2017-2018學年高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用章末復習提升教學案 新人教B版選修1-1

第三章 導數(shù)及其應用1對于導數(shù)的定義，必須明白定義中包含的基本內容和自變量的增量x0的方式，導數(shù)是函數(shù)的增量y與自變量的增量x的比的極限，即.函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率2曲線的切線方程利用導數(shù)求曲線過點P的切線方程時應注意：(1)判斷P點是否在曲線上；(2)如果曲線yf(x)在P(x0，f(x0)處的切線平行于y軸(此時導數(shù)不存在)，可得方程為xx0；P點坐標適合切線方程，P點處的切線斜率為f(x0)3利用基本初等函數(shù)的求導公式和四則運算法則求導數(shù)，熟記基本求導公式，熟練運用法則是關鍵，有時先化簡再求導，會給解題帶來方便因此觀察式子的特點，對式子進行適當?shù)淖冃问莾?yōu)化解題過程的關鍵4判斷函數(shù)的單調性(1)在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在函數(shù)的定義域內，通過討論導數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調區(qū)間；(2)注意在某一區(qū)間內f(x)0(或f(x)0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分不必要條件5利用導數(shù)研究函數(shù)的極值要注意(1)極值是一個局部概念，是僅對某一點的左右兩側鄰近區(qū)域而言的(2)連續(xù)函數(shù)f(x)在其定義域上的極值點可能不止一個，也可能沒有極值點，函數(shù)的極大值與極小值沒有必然的大小聯(lián)系，函數(shù)的一個極小值也不一定比它的一個極大值小(3)可導函數(shù)的極值點一定是導數(shù)為零的點，但函數(shù)的導數(shù)為零的點，不一定是該函數(shù)的極值點因此導數(shù)為零的點僅是該點為極值點的必要條件，其充要條件是加上這點兩側的導數(shù)異號6求函數(shù)的最大值與最小值(1)函數(shù)的最大值與最小值：在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)，在a，b上必有最大值與最小值；但在開區(qū)間(a，b)內連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值，例如：f(x)x3，x(1,1)(2)求函數(shù)最值的步驟一般地，求函數(shù)yf(x)在a，b上最大值與最小值的步驟如下：求函數(shù)yf(x)在(a，b)內的極值及端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)；將函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值7應用導數(shù)解決實際問題，關鍵在于建立恰當?shù)臄?shù)學模型(函數(shù)關系)，如果函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值點x0，則f(x0)是函數(shù)的最值.題型一應用導數(shù)解決與切線相關的問題根據(jù)導數(shù)的幾何意義，導數(shù)就是相應切線的斜率，從而就可以應用導數(shù)解決一些與切線相關的問題例1已知函數(shù)f(x)xalnx(aR)(1)當a2時，求曲線yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值解函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)1.(1)當a2時，f(x)x2lnx，f(x)1(x>0), f(1)1，f(1)1, yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程為y1(x1), 即xy20.(2)由f(x)1，x>0知：當a0時，f(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；當a>0時，由f(x)0，解得xa; x(0，a)時，f(x)<0，x(a，)時，f(x)>0f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aalna，無極大值綜上，當a0時，函數(shù)f(x)無極值；當a>0時，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aalna，無極大值跟蹤演練1點P(2,0)是函數(shù)f(x)x3ax與g(x)bx2c的圖象的一個公共點，且兩條曲線在點P處有相同的切線，求a，b，c的值解因為點P(2,0)是函數(shù)f(x)x3ax與g(x)bx2c的圖象的一個公共點，所以232a04bc0由得a4.所以f(x)x34x.又因為兩條曲線在點P處有相同的切線，所以f(2)g(2)，而由f(x)3x24得到f(2)8，由g(x)2bx得到g(2)4b，所以84b，即b2，代入得到c8.綜上所述，a4，b2，c8.題型二應用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間在區(qū)間(a，b)內，如果f(x)>0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內單調遞增；在區(qū)間(a，b)內，如果f(x)<0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內單調遞減例2已知函數(shù)f(x)xa(2lnx)，a0.討論f(x)的單調性解由題知，f(x)的定義域是(0，)，f(x)1.設g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判別式a28.當0即0a2時，對一切x0都有f(x)0.此時f(x)是(0，)上的增函數(shù)當0即a2時，僅對x，有f(x)0，對其余的x0都有f(x)0.此時f(x)也是(0，)上的增函數(shù)當0即a2時，方程g(x)0有兩個不同的實根x1，x2，0x1x2.當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)極大值極小值此時f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增跟蹤演練2求下列函數(shù)的單調區(qū)間：(1)f(x)(x3)ex，x(0，)；(2)f(x)x(xa)2.解 (1)f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2，又x(0，)，所以函數(shù)的單調增區(qū)間(2，)，函數(shù)的單調減區(qū)間(0,2)，(2)函數(shù)f(x)x(xa)2x32ax2a2x的定義域為R，由f(x)3x24axa20，得x1，x2a.當a>0時，x1<x2.函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為，(a，)，單調遞減區(qū)間為.當a<0時，x1>x2，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(，a)，單調遞減區(qū)間為.