2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 第1節(jié) 第3課時(shí) 概率的基本性質(zhì)教學(xué)案 新人教A版必修3

第3課時(shí)概率的基本性質(zhì)核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P119P121，回答下列問題在擲骰子試驗(yàn)中，定義如下事件：C1出現(xiàn)1點(diǎn)；C2出現(xiàn)2點(diǎn)；C3出現(xiàn)3點(diǎn)；C4出現(xiàn)4點(diǎn)；C5出現(xiàn)5點(diǎn)；C6出現(xiàn)6點(diǎn)；D1出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不大于1；D2出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不大于3；D3出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不大于5；E出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7，F(xiàn)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6，G出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，H出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)(1)事件C1 與事件H間有什么關(guān)系？提示：事件H包含事件C1.(2)事件C1 與事件D1 間有什么關(guān)系？提示：事件C1_與事件D1_相等(3)事件C1 與事件C2 的并事件是什么？提示：事件C1C2_表示出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)，即C1C2出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)(4)事件D2 與G 及事件C2 間有什么關(guān)系？提示：D2GC2.(5)事件C1 與事件C2 間有什么關(guān)系？提示：這兩個(gè)事件為互斥事件(6)事件E與事件F間有什么關(guān)系？提示：這兩個(gè)事件為對立事件2歸納總結(jié)，核心必記(1)事件的關(guān)系包含關(guān)系：一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)，記作BA(或AB)不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件相等關(guān)系：一般地，若BA，且AB，那么稱事件A與事件B相等，記作AB.(2)事件的運(yùn)算并事件：若某事件C發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件C為事件A與事件B的并事件(或和事件)，記作CAB(或CAB)交事件：若某事件C發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件C為事件A與事件B的交事件(或積事件)，記作CAB(或CAB)(3)概率的性質(zhì)范圍：任何事件的概率P(A)0,1必然事件的概率：必然事件的概率P(A)1.不可能事件的概率：不可能事件的概率P(A)0.概率加法公式：如果事件A與事件B互斥，則有P(AB)P(A)P(B)對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，那么AB為必然事件，則有P(AB)P(A)P(B)1，即P(A)1P(B)問題思考(1)在擲骰子的試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1，事件B出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，A與B應(yīng)有怎樣的關(guān)系？提示：AB.(2)在同一試驗(yàn)中，對任意兩個(gè)事件A、B，P(AB)P(A)P(B)一定成立嗎？提示：不一定，只有A與B互斥時(shí)，P(AB)P(A)P(B)才一定成立(3)若P(A)P(B)1，則事件A與事件B是否一定對立？試舉例說明提示：事件A與事件B不一定對立例如：擲一枚均勻的骰子，記事件A為出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，事件B為出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)或3點(diǎn)，則P(A)P(B)1.當(dāng)出現(xiàn)2點(diǎn)時(shí)，事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，所以事件A與事件B不互斥，顯然也不對立課前反思通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：(1)事件的關(guān)系： ；(2)事件的運(yùn)算： ；(3)概率的性質(zhì)： ；(4)互斥、對立事件的概率： .在五一勞動(dòng)節(jié)小長假中，某商場舉辦抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，根據(jù)顧客購物金額多少共設(shè)10個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，規(guī)定每人僅限抽獎(jiǎng)一次思考1某位顧客抽獎(jiǎng)一次能否同時(shí)抽到一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)？提示：不能同時(shí)抽到思考2抽到的各獎(jiǎng)次間是互斥事件還是對立事件？提示：是互斥事件而不是對立事件思考3怎樣認(rèn)識(shí)互斥事件和對立事件？名師指津：1.互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系(1)區(qū)別：兩個(gè)事件A與B是互斥事件，包括如下三種情況：若事件A發(fā)生，則事件B就不發(fā)生；若事件B發(fā)生，則事件A就不發(fā)生；事件A，B都不發(fā)生而兩個(gè)事件A，B是對立事件，僅有前兩種情況，因此事件A與B是對立事件，則AB是必然事件，但若A與B是互斥事件，則不一定是必然事件，亦即事件A的對立事件只有一個(gè)，而事件A的互斥事件可以有多個(gè)(2)聯(lián)系：互斥事件和對立事件在一次試驗(yàn)中都不可能同時(shí)發(fā)生，而事件對立是互斥的特殊情況，即對立必互斥，但互斥不一定對立2從集合的角度理解互斥事件與對立事件(1)幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集(2)事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集講一講1某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對立事件(1)恰有1名男生與恰有2名男生；(2)至少有1名男生與全是男生；(3)至少有1名男生與全是女生；(4)至少有1名男生與至少有1名女生嘗試解答判別兩個(gè)事件是否互斥，就要考察它們是否能同時(shí)發(fā)生；判別兩個(gè)互斥事件是否對立，就要考察它們是否必有一個(gè)發(fā)生(1)因?yàn)椤扒∮?