2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ)疑難規(guī)律方法學(xué)案 蘇教版選修1-1

第一章 常用邏輯用語(yǔ)1怎樣解邏輯用語(yǔ)問(wèn)題1利用集合理清關(guān)系充分(必要)條件是高中學(xué)段的一個(gè)重要概念，并且是理解上的一個(gè)難點(diǎn)要解決這個(gè)難點(diǎn)，將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來(lái)，看得見(jiàn)、想得通，才是最好的方法下面通過(guò)使用集合模型對(duì)充要條件的外延與內(nèi)涵作了直觀形象的解釋，實(shí)踐證明效果較好集合模型解釋如下：A是B的充分條件，即AB.(如圖1)A是B的必要條件，即BA.(如圖2)A是B的充要條件，即AB.(如圖3)A是B的既不充分又不必要條件，即AB或A、B既有公共元素也有非公共元素(如圖4)或圖4例1設(shè)集合A，B是全集U的兩個(gè)子集，則AB是(UA)BU的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析當(dāng)AB時(shí)，如圖1所示，則(UA)BU成立；當(dāng)AB時(shí)，如圖2所示，則(UA)B(UB)BU成立，即當(dāng)(UA)BU成立時(shí)，可有AB.故AB是(UA)BU的充分不必要條件答案充分不必要2抓住量詞，對(duì)癥下藥全稱命題與存在性命題是兩類特殊的命題，這兩類命題的否定又是這部分內(nèi)容中的重要概念，解決有關(guān)此類命題的題目時(shí)一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞，理解其相應(yīng)的含義，從而對(duì)癥下藥例2(1)已知命題p：“任意x1,2，x2a0”與命題q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)(2)已知命題p：“存在x1,2，x2a0”與命題q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)解析(1)將命題p轉(zhuǎn)化為“當(dāng)x1,2時(shí)，(x2a)min0”，即1a0，即a1.由命題q知，方程有解，即(2a)24×(2a)0，解得a1或a2.綜上所述，a1.(2)命題p轉(zhuǎn)化為“當(dāng)x1,2時(shí)，(x2a)max0”，即4a0，即a4.命題q：a1或a2.綜上所述，a1或2a4.答案(1)(，1(2)(，12,4點(diǎn)評(píng)認(rèn)真比較兩題就會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩題形似而神異，所謂失之毫厘，謬之千里，需要我們抓住這類問(wèn)題的本質(zhì)量詞，有的放矢3挖掘等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，提高解題速度在四種命題的關(guān)系、充要條件、簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞中，時(shí)時(shí)刻刻滲透著等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，例如互為逆否命題的兩個(gè)命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假，它們就是等價(jià)的；但原命題與逆命題不等價(jià)，即原命題為真，其逆命題不一定為真例3設(shè)p：q：x2y2r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要條件，求r的取值范圍分析“q是綈p的充分不必要條件”等價(jià)于“p是綈q的充分不必要條件”設(shè)p、q對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B，則可由ARB出發(fā)解題解設(shè)p、q對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B，將本題背景放到直角坐標(biāo)系中，則點(diǎn)集A表示平面區(qū)域，點(diǎn)集RB表示到原點(diǎn)距離大于r的點(diǎn)的集合，即圓x2y2r2外的點(diǎn)的集合ARB表示區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離大于r，直線3x4y120上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離大于等于r.原點(diǎn)O到直線3x4y120的距離為d，r的取值范圍為0<r.