(shè)p：q：x2y2r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要條件，求r的取值范圍.分析“q是綈p的充分不必要條件”等價(jià)于“p是綈q的充分不必要條件”.設(shè)p、q對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B，則可由ARB出發(fā)解題.解設(shè)p、q對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B，將本題背景放到直角坐標(biāo)系中，則點(diǎn)集A表示平面區(qū)域，點(diǎn)集RB表示到原點(diǎn)距離大于r的點(diǎn)的集合，也即是圓x2y2r2外的點(diǎn)的集合.ARB表示區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離大于r，直線3x4y120上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離大于等于r，原點(diǎn)O到直線3x4y120的距離d，r的取值范圍為(0，.點(diǎn)評(píng)若直接解的話，q是綈p的充分不必要條件即為x2y2r2 (r>0)在p：所對(duì)應(yīng)的區(qū)域的外部，也是可以解決的.但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“p是綈q的充分不必要條件”，更好地體現(xiàn)了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.2辨析命題的否定與否命題否命題與命題的否定是邏輯關(guān)系中的兩個(gè)相似知識(shí)點(diǎn)，但又有著本質(zhì)的區(qū)別，應(yīng)注意弄清它們的區(qū)別和正確表述，下面從以下兩個(gè)方面來看一下它們的區(qū)別.1.否命題與命題的否定的概念設(shè)命題“若A，則B”為原命題，那么“若綈A，則綈B”為原命題的否命題，“若A，則 綈B”為原命題的否定.所以從概念上看“否命題”是對(duì)原命題的條件和結(jié)論同時(shí)否定后得到的新命題，而且否定的條件仍為條件，否定的結(jié)論仍為結(jié)論.“命題的否定”是對(duì)原命題結(jié)論的全盤否定，即“命題的否定”與原命題的條件相同，結(jié)論相反.例1寫出下列命題的否命題及否定：(1)若|x|y|0，則x，y全為0；(2)函數(shù)yxb的值隨x的增加而增加.分析問題(1)直接依據(jù)格式寫出相應(yīng)的命題；問題(2)先改寫成“若A，則B”的形式，然后再寫出相應(yīng)的命題.解(1)原命題的條件為“|x|y|0”，結(jié)論為“x，y全為0”.寫原命題的否命題需同時(shí)否定條件和結(jié)論，所以原命題的否命題為“若|x|y|0，則x，y不全為0”.寫原命題的否定只需否定結(jié)論，所以原命題的否定為“若|x|y|0，則x，y不全為0”.(2)原命題可以改寫為“若x增加，則函數(shù)yxb的值也隨之增加”.否命題為“若x不增加，則函數(shù)yxb的值也不增加”；命題的否定為“若x增加，則函數(shù)yxb的值不增加”.點(diǎn)評(píng)如果所給命題是“若A，則B”的形式，則可以依據(jù)否命題和命題的否定的定義，直接寫出相應(yīng)的命題.如果不是“若A，則B”的形式，則需要先將其改寫成“若A，則B”的形式，便于寫出命題的否定形式及其否命題.2.否命題與命題的否定的真假從命題的真假上看，原命題與其否命題的真假?zèng)]有必然的關(guān)系，原命題為真，其否命題可能為真，也可能為假；原命題為假，其否命題可能為真，也可能為假.但是原命題與其否定的真假必相反，原命題為真，則其否定為假；原命題為假，則其否定為真.這也可以作為檢驗(yàn)寫出的命題是否正確的標(biāo)準(zhǔn).例2寫出下列命題的否命題與命題的否定，并判斷原命題、否命題和命題的否定的真假：(1)若x2<4，則2<x<2；(2)若m>0且n>0，則mn>0.分析依據(jù)定義分別寫出否命題與命題的否定.根據(jù)不等式及方程的性質(zhì)逐個(gè)判斷其真假.解(1)否命題：“若x24，則x2或x2”.命題的否定：“若x2<4，則x2或x2”.通過解不等式可以知道，原命題為真，否命題為真，命題的否定為假.(2)否命題：“若m0或n0，則mn0”.命題的否定：“若m>0且n>0，則mn0”.由不等式的性質(zhì)可以知道，原命題為真，否命題為假，命題的否定為假.3判斷條件四策略1.應(yīng)用定義如果pq，那么稱p是q的充分條件，同時(shí)稱q是p的必要條件.判斷時(shí)的關(guān)鍵是分清條件與結(jié)論.例1設(shè)集合Mx|x>2，Px|x<3，那么“xM或xP”是“xPM”的_條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析條件p：xM或xP；結(jié)論q：xPM.若xM，則x不一定屬于P，即x不一定屬于PM，所以pq；若xPM，則xM且xP，所以qp.綜上知，“xM或xP”是“xPM”的必要不充分條件.答案必要不充分2.利用傳遞性充分、必要條件在推導(dǎo)的過程當(dāng)中具有傳遞性，即：若pq，qr，則pr.例2如果A是B的必要不充分條件，B是C的充要條件，D是C的充分不必要條件，那么A是D的_條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析依題意，有ABCD且ABCD，由命題的傳遞性可知DA，但AD.于是A是D的必要不充分條件.答案必要不充分3.利用集合運(yùn)用集合思想來判斷充分條件和必要條件是一種行之有效的方法.若p以非空集合A的形式出現(xiàn)，q以非空集合B的形式出現(xiàn)，則若AB，則p是q的充分條件；若BA，則p是q的必要條件；若AB，則p是q的充分不必要條件；若BA，則p是q的必要不充分條件；若AB，則p是q的充要條件.例3已知p：x28x200，q：x22x1m20(m>0)，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是_.