名男生”與“恰有2名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事件；當(dāng)恰有2名女生時(shí)它們都不發(fā)生，所以它們不是對立事件(2)因?yàn)榍∮?名男生時(shí)“至少有1名男生”與“全是男生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件(3)因?yàn)椤爸辽儆?名男生”與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們互斥；由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們對立(4)由于選出的是1名男生1名女生時(shí)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件 (1)判斷事件是否互斥的兩步驟第一步，確定每個(gè)事件包含的結(jié)果；第二步，確定是否有一個(gè)結(jié)果發(fā)生會(huì)意味著兩個(gè)事件都發(fā)生，若是，則兩個(gè)事件不互斥，否則就是互斥的(2)判斷事件對立的兩步驟第一步，判斷是互斥事件；第二步，確定兩個(gè)事件必然有一個(gè)發(fā)生，否則只有互斥，但不對立練一練1一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，有下面四個(gè)事件：事件A：命中環(huán)數(shù)大于8；事件B：命中環(huán)數(shù)小于5；事件C：命中環(huán)數(shù)大于4；事件D：命中環(huán)數(shù)不大于6.則()AA與D是互斥事件BC與D是對立事件CB與D是互斥事件 D以上都不對解析：選A由互斥事件、對立事件的定義可判斷A正確故選A.對空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A兩次都擊中飛機(jī)，B兩次都沒擊中飛機(jī)，C恰有一彈擊中飛機(jī)，D至少有一彈擊中飛機(jī)思考1若事件A發(fā)生，則事件D發(fā)生嗎？它們是什么關(guān)系？提示：若事件A發(fā)生則事件D一定發(fā)生，它們是包含關(guān)系思考2事件B和事件D能同時(shí)發(fā)生嗎？提示：不能同時(shí)發(fā)生思考3事件D與事件A，C間有什么關(guān)系？名師指津：ACD，即“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，一種是兩彈都擊中講一講2在投擲骰子試驗(yàn)中，根據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義許多事件，如：A出現(xiàn)1點(diǎn)，B出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)，C出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，D出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)(1)說明以上4個(gè)事件的關(guān)系；(2)求兩兩運(yùn)算的結(jié)果嘗試解答在投擲骰子的試驗(yàn)中，根據(jù)向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種基本事件，記作Ai出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i(其中i1,2，6)則AA1，BA3A4，CA1A3A5，DA2A4A6.(1)事件A與事件B互斥，但不對立，事件A包含于事件C，事件A與D互斥，但不對立；事件B與C不是互斥事件，事件B與D也不是互斥事件；事件C與D是互斥事件，也是對立事件(2)AB，ACA，AD.ABA1A3A4出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或4，ACC出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或5，ADA1A2A4A6出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或2或4或6BCA3出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3，BDA4出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)4事件間運(yùn)算的方法(1)利用事件間運(yùn)算的定義列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算(2)利用Venn圖借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算練一練2盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取三個(gè)球，設(shè)事件A3個(gè)球中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球，事件B3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球，事件C3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球，事件D3個(gè)球中既有紅球又有白球問(1)事件D與A、B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？(2)事件C與A的交事件是什么事件？解：(1)對于事件D，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球，或2個(gè)紅球1個(gè)白球，故DAB.(2)對于事件C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球，三個(gè)均為紅球，故CAA.講一講3一名射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)，7環(huán)，7環(huán)以下的概率分別為0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.