點(diǎn)評(píng)若直接解的話，q是綈p的充分不必要條件即為x2y2r2 (r>0)在p：所對(duì)應(yīng)的區(qū)域的外部，也是可以解決的但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“p是綈q的充分不必要條件”，更好地體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想2辨析“命題的否定”與“否命題”一、知識(shí)梳理1定義定義命題的否定對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定得到的新命題否命題對(duì)原命題的條件和結(jié)論同時(shí)否定得到的新命題2.真假關(guān)系表原命題、命題的否定與否命題的真假關(guān)系表：原命題否定否命題真假與原命題的真假?zèng)]有關(guān)系假真3.常用正面敘述詞語(yǔ)及它的否定詞語(yǔ)等于大于(>)小于(<)是都是詞語(yǔ)的否定不等于不大于()不小于()不是不都是詞語(yǔ)至多有一個(gè)至少有一個(gè)任意的所有的至多有n個(gè)p且qp或q詞語(yǔ)的否定至少有兩個(gè)一個(gè)也沒(méi)有某個(gè)某些至少有n1個(gè)非p或非q非p且非q二、典例剖析例1寫(xiě)出下列各命題的否定形式及否命題：(1)面積相等的三角形是全等三角形；(2)若xy0，則x0或y0；(3)若x，y都是奇數(shù)，則xy是奇數(shù)分析分清題設(shè)和條件，命題的否定只否定結(jié)論，而否命題既否定題設(shè)，又否定結(jié)論解(1)命題的否定：面積相等的三角形不是全等三角形；否命題：面積不相等的三角形不是全等三角形(2)命題的否定：若xy0，則x0且y0；否命題：若xy0，則x0且y0.(3)命題的否定：若x，y都是奇數(shù)，則xy不是奇數(shù)；否命題：若x，y不都是奇數(shù)，則xy不是奇數(shù)點(diǎn)評(píng)首先掌握“命題的否定”和“否命題”的區(qū)別和聯(lián)系，把握關(guān)鍵詞的否定，然后分清命題的條件和結(jié)論即可例2寫(xiě)出下列命題的否命題與命題的否定，并判斷原命題、否命題和命題的否定的真假：(1)若x2<4，則2<x<2；(2)若m>0且n>0，則mn>0.分析依據(jù)定義分別寫(xiě)出否命題與命題的否定根據(jù)不等式及方程的性質(zhì)逐個(gè)判斷其真假解(1)否命題：“若x24，則x2或x2”；命題的否定：“若x2<4，則x2或x2”通過(guò)解不等式可以知道，原命題為真，否命題為真，命題的否定為假(2)否命題：“若m0或n0，則mn0”；命題的否定：“若m>0且n>0，則mn0”由不等式的性質(zhì)可以知道，原命題為真，否命題為假，命題的否定為假3判斷條件四策略1定義法定義法是判斷充要條件最基本、最適用的方法步驟如下：(1)分清條件與結(jié)論(p與q)；(2)找推式：即判斷pq及qp的真假；(3)下結(jié)論：p是q的充分不必要條件，p是q的必要不充分條件，p是q的充要條件，p是q的既不充分又不必要條件例1設(shè)集合Mx|x>2，Px|x<3，那么“xM或xP”是“xPM”的_條件解析條件p：xM或xP；結(jié)論q：xPM.若xM，則x不一定屬于P，即x不一定屬于PM，所以pq；若xPM，則xM且xP，所以qp.綜上可知，“xM或xP”是“xPM”的必要不充分條件答案必要不充分2利用傳遞性充分、必要條件在推導(dǎo)的過(guò)程當(dāng)中具有傳遞性，即：若pq，qr，則pr.例2如果A是B的必要不充分條件，B是C的充要條件，D是C的充分不必要條件，那么A是D的_條件解析依題意知，有ABCD且ABCDD，由命題的傳遞性可知DA，但AD.于是A是D的必要不充分條件答案必要不充分3集合法適用于“當(dāng)所要判斷的命題與方程的根、不等式的解集以及集合有關(guān)，或所描述的對(duì)象可以用集合表示時(shí)”的情況Pp，Qq，利用集合間的包含關(guān)系加以判斷，具體情況如下：(1)若PQ，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)若PQ，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；(3)若PQ，則p是q的充要條件(q也是p的充要條件)；(4)PQ且QP，則p是q的既不充分又不必要條件例3設(shè)p：(2x1)2<m2(m>0)，q：(x1)(2x1)>0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析由題意得p：<x<，q：x>1或x<.p是q的充分不必要條件，pq，或1，解得m2.又m>0，0<m2.