2017-2018版高中數(shù)學 第三單元 導數(shù)及其應用疑難規(guī)律方法教學案 新人教B版選修1-1

第三單元 導數(shù)及其應用1巧用法則求導數(shù)導數(shù)的計算包括八個基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，以及和、差、積、商的導數(shù)運算法則，它們是導數(shù)概念的深化，也是導數(shù)應用的基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用那么在掌握和、差、積、商的導數(shù)運算法則時，要注意哪些問題？有哪些方法技巧可以應用？下面就以實例進行說明1函數(shù)和(或差)的求導法則(f(x)±g(x)f(x)±g(x)例1求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)f(x)ln x；(2)f(x)cos x1.解(1)f(x).(2)f(x)sin x .點評記住基本初等函數(shù)的導數(shù)公式是正確求解導數(shù)的關(guān)鍵，此外函數(shù)和(或差)的求導法則可以推廣到任意有限個可導函數(shù)和(或差)的求導2函數(shù)積的求導法則f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)例2求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)f(x)x2ex；(2)f(x)(x1)(x2)(x3)解(1)f(x)(x2ex)(x2)exx2(ex)2xexx2ex.(2)f(x)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)x23x23x212x11.點評特別要注意：f(x)g(x)f(x)g(x)同時要記住結(jié)論：若C為常數(shù)，則Cf(x)Cf(x)，由此進一步可以得到af(x)±bg(x)af(x)±bg(x)3函數(shù)商的求導法則(g(x)0)例3求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)f(x)；(2)f(x)tan x；(3)f(x) .解(1)f(x)().(2)f(x)(tan x)().(3)因為f(x)，所以f(x)().點評應在求導之前，先利用代數(shù)、三角恒等變換對函數(shù)進行化簡，然后再求導，這樣可以減少運算，提高運算效率4分式求導對于能夠裂項的分式型函數(shù)，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為幾個單項式的和差形式，然后再利用和差的導數(shù)公式來解決例4求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y；(2)y.分析直接求導，或比較煩雜，或無從下手，這時，我們不妨利用數(shù)學運算法則將其分解，那么“曙光就在前頭”解(1)因為yx1，所以y11.(2)因為yx2x3x4，所以y2x3x24x3.點評本題啟示我們，對于某些函數(shù)式，我們應先根據(jù)它的結(jié)構(gòu)特點，適當?shù)貙瘮?shù)式中的項進行合理的“拆”，然后“各個擊破”2利用導數(shù)求切線方程曲線的切線問題是高考的常見題型之一而導數(shù)f(x0)的幾何意義為曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率，所以利用導數(shù)解決相切問題是常用的方法下面對“求過一點的切線方程”的題型做以下歸納1已知切點，求曲線的切線方程此類題只需求出曲線的導數(shù)f(x)，并代入點斜式方程即可例1曲線f(x)x33x21在點(1，1)處的切線方程為()Ay3x4 By3x2Cy4x3 Dy4x5解析由f(x)3x26x知，曲線在點(1，1)處的斜率為kf(1)3.所以切線方程為y(1)3(x1)，即y3x2.故選B.答案B2已知過曲線上一點，求切線方程過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應先設(shè)切點，再求切點，即用待定切點法例2求過曲線f(x)x32x上的點(1，1)的切線方程解設(shè)P(x0，y0)為切點，則切線的斜率為f(x0)3x2.所以切線方程為yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)·(xx0)又知切線過點(1，1)，所以1(x2x0)(3x2)(1x0)，解得x01或x0.故所求切線方程為y(12)(32)(x1)或y(1)(2)·(x)，即xy20或5x4y10.點評可以發(fā)現(xiàn)直線5x4y10并不以(1，1)為切點，實際上是經(jīng)過點(1，1)，且以(，)為切點的直線這說明過曲線上一點的切線，該點未必是切點3已知過曲線外一點，求切線方程此類題可先設(shè)切點，再求切點，即用待定切點法來求解例3求過點(2,0)且與曲線f(x)相切的直線方程解設(shè)P(x0，y0)為切點，則切線的斜率為f(x0).所以切線方程為yy0(xx0)，即y(xx0)又已知切線過點(2,0)，把它代入上述方程，得(2x0)解得x01，y01，所以所求切線方程為y1(x1)，即xy20.