2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5

一二維形式的柯西不等式1.認(rèn)識(shí)并理解平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式，以及定理1、定理2、定理3等幾種不同形式，理解它們的幾何意義2會(huì)用柯西不等式的代數(shù)形式和向量形式以及定理1、定理2、定理3，證明比較簡(jiǎn)單的不等式，會(huì)求某些函數(shù)的最值二維形式的柯西不等式1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)·|acbd|(當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)，等號(hào)成立)()(2)(ab)(cd)()2(a，b，c，dR，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)，等號(hào)成立)()(3)·|ac|bd|(當(dāng)且僅當(dāng)|ad|bc|時(shí)，等號(hào)成立)()(4)在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中，取等號(hào)的條件可以是.()(5)設(shè)，是兩個(gè)向量，則|·|中等號(hào)成立的條件是存在實(shí)數(shù)k，使k·.()答案：(1)(2)(3)(4)×(5)×2設(shè)a(2，)，|b|6，則a·b的最小值為()A18B6C18 D12解析：選C.因?yàn)閨a·b|a|b|，所以|a·b|18，所以18a·b18，a·b的最小值為18，故選C.3設(shè)a，bR，若a2b25，則a2b的最大值為()A BC5 D5解析：選C.由柯西不等式得(a2b2)(1222)(a2b)2，所以(a2b)25×525，當(dāng)且僅當(dāng)2ab時(shí)，等號(hào)成立所以(a2b)max5.4設(shè)a，b，m，nR，且a2b25，manb5，則的最小值為_解析：根據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值為.答案：利用柯西不等式求最值學(xué)生用書P40(1)求f(x)2的最大值(2)若3x4y2，求x2y2的最小值【解】(1)因?yàn)閒(x)2×1×××3.當(dāng)且僅當(dāng)×，即x0時(shí)取等號(hào)，故f(x)2的最大值是3.(2)因?yàn)?x4y2，所以x2y2(x2y2)(3242)(3x4y)2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)“”成立所以x2y2的最小值為.利用柯西不等式求最值(1)先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，是利用柯西不等式求解的先決條件； (2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧；(3)有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過程中，每運(yùn)用一次前后等號(hào)成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一1.若a2b21，x2y21，求axby的最小值解：因?yàn)閍2b21，x2y21，由柯西不等式(a2b2)(x2y2)(axby)2，得1(axby)2，所以axby的最小值為1.2已知2x2y21，求2xy的最大值解：2xy×x1×y××.當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)所以2xy的最大值為.利用柯西不等式的代數(shù)形式證明不等式學(xué)生用書P41已知a1，a2，b1，b2為正實(shí)數(shù)，求證：(a1b1a2b2)·()(a1a2)2.【證明】(a1b1a2b2)()()2()2()2()2(··)2(a1a2)2.當(dāng)且僅當(dāng)b1b2時(shí)，等號(hào)成立利用柯西不等式的代數(shù)形式證明不等式的方法利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時(shí)，有時(shí)需要將待證不等式進(jìn)行變形，以具備柯西不等式的運(yùn)用條件，這種變形往往要認(rèn)真分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，利用添項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解、組合、配方、數(shù)形結(jié)合等方法，才能找到突破口已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且ab2，求證：(12a)(1b)9.證明：因?yàn)閍，b都是正實(shí)數(shù)，所以由柯西不等式可知(12a)(1b)12()212()2(1)2，當(dāng)且僅當(dāng)a1，b2時(shí)取等號(hào)因?yàn)閍b2，所以(1)29，所以(12a)(1b)9.柯西不等式向量形式的應(yīng)用學(xué)生用書P41(1)已知為銳角，a，bR，求證：(ab)2.(2)已知x，求函數(shù)f(x)3cos x4的最大值，并說明等號(hào)成立的條件【解】(1)設(shè)m，n(cos ，sin )，則|ab|m·n|m|n|·，所以(ab)2.(2)設(shè)m(3，4)，n(cos x，)，則根據(jù)柯西不等式的向量形式可得：f(x)3cos x4·5.當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)上式取等號(hào)，34cos x0，而且x，解得sin x.所以當(dāng)sin x時(shí)，f(x)3cos x4取最大值為5.應(yīng)用二維形式柯西不等式向量形式求最值及證明不等式的技巧在應(yīng)用二維形式柯西不等式向量形式求式子的最值或證明不等式時(shí)要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造兩個(gè)向量，通常我們使構(gòu)造的向量滿足積為待求式子或待證不等式一側(cè)的形式，再利用柯西不等式的向量形式求解或證明.已知a，bR，且ab1，求證：(axby)2ax2by2.證明：設(shè)m(x，y)，n(，)，則|axby|m·n|m|n|··，所以(axby)2ax2by2.1理解并記憶三種形式取“”的條件(1)代數(shù)形式中當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)取等號(hào)(2)向量形式中當(dāng)k或0時(shí)取等號(hào)(3)三角形式中當(dāng)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三點(diǎn)共線且P1，P2在原點(diǎn)O兩旁時(shí)取等號(hào)2“二維”的含義“二維”是對(duì)向量的個(gè)數(shù)來說的，在平面上一個(gè)向量有兩個(gè)量：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，因此“二維”就要有四個(gè)量，還可以認(rèn)為是四個(gè)數(shù)組合成的一種不等關(guān)系3二維形式的柯西不等式的變式(1)·|acbd|.(2)·|ac|bd|.(3)·acbd.1已知a，b，x1，x2為互不相等的正數(shù)，若y1，y2，求證：y1y2x1x2.證明：y1y2·x1x2.()因?yàn)閍，b，x1，x2為互不相等的正數(shù)，因此()式等號(hào)不成立，所以y1y2x1x2.2已知x，yR，且xy2.求證：2.證明：(xy)()2()22，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x1，y1.所以2.7