解析設(shè)p，q分別對(duì)應(yīng)集合P，Q，則Px|2x10，Qx|1mx1m，由題意知，pq，但qp，故PQ，所以或解得m9.即m的取值范圍是9，).答案9，)4.等價(jià)轉(zhuǎn)化由于互為逆否命題的兩個(gè)命題同真同假，所以當(dāng)由pq較困難時(shí)，可利用等價(jià)轉(zhuǎn)化，先判斷由綈q綈p，從而得到pq.例4已知p：xy2，q：x，y不都是1，則p是q的_條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析因?yàn)閜：xy2，q：x1或y1，所以綈p：xy2，綈q：x1且y1.因?yàn)榻恜綈q，但綈q綈p，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件.答案充分不必要4例析邏輯用語中的常見誤區(qū)誤區(qū)1所有不等式、集合運(yùn)算式都不是命題例1判斷下列語句是不是命題，若是命題，判斷其真假.(1)x2>0；(2)x22>0；(3)ABAB；(4)A(AB).錯(cuò)解(1)(2)(3)(4)都不是命題.剖析(1)中含有未知數(shù)x，且x不確定，所以x2的值也不確定，故無法判斷x2>0是否成立，不能判斷其真假，故(1)不是命題.(2)x雖為未知數(shù)，但x20，所以x222，故可判斷x22>0成立，故(2)為真命題.(3)若AB，則ABABAB；若AB，則ABA(AB)B.由于A，B的關(guān)系未知，所以不能判斷其真假，故(3)不是命題.(4)A為AB的子集，故A(AB)成立，故(4)為真命題.正解(2)(4)是命題，且都為真命題.誤區(qū)2原命題為真，其否命題必為假例2判斷下列命題的否命題的真假：(1)若a0，則ab0；(2)若a2>b2，則a>b.錯(cuò)解(1)因?yàn)樵}為真命題，故其否命題是假命題；(2)因?yàn)樵}為假命題，故其否命題為真命題.剖析否命題的真假與原命題的真假?zèng)]有關(guān)系，否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來判斷，應(yīng)先寫出原命題的否命題，再判斷.正解(1)否命題為：若a0，則ab0，是假命題；(2)否命題為：若a2b2，則ab，是假命題.誤區(qū)3搞不清誰是誰的條件例3使不等式x3>0成立的一個(gè)充分不必要條件是()A.x>3 B.x>4 C.x>2 D.x1，2，3錯(cuò)解由不等式x3>0成立，得x>3，顯然x>3x>2，又x>2x>3，因此選C.剖析若p的一個(gè)充分不必要條件是q，則qp，pq.本題要求使不等式x3>0成立的一個(gè)充分不必要條件，又x>4x3>0，而x3>0x>4，所以使不等式x3>0成立的一個(gè)充分不必要條件為x>4.正解B誤區(qū)4考慮問題不周例4如果a，b，cR，那么“b2>4ac”是“方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件錯(cuò)解判別式b24ac>0，即方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根；若方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根，則判別式b24ac>0，即b2>4ac.綜上可知“b2>4ac”是“方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根”的充要條件，選C.剖析判別式b24ac只適用于一元二次方程的實(shí)數(shù)根存在情況的判斷.對(duì)于方程ax2bxc0，當(dāng)a0時(shí)，原方程為一次方程bxc0(b0)，一次方程不存在判別式，所以當(dāng)b2>4ac時(shí)不能推出方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根；若方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根，則它的判別式b24ac>0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根”的必要不充分條件.正解B誤區(qū)5用“且”“或”聯(lián)結(jié)命題時(shí)只聯(lián)結(jié)條件或結(jié)論例5(1)已知p：方程(x11)(x2)0的根是x11；q：方程(x11)(x2)0的根是x2，試寫出“pq”.(2)p：四條邊相等的四邊形是正方形；q：四個(gè)角相等的四邊形是正方形，試寫出“pq”.錯(cuò)解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或x2.(2)pq：四條邊相等且四個(gè)角相等的四邊形是正方形.剖析(1)(2)兩題中p，q都是假命題，所以“pq”，“pq”也都應(yīng)是假命題.而上述解答中寫出的兩命題卻都是真命題.錯(cuò)誤原因是：(1)只聯(lián)結(jié)了兩個(gè)命題的結(jié)論；(2)只聯(lián)結(jié)了兩個(gè)命題的條件.正解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或方程(x11)(x2)0的根是x2.(2)pq：四條邊相等的四邊形是正方形且四個(gè)角相等的四邊形是正方形.誤區(qū)6不能正確否定結(jié)論例6p：方程x25x60有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試寫出“綈p”.錯(cuò)解綈p：方程x25x60有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.剖析命題p的結(jié)論為“有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”，所以“綈p”應(yīng)否定“有”，而不能否定“相等”.正解綈p：方程x25x60沒有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.