答案(0,24等價(jià)法適用于“直接從正面判斷不方便”的情況，可將命題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)的又便于判斷真假的命題，再去判斷常用的是逆否等價(jià)法(1)綈q是綈p的充分不必要條件p是q的充分不必要條件；(2)綈q是綈p的必要不充分條件p是q的必要不充分條件；(3)綈q是綈p的充要條件p是q的充要條件；(4)綈q是綈p的既不充分又不必要條件p是q的既不充分又不必要條件例4給定兩個(gè)命題p，q，若綈p是q的必要不充分條件，則p是綈q的_條件解析因?yàn)榻恜是q的必要不充分條件，所以綈q是p的必要不充分條件，即p是綈q的充分不必要條件答案充分不必要4充分必要條件知識(shí)交匯例析充分必要條件是邏輯關(guān)系的重要知識(shí)點(diǎn)，主要用來(lái)討論條件和結(jié)論的關(guān)系，是理解或判斷一個(gè)命題與其相關(guān)命題之間關(guān)系的重要工具，也是命題轉(zhuǎn)化的主要依據(jù)充分必要條件問(wèn)題幾乎可以融匯所有不同的數(shù)學(xué)知識(shí)，因此用途極為廣泛下面通過(guò)具體例子進(jìn)行分析1與集合的交匯例1若集合A1，m2，B2,4，則“m2”是“AB4”的_條件解析當(dāng)m2時(shí)，集合A1,4，又B2,4，所以AB4當(dāng)AB4時(shí)，m24，m2或m2，所以“m2”是“AB4”的充分不必要條件答案充分不必要2與函數(shù)性質(zhì)的交匯例2已知函數(shù)f(x)則“2a0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的_條件解析因?yàn)楫?dāng)2a0時(shí)，01，所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x<1時(shí)，f(x)不一定單調(diào)遞增，故“2a0”不是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的充分條件當(dāng)f(x)在R上單調(diào)遞增時(shí)，則a<0，所以“2a0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的必要不充分條件答案必要不充分3與不等式的交匯例3“1<a<2”是“對(duì)任意正數(shù)x,2x1”的_條件解析因?yàn)閤>0，所以2x2.又a>1，所以2>2>1，所以“1<a<2”是“對(duì)任意正數(shù)x,2x1”的充分條件對(duì)任意正數(shù)x,2x1，即21，解得a，所以“對(duì)任意正數(shù)x,2x1”不是“1<a<2”的必要條件所以“1<a<2”是“對(duì)任意正數(shù)x,2x1”的充分不必要條件答案充分不必要4與平面向量的交匯例4若a，b為非零向量，則“函數(shù)f(x)(axb)2為偶函數(shù)”是“ab”的_條件解析f(x)(axb)2a2x22a·b·xb2.如果函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(x)，由此求得a·b0，即ab.反之，也成立所以“函數(shù)f(x)(axb)2為偶函數(shù)”是“ab”的充要條件答案充要5與數(shù)列的交匯例5設(shè)an是等比數(shù)列，則“a1<a2<a3”是“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的_條件解析由a1<a2<a3，即a1<a1q<a1q2，得a1(1q)<0，a1(qq2)<0，即當(dāng)a1>0時(shí)，q>1；當(dāng)a1<0時(shí)，0<q<1，此兩種情況數(shù)列an都是遞增數(shù)列，故填充要條件答案充要6與三角函數(shù)的交匯例6在ABC中，“A>”是“sin A>”的_條件解析在ABC中，當(dāng)A>且A時(shí)，sin A<，故“A>”不是“sin A>”的充分條件但當(dāng)sin A>時(shí)，A>一定成立，所以“A>”是“sin A>”的必要不充分條件答案必要不充分7與立體幾何的交匯例7已知E，F(xiàn)，G，H是空間四個(gè)點(diǎn)，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的_條件解析由空間點(diǎn)的位置關(guān)系知，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共面，則直線EF和GH不相交，反之，未必成立，故甲是乙成立的充分不必要條件答案充分不必要5命題和充要條件錯(cuò)誤剖析1考慮不周出錯(cuò)例1判斷命題的真假：函數(shù)f(x)ax22x1只有一個(gè)零點(diǎn)，則a1.錯(cuò)解因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ax22x1只有一個(gè)零點(diǎn)，所以224×(1)×a0，即a1.所以該命題是真命題剖析出現(xiàn)上述錯(cuò)解的主要原因是由于沒(méi)考慮到函數(shù)f(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)含字母參數(shù)a，應(yīng)對(duì)字母參數(shù)是否為零進(jìn)行討論正解當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)為一次函數(shù)，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)ax22x1只有一個(gè)零點(diǎn)，所以224×(1)×a0，即a1.所以，函數(shù)f(x)ax22x1只有一個(gè)零點(diǎn)，則a1或a0.