2017-2018版高中數(shù)學 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 2 指數(shù)擴充及其運算性質(zhì)學案 北師大版必修1

2 指數(shù)擴充及其運算性質(zhì)學習目標1.理解分數(shù)指數(shù)冪的含義，學會根式與分數(shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化.2.了解無理數(shù)指數(shù)冪，理解實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).3.能用實數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)化簡、求值知識點一分數(shù)指數(shù)冪思考由a222(a>0)易得a2，由此你有什么猜想？梳理分數(shù)指數(shù)冪(1)定義：給定_a，對于任意給定的整數(shù)m，n(m，n互素)，存在唯一的_b，使得_，我們把b叫作a的_，記作b_.(2)意義正分數(shù)指數(shù)冪負分數(shù)指數(shù)冪0的分數(shù)指數(shù)冪前提條件a>0，m，n均為正整數(shù)，m，n互素結(jié)論_，無意義知識點二無理數(shù)指數(shù)冪思考無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，課本中是如何用有理數(shù)指數(shù)冪來研究無理數(shù)指數(shù)冪的？梳理無理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪a(a>0，是無理數(shù)) 是一個確定的正實數(shù)至此，指數(shù)冪a的指數(shù)取值范圍擴充為R.知識點三實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)思考1在實數(shù)指數(shù)冪ax中，為什么要規(guī)定a>0?梳理一般地，在研究實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)時，約定底數(shù)為大于零的實數(shù)思考2初中，我們知道a0，m<n時有a(nm)(其中m，n為正整數(shù))那么，當a>0，m，n為任意實數(shù)時，上式還成立嗎？梳理一般地，當a>0，b>0時，有：(1)am·anamn；(2)(am)namn；(3)(ab)nanbn，其中m，nR.知識點四實數(shù)指數(shù)冪的化簡思考如何化簡()？梳理實數(shù)指數(shù)冪的化簡中，先把根式、分式都化為實數(shù)指數(shù)冪的形式，再利用指數(shù)冪運算性質(zhì)化簡類型一根式與分數(shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化例1用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)(1)；(2).反思與感悟?qū)崝?shù)指數(shù)冪的化簡與計算中，分數(shù)指數(shù)冪形式在應(yīng)用上比較方便而在求函數(shù)的定義域中，根式形式較容易觀察出各式的取值范圍，故分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化是學習的重點內(nèi)容，要切實掌握跟蹤訓練1用根式表示 (x>0，y>0)例2把下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，其中a>0，b>0.(1)；(2)；(3)；(4).反思與感悟指數(shù)的概念從整數(shù)指數(shù)擴充到有理數(shù)指數(shù)后，當a0時，有時有意義，有時無意義如(1)1，但(1)就不是實數(shù)了為了保證在取任何有理數(shù)時，都有意義，所以規(guī)定a>0.當被開方數(shù)中有負數(shù)時，冪指數(shù)不能隨意約分跟蹤訓練2把下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪(1) ；(2) (a>0)；(3)b3·；(4) .類型二運用指數(shù)冪運算公式化簡求值例3計算下列各式(式中字母都是正數(shù))(1)(0.027)()(2)0.5；(2)(3)反思與感悟一般地，進行指數(shù)冪運算時，可按系數(shù)、同類字母歸在一起，分別計算；化負指數(shù)為正指數(shù)，化小數(shù)為分數(shù)進行運算，便于進行乘除、乘方、開方運算，可以達到化繁為簡的目的跟蹤訓練3(1)化簡：()×()080.25×(×)6；(2)化簡：(3)已知5，求的值類型三運用指數(shù)冪運算公式解方程例4已知a>0，b>0，且abba，b9a，求a的值反思與感悟指數(shù)取值范圍由整數(shù)擴展到有理數(shù)乃至實數(shù)，給運算帶來了方便，我們可以借助指數(shù)運算法則輕松對指數(shù)進行變形，以達到我們代入、消元等目的跟蹤訓練4已知67x27,603y81，求的值1化簡的值為()A2 B4C6 D82等于()A25 B. C5 D.3用分數(shù)指數(shù)冪表示(a>b)為()A(ab) B(ba)C(ab) D(ab)4()4等于()Aa16 Ba8 Ca4 Da25計算41×222的結(jié)果是()A32 B16 C64 D1281指數(shù)冪的一般運算步驟是：有括號先算括號里面的；無括號的先做指數(shù)運算，負指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)，先要化成假分數(shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于運用指數(shù)的運算性質(zhì)2指數(shù)冪的運算原則是：一般先轉(zhuǎn)化成分數(shù)指數(shù)冪，然后再利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行運算，在將根式化為分數(shù)指數(shù)冪的過程中，一般采用由內(nèi)到外逐層變換為指數(shù)的方法，然后運用運算性質(zhì)準確求解答案精析問題導(dǎo)學知識點一思考當a>0，b>0時，若ambn，則a(m，n為非零整數(shù))梳理(1)正實數(shù)正實數(shù)bnam次冪(2) 0知識點二思考隨著精確度越高，無理數(shù)指數(shù)冪的不足近似值和過剩近似值都無限趨近于同一個數(shù)，這個數(shù)即為實數(shù)知識點三思考1把指數(shù)擴大為全體實數(shù)后，若a<0，ax有時沒有意義，如(2)，為運算方便，規(guī)定a>0.思考2因為指數(shù)已擴充為實數(shù)，故有am·anamn.既不必再區(qū)分m、n的大小，也不必區(qū)分am·an和了知識點四思考()(a1·a·b·b1)(題型探究例1解(1).(2) .跟蹤訓練1解·.例2解(1)(2)(3)(4)a3.跟蹤訓練2解(1)(2)(3)b3·b3·(4)例3解(1)(0.027)()(2)0.5()2 0.090.09.(2)原式2×(6)÷(3)4ab04a.(3) .跟蹤訓練3解(1)原式(2)5×(4)×()×(3)由5，兩邊同時平方得x2x125，整理得xx123，則有23.例4解方法一a>0，b>0，又abba，方法二abba，b9a，a9a(9a)a，即(a9)a(9a)a，a99a，a89，a.跟蹤訓練4解由67x33，得673，由603y81，得6033，2，故2.當堂訓練1B2.D3.C4.D5.B10