誤區(qū)7對(duì)含有一個(gè)量詞的命題否定不完全例7已知命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得xx02<0，寫出綈p.錯(cuò)解一綈p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得xx020.錯(cuò)解二綈p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有x2x2<0.剖析該命題是特稱命題，其否定是全稱命題，但錯(cuò)解一中得到的綈p仍是特稱命題，顯然只對(duì)結(jié)論進(jìn)行了否定，而沒有對(duì)存在量詞進(jìn)行否定；錯(cuò)解二中只對(duì)存在量詞進(jìn)行了否定，而沒有對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定.正解綈p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有x2x20.誤區(qū)8忽略了隱含的量詞例8寫出下列命題的否定：(1)不相交的兩條直線是平行直線；(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.錯(cuò)解(1)不相交的兩條直線不是平行直線；(2)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱.剖析以上錯(cuò)誤解答在于沒有看出這兩個(gè)命題都是全稱命題.對(duì)于一些量詞不明顯或不含有量詞，但其實(shí)質(zhì)只是在文字?jǐn)⑹錾鲜÷粤四承┝吭~的命題，要特別引起注意.正解(1)存在不相交的兩條直線不是平行直線；(2)存在一個(gè)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱.5解“邏輯”問題的三意識(shí)1.轉(zhuǎn)化意識(shí)由于互為逆否的兩個(gè)命題同真假，因此，當(dāng)原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為逆否命題來判斷或證明.例1證明：若a2b22a4b30，則ab1.分析本題直接證明原命題是真命題，顯然不太容易，可考慮轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題是真命題.證明命題“若a2b22a4b30，則ab1”的逆否命題是“若ab1，則a2b22a4b30”.由ab1得a2b22a4b3(ab)(ab)2(ab)2b3ab10.原命題的逆否命題是真命題，原命題也是真命題.故若a2b22a4b30，則ab1.例2命題p：實(shí)數(shù)x滿足x24ax3a2<0，其中a<0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足x2x60或x22x8>0，且q是p的必要不充分條件，求a的取值范圍.分析將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為集合運(yùn)算問題.解設(shè)Ax|x24ax3a2<0(a<0)x|3a<x<a，Bx|x2x60或x22x8>0x|x2x60x|x22x8>0x|2x3x|x<4或x>2x|x<4或x2.因?yàn)閝是p的必要不充分條件，所以pq，qp，由AB得或即a4或a<0.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，4，0).2.簡(jiǎn)化意識(shí)判斷命題真假的關(guān)鍵：一是識(shí)別命題的構(gòu)成形式；二是分別將各命題簡(jiǎn)化，對(duì)等價(jià)的簡(jiǎn)化命題進(jìn)行判斷.例3已知命題p：函數(shù)ylog0.5(x22xa)的值域?yàn)镽，命題q：函數(shù)y(52a)x是R上的減函數(shù).若p或q為真命題，p且q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.分析先將命題p，q等價(jià)轉(zhuǎn)化，再根據(jù)題意構(gòu)建關(guān)于a的關(guān)系式，從而得到a的取值范圍.解析函數(shù)ylog0.5(x22xa)的值域?yàn)镽，即yx22xa的值域是(0，)，即在方程x22xa0中，44a0a1，即p真a1；函數(shù)y(52a)x是減函數(shù)52a>1a<2，即q真a<2.由p或q為真命題，p且q為假命題，知命題p，q中必有一真一假.若p真q假，則無解；若p假q真，則1<a<2.故滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，2).答案(1，2)點(diǎn)評(píng)若命題“p或q”“p且q”中含有參數(shù)，求解時(shí)，可以先等價(jià)轉(zhuǎn)化命題p，q，直至求出這兩個(gè)命題為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，再依據(jù)“p或q”“p且q”的真假情況確定參數(shù)的取值范圍.3.反例意識(shí)在“邏輯”中，經(jīng)常要對(duì)一個(gè)命題的真假(尤其是假)作出判斷，若直接從正面判斷一個(gè)命題是假命題不易進(jìn)行，這時(shí)可以通過舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明，這是一個(gè)簡(jiǎn)單有效的辦法.例4設(shè)A，B為兩個(gè)集合，則下列四個(gè)命題中真命題的序號(hào)是_.AB對(duì)任意xA，都有xB；ABAB；ABBA；AB存在x0A，使得x0B.分析畫出表示AB的Venn圖進(jìn)行判斷.解析畫出Venn圖，如圖1所示，則AB存在x0A，使得x0B，故是假命題，是真命題.ABBA不成立的反例如圖2所示.同理可得BAAB不成立.故是假命題.綜上知，真命題的序號(hào)是.答案9