故原命題為假命題2否命題否定錯(cuò)誤例2寫(xiě)出命題“若m2n2a2b20，則實(shí)數(shù)m、n、a、b全為零”的否命題錯(cuò)解否命題為：若m2n2a2b20，則實(shí)數(shù)m、n、a、b全不為零剖析否命題是將原命題的條件和結(jié)論分別否定錯(cuò)解是條件沒(méi)有否定，而結(jié)論否定為“不全為零”，卻錯(cuò)誤地寫(xiě)為“全不為零”正解該命題的否命題為：“若m2n2a2b20，則實(shí)數(shù)m、n、a、b不全為零”3判斷充要條件時(shí)出錯(cuò)例3(1)設(shè)xR，則x>2成立的必要條件有_(填上所有正確的序號(hào))x>1；x<1；x>3；x<3；x>0.錯(cuò)解因?yàn)閤>3x>2，所以x>2的一個(gè)必要條件為x>3.答案剖析錯(cuò)解的主要原因是沒(méi)弄清“a是b的必要條件”和“a的必要條件是b”的真正含義，前者等價(jià)于ba；后者等價(jià)于“b是a的必要條件”，即ab.正解因?yàn)閤>2x>1，所以x>2的一個(gè)必要條件為x>1.同理x>2x>0，所以x>2的一個(gè)必要條件為x>0.答案(2)命題p：“向量a與向量b的夾角為銳角”是命題q：“a·b>0”的_條件錯(cuò)解若向量a與向量b的夾角為銳角，則cos >0，即a·b>0；反之也成立，所以p是q的充要條件答案充要剖析判斷兩個(gè)命題是否可以相互推導(dǎo)時(shí)，要注意特殊情況的判斷，以防判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤正解若向量a與向量b夾角為銳角，則cos >0a·b>0；而當(dāng)a·b>0時(shí)，0°也成立，但此時(shí)a與b夾角不為銳角故p是q的充分不必要條件答案充分不必要6例析邏輯用語(yǔ)中的常見(jiàn)誤區(qū)誤區(qū)1所有不等式、集合運(yùn)算式都不是命題例1判斷下列語(yǔ)句是不是命題，若是命題，判斷其真假：(1)x2>0；(2)x22>0；(3)ABAB；(4)AAB.錯(cuò)解(1)、(2)、(3)、(4)都不是命題剖析(1)中含有未知數(shù)x，且x不確定，所以x2的值也不確定，故無(wú)法判斷x2>0是否成立，不能判斷其真假，故(1)不是命題；(2)x雖為未知數(shù)，但x20，所以x222，故可判斷x22>0成立，故(2)為真命題(3)若AB，則ABABAB；若AB，則ABAABB.由于A，B的關(guān)系未知，所以不能判斷其真假，故(3)不是命題(4)A為AB的子集，故AAB成立，故(4)為真命題正解(2)、(4)是命題，且都為真命題誤區(qū)2原命題為真，其否命題必為假例2判斷下列命題的否命題的真假：(1)若a0，則ab0；(2)若a2>b2，則a>b.錯(cuò)解(1)因?yàn)樵}為真命題，故其否命題是假命題；(2)因?yàn)樵}為假命題，故其否命題為真命題剖析否命題的真假與原命題的真假?zèng)]有關(guān)系，否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來(lái)判斷，應(yīng)先寫(xiě)出命題的否命題，再判斷正解(1)否命題：若a0，則ab0，是假命題；(2)否命題：若a2b2，則ab，是假命題誤區(qū)3用“且”“或”聯(lián)結(jié)命題時(shí)只聯(lián)結(jié)條件或結(jié)論例3(1)已知p：方程(x11)(x2)0的根是x11；q：方程(x11)(x2)0的根是x2，試寫(xiě)出pq.(2)p：四條邊相等的四邊形是正方形；q：四個(gè)角相等的四邊形是正方形，試寫(xiě)出pq.錯(cuò)解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或x2.(2)pq：四條邊相等且四個(gè)角相等的四邊形是正方形剖析(1)(2)兩題中p，q都是假命題，所以“pq”，“pq”也都應(yīng)是假命題而上述解答中寫(xiě)出的兩命題卻都是真命題錯(cuò)誤原因：(1)只聯(lián)結(jié)了兩個(gè)命題的結(jié)論；(2)只聯(lián)結(jié)了兩個(gè)命題的條件正解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或方程(x11)(x2)0的根是x2.(2)pq：四條邊相等的四邊形是正方形且四個(gè)角相等的四邊形是正方形誤區(qū)4對(duì)含有一個(gè)量詞的命題否定不完全例4已知命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2x2<0，寫(xiě)出綈p.錯(cuò)解一綈p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2x20.錯(cuò)解二綈p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有x2x2<0.