點評點(2,0)實際上是曲線外的一點，但在解答過程中卻無需判斷它的確切位置，這充分反映出待定切點法的高效性4求兩條曲線的公切線例4已知曲線C1：yx2與C2：yx24x4，直線l與C1，C2都相切，求直線l的方程分析設(shè)出直線與兩條曲線的切點坐標，分別求出曲線在切點處的切線方程，再利用兩個方程所表示的直線重合，建立方程組求解解設(shè)l與C1相切于點P(x1，x)，與C2相切于點Q(x2，x4x24)由C1：yx2，得y2x，則與C1相切于點P的切線方程為yx2x1(xx1)，即y2x1xx.由C2：yx24x4，得y2x4，則與C2相切于點Q的切線方程為y2(x22)xx4.因為兩切線重合，所以2x12(x22)且xx4，解得x10，x22或x12，x20.所以直線l的方程為y0或y4x4.點評公切線問題的一般解法是分別求出曲線在切點處的切線方程，再利用兩直線重合的條件建立方程組求解3利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性常見題型1運用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導數(shù)f(x)；(3)在定義域內(nèi)解不等式f(x)>0或f(x)<0，得單調(diào)區(qū)間例1求函數(shù)f(x)x(ex1)x2的單調(diào)區(qū)間解由已知，得當f(x)(ex1)(x1)0時，有x0或x1.當x<1時，f(x)>0；當1<x<0時，f(x)<0；當x>0時，f(x)>0.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)，(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,0)點評單調(diào)區(qū)間開閉不扣分，但定義域不取的數(shù)一定不能?。粩嚅_的單調(diào)區(qū)間一般不合寫，也不用“”連接，中間用“，”或“和”連接例2已知函數(shù)f(x)x23x2ln x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為_分析先求函數(shù)f(x)的定義域和導數(shù)，再結(jié)合定義域解f(x)<0即可解析函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)2x3.令f(x)<0，即2x3<0，結(jié)合定義域知，x>0且2x23x2<0，解得0<x<，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)答案(0，)點評求解該類問題時要注意兩點：不要忽視定義域；如有多個單調(diào)遞增(減)區(qū)間，不要把這些區(qū)間取并集2證明不等式例3求證：當x>1時，ln x>.分析可構(gòu)造函數(shù)f(x)ln x()，由于f(1)0，故若能證明f(x)為(1，)上的增函數(shù)，即證明在(1，)上，導函數(shù)f(x)>0恒成立即可證明令f(x)ln x()，則有f(1)0.因為f(x)x>0(x(1，)，所以函數(shù)f(x)為(1，)上的增函數(shù)，又f(1)0，所以當x(1，)時，f(x)>0恒成立，即ln x>.點評證明不等式f(x)>g(x)，x(a，b)的一般方法：構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，x(a，b)，分析F(x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性及最小值與0的大小，進而說明F(x)>0在(a，b)內(nèi)恒成立即可3求參數(shù)的取值范圍例4已知函數(shù)f(x)x3ax21.(1)若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍分析注意正確區(qū)分“在某區(qū)間單調(diào)”和“單調(diào)區(qū)間”的概念，避免混淆解(1)由f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)可知，0與2是方程f(x)3x22ax0的兩根，故有3×222a×20，解得a3.(2)由函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減可知，f(x)3x22ax0在(0,2)內(nèi)恒成立，即2a3x在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立因為x(0,2)，所以3x(0,6)，故2a6，即a3.經(jīng)驗證a3時滿足題意，故a的取值范圍為3，)點評若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)，則有f(x)0(f(x)0)對xD恒成立，這類問題，通常利用導數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，進而把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求一個函數(shù)在某區(qū)間上的最大(小)值問題求解也可根據(jù)所給區(qū)間是單調(diào)遞增(減)區(qū)間的子區(qū)間求解4巧用導數(shù)求極值1函數(shù)的極值點的判定方法設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，判定f(x0)是極大(小)值點的方法：(1)如果在x0兩側(cè)f(x)符號相同，則x0不是函數(shù)f(x)的極值點；(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f(x)<0，那么f(x0)是極大值；(3)如果在x0附近的左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)>0，那么f(x0)是極小值也就是說，極大值點可以看成是函數(shù)遞增區(qū)間與遞減區(qū)間的分界點，極大值是極大值點附近曲線由上升到下降的過渡點的函數(shù)值極小值則是極小值點附近曲線由下降到上升的過渡點的函數(shù)值2極值常見題型詳解(1)利用導數(shù)求函數(shù)的極值例1求函數(shù)f(x)xln x的極值點解f(x)ln x1，x>0.