2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.2 瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教B版選修2-2

1.1.2瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.理解瞬時(shí)速度及瞬時(shí)變化率的定義.2.會(huì)用瞬時(shí)速度及瞬時(shí)變化率定義求物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度及瞬時(shí)變化率.3.理解并掌握導(dǎo)數(shù)的概念，掌握求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法.4.理解并掌握開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1瞬時(shí)速度我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度設(shè)物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的關(guān)系是ss(t)，物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v就是運(yùn)動(dòng)物體在t0到t0t這段時(shí)間內(nèi)的平均變化率，當(dāng)t0時(shí)的極限，即v .2瞬時(shí)變化率一般地，函數(shù)yf(x)在x0處的瞬時(shí)變化率是 .3導(dǎo)數(shù)的概念一般地，函數(shù)yf(x)在x0處的瞬時(shí)變化率是 ，我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記為f(x0)，即f(x0) .4導(dǎo)函數(shù)如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)x都是可導(dǎo)的，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)這樣，對(duì)開區(qū)間(a，b)內(nèi)每個(gè)值x，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f(x)，于是在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f(x)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)記為f(x)或y(或yx)導(dǎo)函數(shù)通常簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)探究點(diǎn)一瞬時(shí)速度思考1在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)4.9t26.5t10.在某些時(shí)間段內(nèi)如何粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？平均速度能否精確反映它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？答用0t0.5和1t2的平均速度來(lái)粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在0t0.5這段時(shí)間里，4.05(m/s)；在1t2這段時(shí)間里，8.2(m/s)平均速度不能精確反映其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h與起跳時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系h(t)4.9t26.5t10，易知h()h(0)，0，而運(yùn)動(dòng)員依然是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)思考2如何描述物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？答可以使用瞬時(shí)速度精確描述物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如求t2時(shí)的瞬時(shí)速度，可考察在t2附近的一個(gè)間隔t，當(dāng)t趨近于0時(shí)，看平均速度的變化趨勢(shì)，用式子 表示，這就是物體在t2時(shí)的瞬時(shí)速度例1火箭豎直向上發(fā)射熄火時(shí)向上速度達(dá)到100 m/s.試問(wèn)熄火后多長(zhǎng)時(shí)間火箭向上速度為0?解火箭的運(yùn)動(dòng)方程為h(t)100tgt2，火箭向上位移是初速度引起的位移(100t)與重力引起的位移的合成在t附近的平均變化率為100gtgt.當(dāng)t0時(shí)，上式趨近于100gt.可見t時(shí)刻的瞬時(shí)速度h(t)100gt.令h(t)100gt0，解得t10.2(s)所以火箭熄火后約10.2 s向上速度變?yōu)?.反思與感悟瞬時(shí)速度是平均速度在t0時(shí)的極限值要求瞬時(shí)速度，可以先求平均速度思考3火箭向上速度變?yōu)?，意味著什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度嗎？答火箭向上速度變?yōu)?，意味著火箭處于上升階段的最高點(diǎn)處，即火箭達(dá)到了最大高度，由例1知火箭熄火后上升的時(shí)間為t，所以火箭熄火后上升的最大高度h100×g×2510.2(m)跟蹤訓(xùn)練1質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s(t)at21做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)若質(zhì)點(diǎn)M在t2時(shí)的瞬時(shí)速度為8 m/s，求常數(shù)a的值解ss(2t)s(2)a(2t)21a·2214ata(t)2，4aat.在t2時(shí)，瞬時(shí)速度為 4a，即4a8，a2.探究點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的定義思考1從平均速度當(dāng)t0時(shí)是瞬時(shí)速度，推廣到一般的函數(shù)方面，我們可以得到什么結(jié)論？答對(duì)函數(shù)yf(x)來(lái)說(shuō)，f(x)在點(diǎn)xx0附近改變x時(shí)，平均變化率為.當(dāng)x0時(shí)，如果平均變化率趨于一個(gè)常數(shù)l，則l稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率思考2導(dǎo)數(shù)和瞬時(shí)變化率是什么關(guān)系？導(dǎo)數(shù)有什么作用？答函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在這點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，導(dǎo)數(shù)可以反映函數(shù)在一點(diǎn)處變化的快慢程度思考3導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？答若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)(a，b)內(nèi)每個(gè)值x，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f(x)，f(x)就叫函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)yf(x)在xx0處的函數(shù)值例2利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)x23x在x2處的導(dǎo)數(shù)解由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x2處的導(dǎo)數(shù)f(2)，而f(2x)f(2)(2x)23(2x)(223×2)(x)2x，于是f(2)(x1)1.反思與感悟求一個(gè)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下：(1)求函數(shù)值的變化量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f(x0) .跟蹤訓(xùn)練2利用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx2axb在x0處的導(dǎo)數(shù)；(2)y在x2處的導(dǎo)數(shù)解(1)yf(0x)f(0)(0x)2a(0x)b02a·0b(x)2a(x)，xa，y|x0 (xa)a.(2)y2，.f(2) .探究點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例3一正方形鐵板在0時(shí)，邊長(zhǎng)為10 cm，加熱后鐵板會(huì)膨脹當(dāng)溫度為t時(shí)，邊長(zhǎng)變?yōu)?0(1at) cm，a為常數(shù)，試求鐵板面積對(duì)溫度的膨脹率解設(shè)溫度的增量為t，則鐵板面積S的增量為S1021a(tt)2102(1at)2200(aa2t)t100a2(t)2，因此200(aa2t)100a2t.令t0，得S200(aa2t)所以鐵板對(duì)溫度的膨脹率為200(aa2t)反思與感悟函數(shù)的平均變化率和瞬時(shí)變化率的關(guān)系：平均變化率，當(dāng)x趨于0時(shí)，它所趨于的一個(gè)常數(shù)就是函數(shù)在x0處的瞬時(shí)變化率，即求函數(shù)的瞬時(shí)變化率是利用平均變化率“逐漸逼近”的方法求解另外，它們都是用來(lái)刻畫函數(shù)變化快慢的，它們的絕對(duì)值越大，函數(shù)變化得越快跟蹤訓(xùn)練3將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱如果在第x h時(shí)，原油的溫度(單位：)為yf(x)x27x15(0x8)計(jì)算第2 h和第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義解在第2 h和第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是f(2)和f(6)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，x3，所以，f(2) (x3)3.同理可得，f(6)5.在第2 h和第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為3與5.它說(shuō)明在第2 h附近，原油溫度大約以3 /h的速率下降；在第6 h附近，原油溫度大約以5 /h的速率上升1一物體的運(yùn)動(dòng)方程是sat2(a為常數(shù))，則該物體在tt0時(shí)的瞬時(shí)速度是()Aat0 Bat0 C.at0 D2at0答案A解析atat0，li at0.2函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，則 ()A與x0、h都有關(guān)B僅與x0有關(guān)，而與h無(wú)關(guān)C僅與h有關(guān)，而與x0無(wú)關(guān)D與x0、h均無(wú)關(guān)答案B3已知f(x)x210，則f(x)在x處的瞬時(shí)變化率是()A3 B3 C2 D2答案B解析x3，li 3.4已知函數(shù)f(x)，則f(1)_.答案解析f(1) .呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1瞬時(shí)速度是平均速度當(dāng)t0時(shí)的極限值；瞬時(shí)變化率是平均變化率當(dāng)x0時(shí)的極限值2利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：(1)求函數(shù)的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)取極限得導(dǎo)數(shù)f(x0) .6