計(jì)算這名射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；(2)至少射中7環(huán)的概率；(3)射中環(huán)數(shù)小于8環(huán)的概率思路點(diǎn)撥先判斷所求事件與已知事件的關(guān)系，然后選擇公式求解嘗試解答設(shè)“射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中8環(huán)”“射中7環(huán)”“射中7環(huán)以下”的事件分別為A，B，C，D，E，可知它們彼此之間互斥，且P(A)0.24，P(B)0.28，P(C)0.19，P(D)0.16，P(E)0.13.(1)P(射中10環(huán)或9環(huán))P(AB)P(A)P(B)0.240.280.52，所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.(2)事件“至少射中7環(huán)”與事件E“射中7環(huán)以下”是對立事件，則P(至少射中7環(huán))1P(E)10.130.87.所以至少射中7環(huán)的概率為0.87.(3)事件“射中環(huán)數(shù)小于8環(huán)”包含事件D“射中7環(huán)”與事件E“射中7環(huán)以下”兩個(gè)事件，則P(射中環(huán)數(shù)小于8環(huán))P(DE)P(D)P(E)0.160.130.29. (1)運(yùn)用概率加法公式解題的步驟確定諸事件彼此互斥；先求諸事件分別發(fā)生的概率，再求其和(2)求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的并；二是先求對立事件的概率，進(jìn)而再求所求事件的概率練一練3(2016·洛陽模擬)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少？(2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少？解：記“無人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A、B、C、D、E、F互斥(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)1P(G)0.44.課堂歸納·感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是了解事件間的包含關(guān)系和相等關(guān)系，理解互斥事件和對立事件的概念及關(guān)系，難點(diǎn)是了解并利用兩個(gè)互斥事件的概率加法公式解題2本節(jié)課要掌握以下幾方面的規(guī)律方法(1)判斷兩事件互斥、對立的兩個(gè)步驟，見講1.(2)事件間運(yùn)算的方法，見講2.(3)用概率加法公式解題的步驟及求復(fù)雜事件概率的兩種方法，見講3.3本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)：(1)混淆互斥、對立事件概念致錯(cuò)，如講1；(2)分不清事件間的關(guān)系而錯(cuò)用公式導(dǎo)致解題失誤，如講3.課下能力提升(十七)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1互斥事件與對立事件1(2016·大同高一檢測)給出以下結(jié)論：互斥事件一定對立對立事件一定互斥互斥事件不一定對立事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率事件A與B互斥，則有P(A)1P(B)其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)解析：選C對立必互斥，互斥不一定對立，正確，錯(cuò)；又當(dāng)ABA時(shí)，P(AB)P(A)，錯(cuò)；只有A與B為對立事件時(shí)，才有P(A)1P(B)，錯(cuò)2從1,2，9中任取兩數(shù)，恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)在上述事件中，是對立事件的是()A B C D解析：選C從1,2，9中任取兩數(shù)，有以下三種情況：(1)兩個(gè)奇數(shù)；(2)兩個(gè)偶數(shù)；(3)一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)至少有一個(gè)奇數(shù)是(1)和(3)，其對立事件顯然是(2)故選C.3擲一枚骰子，記A為事件“落地時(shí)向上的數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“落地時(shí)向上的數(shù)是偶數(shù)”，C為事件“落地時(shí)向上的數(shù)是3的倍數(shù)”其中是互斥事件的是_，是對立事件的是_解析：A，B既是互斥事件，也是對立事件答案：A，BA，B題組2事件的運(yùn)算4給出事件A與B的關(guān)系示意圖，如圖所示，則()AAB BABCA與B互斥 DA與B互為對立事件解析：選C由互斥事件的定義可知C正確5(2016·臺(tái)州高一檢測)擲一枚骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則()AABBABCAB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3DAB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3解析：選C設(shè)A1,2，B2,3，AB2，AB1,2,3，AB表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或2或3.題組3用互斥、對立事件求概率6若A、B是互斥事件，則()AP(AB)<1 BP(AB)1CP(AB)>1 DP(AB)1解析：選DA，B互斥，P(AB)P(A)P(B)1.(當(dāng)A、B對立時(shí)，P(AB)1)7某射手在一次射擊中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2、0.3、0.1，則此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為()A0.5 B0.3 C0.6 D0.9解析：選A此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為10.20.30.5.