剖析該命題是存在性命題，其否定是全稱命題，但錯(cuò)解一中得到的綈p仍是存在性命題，顯然只對(duì)結(jié)論進(jìn)行了否定，而沒(méi)有對(duì)存在量詞進(jìn)行否定；錯(cuò)解二中只對(duì)存在量詞進(jìn)行了否定，而沒(méi)有對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定正解綈p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有x2x20.誤區(qū)5忽略了隱含的量詞例5寫(xiě)出下列命題的否定：(1)p：若2x>4，則x>2；(2)p：可以被5整除的數(shù)末位是0；(3)p：能被8整除的數(shù)也能被4整除錯(cuò)解(1)綈p：若2x>4，則x2.(2)綈p：可以被5整除的數(shù)末位不是0.(3)綈p：能被8整除的數(shù)不能被4整除剖析由于有些全稱命題或存在性命題隱含了量詞，從而導(dǎo)致未變化量詞而直接否定結(jié)論出現(xiàn)錯(cuò)誤正解(1)綈p：存在x，使得若2x>4，則x2.(2)綈p：存在可以被5整除的數(shù)末位不是0.(3)綈p：存在能被8整除的數(shù)不能被4整除.7解“邏輯”問(wèn)題的三意識(shí)1轉(zhuǎn)化意識(shí)由于互為逆否的兩個(gè)命題同真假，因此，當(dāng)原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為逆否命題的真假來(lái)判斷或證明例1證明：若a2b22a4b30，則ab1.分析本題直接證明原命題是真命題，顯然不太容易，可考慮轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題是真命題證明命題“若a2b22a4b30，則ab1”的逆否命題是“ab1，則a2b22a4b30”由ab1，得a2b22a4b3(ab)(ab)2(ab)2b3ab10.原命題的逆否命題是真命題，原命題也是真命題故若a2b22a4b30，則ab1.例2已知p：x28x20>0，q：x22x1a2>0，若p是q的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍分析將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為集合運(yùn)算問(wèn)題解解不等式x28x20>0，得p：Ax|x>10或x<2；解不等式x22x1a2>0，得q：Bx|x>1a或x<1a，a>0依題意pq，但q p，說(shuō)明AB.于是有或解得0<a3.所以正實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,32簡(jiǎn)化意識(shí)判斷命題真假的關(guān)鍵：一是識(shí)別命題的構(gòu)成形式；二是分別將各命題簡(jiǎn)化，對(duì)等價(jià)的簡(jiǎn)化命題進(jìn)行判斷例3已知命題p：函數(shù)ylog0.5(x22xa)的值域?yàn)镽，命題q：函數(shù)y(52a)x是R上的減函數(shù)若p或q為真命題，p且q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_分析先將命題p，q等價(jià)轉(zhuǎn)化，再根據(jù)題意構(gòu)建關(guān)于a的關(guān)系式，從而得到a的取值范圍解析函數(shù)ylog0.5(x22xa)的值域?yàn)镽，即yx22xa的值域是(0，)，即在方程x22xa0中，44a0a1，即p真a1；函數(shù)y(52a)x是減函數(shù)52a>1a<2，即q真a<2.由p或q為真命題，p且q為假命題知，命題p，q中必有一真一假若p真q假，則無(wú)解；若p假q真，則1<a<2.故滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2)答案(1,2)點(diǎn)評(píng)若命題“p或q”“p且q”中含有參數(shù)，求解時(shí)，可以先等價(jià)轉(zhuǎn)化命題p，q，直至求出這兩個(gè)命題為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，再依據(jù)“p或q”“p且q”的真假情況確定參數(shù)的取值范圍3反例意識(shí)在“邏輯”中，經(jīng)常要對(duì)一個(gè)命題的真假(尤其是假)作出判斷，若直接從正面判斷一個(gè)命題是假命題不易進(jìn)行，這時(shí)可以通過(guò)舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺?lái)說(shuō)明，這是一個(gè)簡(jiǎn)單有效的辦法例4設(shè)A，B為兩個(gè)集合，則下列四個(gè)命題中真命題的序號(hào)是_AB對(duì)任意xA，都有xB；ABAB；ABBA；AB存在xA，使得xB.分析畫(huà)出表示AB的Venn圖進(jìn)行判斷解析畫(huà)出Venn圖，如圖1所示，則AB存在xA，使得xB，故是假命題，是真命題ABBA不成立的反例如圖2所示同理可得BAAB不成立故是假命題綜上知，真命題的序號(hào)是.答案13