而f(x)>0ln x1>0x>，f(x)<0ln x1<00<x<，所以f(x)在(0，)上是遞減的，在(，)上是遞增的所以x是函數(shù)f(x)的極小值點，極大值點不存在點評求極值問題一定注意函數(shù)的定義域，所以在定義域內(nèi)研究函數(shù)的極值是求極值時應注意的知識點，再利用求極值的步驟求解即可(2)含參數(shù)的極值問題例2設(shè)aR，函數(shù)f(x)ln xax.討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值解由已知，得函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)a.若a0，則f(x)>0，f(x)在(0，)上是遞增的，無極值；若a>0，令f(x)0，得x.當x(0，)時，f(x)>0，f(x)是遞增的；當x(，)時，f(x)<0，f(x)是遞減的所以當x時，f(x)有極大值，極大值為f()ln 1ln a1.綜上所述，當a0時，f(x)的遞增區(qū)間為(0，)，無極值；當a>0時，f(x)的遞增區(qū)間為(0，)，遞減區(qū)間為(，)，極大值為ln a1.點評本題通過求導，把問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的不等式問題，需要對問題進行討論，討論時需要全面，避免遺漏(3)極值問題的逆向考查例3已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa27a在x1處取得極大值10，則的值為()A B2C2或 D不存在解析由題意知f(x)3x22axb.所以解得或經(jīng)檢驗滿足題意，所以.故選A.答案A點評本題是已知極值求參數(shù)，逆向考查了極值的含義，解題關(guān)鍵是需要對所求參數(shù)進行討論，是否滿足極值的條件如果不滿足，需要舍去5分類討論思想在導數(shù)中如何應用分類討論思想在導數(shù)中的應用非常廣泛，尤其是在求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值或最值的問題中，那么如何確定分類討論的標準呢？1按導數(shù)為零的根的大小來分類例1設(shè)函數(shù)f(x)x(xa)2(xR)，其中aR且a0，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值解f(x)(3xa)(xa)，令f(x)0，解得xa或x.當a>，即a>0，x(，)時，f(x)<0，x(，a)時，f(x)>0，x(a，)時，f(x)<0，因此，函數(shù)f(x)在x處取得極小值a3，在xa處取得極大值0.當a<，即a<0，x(，a)時，f(x)<0，x(a，)時，f(x)>0，x(，)時，f(x)<0，因此，函數(shù)f(x)在x處取得極大值a3，在xa處取得極小值0.點評本題對f(x)求導后，得到一個二次函數(shù)，令f(x)0得到的兩個根是含有參數(shù)的，因此應按兩個根的大小來分類2按是否為二次函數(shù)來分類例2已知函數(shù)f(x)ln xax1(a)，討論f(x)的單調(diào)性解f(x)，x(0，)，令h(x)ax2x1a，x(0，)，(1)當a0時，h(x)x1，x(0，)，當x(0,1)時，h(x)>0，此時f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x(1，)時，h(x)<0，此時f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增(2)當a0時，由f(x)0，解得x11，x21，當a，即x1x2時，h(x)0恒成立，此時f(x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當0<a<，即1>1>0，x(0,1)時，h(x)>0，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，x(1，1)時，h(x)<0，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，x(1，)時，h(x)>0，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當a<0時，1<0<1，x(0,1)時，h(x)>0，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，x(1，)時，h(x)<0，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增綜上所述，當a0時