故選A.8市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠的合格率是80%，則從市場上買到一個(gè)是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是()A0.665 B0.56 C0.24 D0.285解析：選A由題意知本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，甲廠產(chǎn)品占70%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，從市場上買到一個(gè)甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是0.7×0.950.665，故選A.9盒子里裝有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取3個(gè)球設(shè)事件A表示“3個(gè)球中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球”，事件B表示“3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球”已知P(A)，P(B)，求“3個(gè)球中既有紅球又有白球”的概率解：記事件C為“3個(gè)球中既有紅球又有白球”，則它包含事件A“3個(gè)球中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球”和事件B“3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球”，而且事件A與事件B是互斥的，所以P(C)P(AB)P(A)P(B).10在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績在90分以上的概率是0.18，在80分89分的概率是0.51，在70分79分的概率是0.15，在60分69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，計(jì)算：(1)小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成績的概率；(2)小明考試及格的概率解：記小明的成績“在90分以上”“在80分89分”“在70分79分”“在60分69分”為事件A，B，C，D，這四個(gè)事件彼此互斥(1)小明成績在80分以上的概率是P(AB)P(A)P(B)0.180.510.69.(2)法一：小明及格的概率是P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)0.180.510.150.090.93.法二：小明不及格的概率為0.07，則小明及格的概率為10.070.93.能力提升綜合練1從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是()A“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”B“至少有1個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”C“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”D“至多有1個(gè)白球”和“都是紅球”解析：選C該試驗(yàn)有三種結(jié)果：“恰有1個(gè)白球”、“恰有2個(gè)白球”、“沒有白球”，故“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”是互斥事件但不是對立事件2甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙兩人下成和棋的概率為()A60% B30% C10% D50%解析：選D設(shè)A甲獲勝，B甲不輸，C甲、乙和棋，則A、C互斥，且BAC，故P(B)P(AC)P(A)P(C)，即P(C)P(B)P(A)50%.3現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理和化學(xué)共5本書，從中任取1本，取出的是理科書的概率為()A. B. C. D.解析：選C記取到語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)書分別為事件A、B、C、D、E，則A、B、C、D、E互斥，取到理科書的概率為事件B、D、E概率的和P(BDE)P(B)P(D)P(E).4對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進(jìn)行抽樣檢測，如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間20,25)上的為一等品，在區(qū)間15,20)和區(qū)間25,30)上的為二等品，在區(qū)間10,15)和30,35)上的為三等品用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，則其為二等品的概率為()A0.09 B0.20 C0.25 D0.45解析：選D由圖可知抽得一等品的概率為0.3，抽得三等品的概率為0.25，則抽得二等品的概率為10.30.250.45.5(2016·合肥高一檢測)為維護(hù)世界經(jīng)濟(jì)秩序，我國在亞洲經(jīng)濟(jì)論壇期間積極倡導(dǎo)反對地方貿(mào)易保護(hù)主義，并承諾包括汽車在內(nèi)的進(jìn)口商品將最多在5年內(nèi)把關(guān)稅全部降低到世貿(mào)組織所要求的水平，其中21%的進(jìn)口商品恰好5年關(guān)稅達(dá)到要求，18%的進(jìn)口商品恰好4年關(guān)稅達(dá)到要求，其余進(jìn)口商品將在3年或3年內(nèi)達(dá)到要求，則包括汽車在內(nèi)的進(jìn)口商品不超過4年的時(shí)間關(guān)稅達(dá)到要求的概率為_解析：設(shè)“包括汽車在內(nèi)的進(jìn)口商品恰好4年關(guān)稅達(dá)到要求”為事件A，“不到4年達(dá)到要求”為事件B，則“包括汽車在內(nèi)的進(jìn)口商品在不超過4年的時(shí)間關(guān)稅達(dá)到要求”是事件AB，而A，B互斥，P(AB)P(A)P(B)0.18(10.210.18)0.79.答案：0.796同時(shí)擲兩枚骰子，既不出現(xiàn)5點(diǎn)也不出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為，則5點(diǎn)或6點(diǎn)至少出現(xiàn)一個(gè)的概率是_解析：記既不出現(xiàn)5點(diǎn)也不出現(xiàn)6點(diǎn)的事件為A，則P(A)，5點(diǎn)或6點(diǎn)至少有一個(gè)的事件為B.因AB，AB為必然事件，所以A與B是對立事件，則P(B)1P(A)1.故5點(diǎn)或6點(diǎn)至少有一個(gè)出現(xiàn)的概率為.答案：7袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率是，試求得到黑球、黃球、綠球的概率各是多少？解：從袋中任取一球，記事件“摸到紅球”“摸到黑球”“摸到黃球”“摸到綠球”分別為A、B、C、D，則有P(BC)P(B)P(C)；P(CD)P(C)P(D)；P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)1.解得P(B)，P(C)，P(D).所以得到黑球、黃球、綠球的概率各是，.11