當a0時，f(x)3x20，函數(shù)f(x)的單調區(qū)間為(，)，即f(x)在R上是遞增的綜上，a>0時，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為，(a，)，單調遞減區(qū)間為.a<0時，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(，a)，單調遞減區(qū)間為.a0時，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(，)題型三利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值1利用導數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)解方程f(x)0的根；(3)檢驗f(x)0的根的兩側f(x)的符號若左正右負，則f(x)在此根處取得極大值；若左負右正，則f(x)在此根處取得極小值；否則，此根不是f(x)的極值點2求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值、最小值的方法與步驟(1)求f(x)在(a，b)內的極值；(2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值特別地，當f(x)在a，b上單調時，其最小值、最大值在區(qū)間端點取得；當f(x)在(a，b)內只有一個極值點時，若在這一點處f(x)有極大(或極小)值，則可以斷定f(x)在該點處取得最大(最小)值，這里(a，b)也可以是(，)例3已知函數(shù)f(x)x2alnx(aR)(1)若f(x)在x2時取得極值，求a的值；(2)求f(x)的單調區(qū)間；(3)求證：當x>1時，x2lnx<x3.(1)解f(x)x，因為x2是一個極值點，所以20，則a4.此時f(x)x，因為f(x)的定義域是(0，)，所以當x(0,2)時，f(x)0；當x(2，)，f(x)0，所以當a4時，x2是一個極小值點，則a4.(2)解因為f(x)x，x(0，)，所以當a0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，)當a0時，f(x)x，所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間(，)；遞減區(qū)間為(0，)(3)證明設g(x)x3x2lnx，則g(x)2x2x，因為當x1時，g(x)0，所以g(x)在x(1，)上為增函數(shù)，所以g(x)g(1)0，所以當x1時，x2lnxx3.跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖象上一點P(1,0)，且在點P處的切線與直線3xy0平行(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，t(0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的結論下，關于x的方程f(x)c在區(qū)間1,3上恰有兩個相異的實根，求實數(shù)c的取值范圍解(1)因為f(x)3x22ax，曲線在P(1,0)處的切線斜率為：f(1)32a，即32a3，a3.又函數(shù)過(1,0)點，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22得，f(x)3x26x.由f(x)0得，x0或x2.當0<t2時，在區(qū)間(0，t)上f(x)<0，f(x)在0，t上是減函數(shù)，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.當2<t<3時，當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)0f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個又f(t)f(0)t33t2t2(t3)<0.所以f(x)maxf(0)2.綜上可知，在區(qū)間0，t(0<t<3)上f(x)max2，f(x)min(3)令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上，g(x)<0；在x(2,3上，g(x)>0.g(x)0在1,3上恰有兩個相異的實根，則解得2<c0.即c的取值范圍為(2,0題型四導數(shù)與函數(shù)、不等式的綜合應用利用導數(shù)研究函數(shù)是高考的必考內容，也是高考的重點、熱點考題利用導數(shù)作為工具，考查求函數(shù)的單調區(qū)間、函數(shù)的極值與最值，參數(shù)的取值范圍等問題，若以選擇題、填空題出現(xiàn)，以中低檔題為主；若以解答題形式出現(xiàn)，則難度以中檔以上為主，有時也以壓軸題的形式出現(xiàn)考查中常滲透函數(shù)、不等式等有關知識，綜合性較強例4設函數(shù)f(x)x32ax23a2xb(0<a<1)(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值；(2)若當xa1，a2時，恒有|f(x)|a，試確定a的取值范圍；(3)當a時，關于x的方程f(x)0在區(qū)間1,3上恒有兩個相異的實根，求實數(shù)b的取值范圍解(1)f(x)x24ax3a2(xa)(x3a)令f(x)0，得xa或x3a.當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)極小值極大值f(x)在(，a)和(3a，)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù)當xa時，f(x)取得極小值，f(x)極小值f(a)ba3；當x3a時，f(x)取得極大值，f(x)極大值f(3a)b.(2)f(x)x24ax3a2，其對稱軸為x2a.因為0<a<1，所以2a<a1.所以f(x)在區(qū)間a1，a2上是減函數(shù)當xa1時，f(x)取得最大值，f(a1)2a1；當xa2時，f(x)取得最小值，f(a2)4a4.于是有即a1.又因為0<a<1，所以a<1.(3)當a時，f(x)x3x2xb.f(x)x2x，由f(x)0，即x2x0，解得x1，x22，可知f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在(2，)上是減函數(shù)f(x)0在1,3上恒有兩個相異實根，即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一個實根，于是有即解得0<b.跟蹤演練4證明：當x2,1時，x34x.證明令f(x)x34x，x2,1，則f(x)x24.因為x2,1，所以f(x)0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,1上單調遞減故函數(shù)f(x)在區(qū)間2,1上的最大值為f(2)，最小值為f(1).所以，當x2,1時，f(x)，即x34x成立1.函數(shù)中求參數(shù)的取值范圍問題，可以有兩種類型：一是已知函數(shù)單調性(或極值)，求參數(shù)范圍；二是已知函數(shù)最值(或恒成立)等性質，求參數(shù)范圍這兩種類型從實質上講，可以統(tǒng)一為：已知函數(shù)值的變化規(guī)律，探求其參數(shù)變化范圍2在解決問題的過程中要處理好等號的問題：(1)注意定義域；(2)函數(shù)在某區(qū)間上遞增(或遞減)的充要條件是：f(x)0(或f(x)0)，且f(x)不恒為零；(3)與函數(shù)最值有關問題要注意最值能否取得的情況，一般我們可以研究臨界值取舍即可9