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增；當a時，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當0<a<時，函數(shù)f(x)在(0,1)和(1，)上單調(diào)遞減，在(1，1)上單調(diào)遞增點評由于f(x)的分子是一個二次項含參的函數(shù)，因此在分類討論時，首先應按a是否為零，即該函數(shù)是否為二次函數(shù)來分類，然后當a0時，再按根的大小來分類(與例1類似)，另外，應注意參數(shù)的范圍3按最值來分類例3設(shè)函數(shù)f(x)exex，若對所有x0都有f(x)ax，求實數(shù)a的取值范圍解令g(x)f(x)ax，則g(x)f(x)aexexa，由于exexex2(當且僅當x0時等號成立)，所以當a2時，g(x)exexa2a0，故g(x)在(0，)上為增函數(shù)所以當x0時，g(x)g(0)0，即f(x)ax.當a>2時，方程g(x)0的根為x1ln <0，x2ln >0，此時，若x(0，x2)，則g(x)<0，故g(x)在區(qū)間(0，x2)內(nèi)為減函數(shù)所以x(0，x2)時，g(x)<g(0)0，即f(x)<ax，與題設(shè)f(x)ax相矛盾綜上所述，滿足條件的實數(shù)a的取值范圍為a2.點評本題對函數(shù)求導后應根據(jù)導數(shù)中含自變量部分的最值對a進行分類討論小結(jié)通過以上幾例我們可以總結(jié)出分類討論的原則：(1)要有明確的分類標準；(2)分類要不重復、不遺漏；(3)當討論的對象不止一種時，應分層次進行分類討論的一般步驟：先明確討論對象，確定對象的范圍，再確定分類標準，逐段分析，獲得階段性結(jié)果，最后歸納總結(jié)得出結(jié)論6導數(shù)計算中的易錯點1對定義理解不透例1已知函數(shù)f(x)3x42x35，則 _.錯解因為f(x)12x36x2，所以原式f(1)6.故填6.剖析在導數(shù)的定義中，增量x的形式是多種多樣的，但不論x選擇哪種增量形式，相應的y也應選擇對應的形式，本題y中x的增量為2x，則分母也應為2x.正解因為f(x)12x36x2，所以原式 ·22f(1)12.故填12.答案122對導數(shù)的幾何意義理解有誤例2已知曲線yf(x)x33x，求過點A(2,2)且與該曲線相切的切線方程錯解因為點A(2,2)在曲線yf(x)x33x上，且f(x)3x23，所以f(2)9.所以所求切線方程為y29(x2)，即9xy160.剖析上述解法錯在對導數(shù)的幾何意義理解有誤，切線的斜率k應是切點處的導數(shù)，而點A(2,2)雖在曲線上，但不一定是切點，故本題應先設(shè)切點，再求斜率k.正解設(shè)切點為P(x0，x3x0)，又y3x23.所以在點x0處的切線方程為y(x3x0)(3x3)(xx0)又因為切線過點A(2,2)，所以2(x3x0)(3x3)(2x0)，即(x02)2(x01)0，解得x02或x01.故切線方程為9xy160或y2.3求導時混淆了常量與變量例3求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)f(x)a2x2；(2)f(x)ex.錯解(1)f(x)(a2x2)2a2x.(2)f(x)(ex)(e)x(x)eexe.剖析(1)求導是對自變量的求導，要看清表達式中的自變量本題的自變量是x，而a是常量(2)中誤把常數(shù)e當作了變量正解(1)f(x)(a2x2)2x.(2)f(x)(ex)e(x)e.4混淆“在某點處的切線”與“過某點的切線”例4已知曲線f(x)2x33x，過點M(1，1)作曲線f(x)的切線，求此切線方程錯解因為點M在曲線上，所以M為切點，又f(x)6x23，所以切線的斜率為kf(1)633，所以由點斜式可求得切線方程為y3x4.剖析錯解直接把M看成是切點，對于此類問題應著重考慮點是否為切點，若已知點是切點，則錯解中的方法就是正確的；否則，就要設(shè)出切點，由切點寫出切線方程，再將已知點代入求得切點坐標進而得到切線方程正解設(shè)切點坐標為N(x0,2x3x0)，f(x)6x23，所以切線的斜率為kf(x0)6x3，所以切線方程為y(2x3x0)(6x3)·(xx0)又點M在切線上，所以有1(2x3x0)(6x3)(1x0)，解得x01或x0，故切線方程為3xy40或3x2y10.5公式或法則記憶不準例5已知函數(shù)f(x)x2exln x3，則f(2)等于()A(ln 2)e23 B0C.e23 De23錯解因為f(x)(x2)(ex)(ln x)()(3)2xex·，所以f(2)e23.故選C.剖析基本初等函數(shù)的求導公式和求導法則，是求較復雜函數(shù)的基礎(chǔ)，上述函數(shù)就是四個基本函數(shù)yex，yln x，yxu，yC的和與積構(gòu)成的，因此求導時需利用求導法則f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，而不是直接求兩個函數(shù)導數(shù)的乘積正解因為f(x)(x2)(exln x)()(3)2x(ex)·ln xex(ln x)2xexln x，所以f(2)(ln 2)e23.故選A.答案A點評基本初等函數(shù)的求導公式中指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的求導公式相對較難，而在加、減、乘、除四種求導法則中一定要注意對乘、除兩種法則記憶的準確性13