2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(二)學(xué)案 北師大版必修5

2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.2.會(huì)解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題.3.理解an與Sn的關(guān)系，能根據(jù)Sn求an.知識點(diǎn)一數(shù)列中an與Sn的關(guān)系思考已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，怎樣求a1，an?梳理對任意數(shù)列an，Sn與an的關(guān)系可以表示為an知識點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值思考我們已經(jīng)知道，當(dāng)公差d0時(shí)，等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)Snn2(a1)n，類比二次函數(shù)的最值情況，等差數(shù)列的Sn何時(shí)有最大值？何時(shí)有最小值？梳理等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值與Sn的單調(diào)性有關(guān)(1)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為正項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最大值(2)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最小值(3)若a1>0，d>0，則Sn是遞增數(shù)列，S1是Sn的最小值；若a1<0，d<0，則Sn是遞減數(shù)列，S1是Sn的最大值類型一已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn求an引申探究例1中前n項(xiàng)和改為Snn2n1，求通項(xiàng)公式例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2n，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？反思與感悟已知前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an，先由n1時(shí)，a1S1求得a1，再由n2時(shí)，anSnSn1求得an，最后驗(yàn)證a1是否符合an，若符合則統(tǒng)一用一個(gè)解析式表示跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n，求an.類型二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值例2已知等差數(shù)列5,4，3，的前n項(xiàng)和為Sn，求當(dāng)Sn取得最大值時(shí)n的值反思與感悟在等差數(shù)列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一項(xiàng)，使這項(xiàng)及它前面的項(xiàng)皆取正(負(fù))值或零，而它后面的各項(xiàng)皆取負(fù)(正)值，則從第1項(xiàng)起到該項(xiàng)的各項(xiàng)的和為最大(小)由于Sn為關(guān)于n的二次函數(shù)，也可借助二次函數(shù)的圖像或性質(zhì)求解跟蹤訓(xùn)練2在等差數(shù)列an中，an2n14，試用兩種方法求該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最小值類型三求等差數(shù)列前n項(xiàng)的絕對值之和例3若等差數(shù)列an的首項(xiàng)a113，d4，記Tn|a1|a2|an|，求Tn.反思與感悟求等差數(shù)列an前n項(xiàng)的絕對值之和，根據(jù)絕對值的意義，應(yīng)首先分清這個(gè)數(shù)列的哪些項(xiàng)是負(fù)的，哪些項(xiàng)是非負(fù)的，然后再分段求出前n項(xiàng)的絕對值之和跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列an中，Snn210n，數(shù)列bn的每一項(xiàng)都有bn|an|，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn的表達(dá)式1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2n，則an等于()A4n2 Bn2 C2n1 D2n2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn(n1)2，則的值是()A2 B1 C0 D13首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且S3S8，當(dāng)n_時(shí)，Sn取到最大值4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn32n，求an.1因?yàn)閍nSnSn1只有n2時(shí)才有意義，所以由Sn求通項(xiàng)公式anf(n)時(shí)，要分n1和n2兩種情況分別計(jì)算，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示2求等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的方法：(1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值方法來求其前n項(xiàng)和的最值，但要注意nN，結(jié)合二次函數(shù)圖像的對稱性來確定n的值，更加直觀(2)通項(xiàng)法：當(dāng)a1>0，d<0，時(shí)，Sn取得最大值；當(dāng)a1<0，d>0，時(shí)，Sn取得最小值3求等差數(shù)列an前n項(xiàng)的絕對值之和，關(guān)鍵是找到數(shù)列an的正負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考a1S11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2(n1)22n1，又n1時(shí)也適合上式，所以an2n1，nN.梳理S1SnSn1知識點(diǎn)二思考由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出：當(dāng)a10，d>0時(shí)，Sn先減后增，有最小值；當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，Sn先增后減，有最大值；且n取最接近對稱軸的正整數(shù)時(shí)，Sn取到最值題型探究例1解根據(jù)Sna1a2an1an可知Sn1a1a2an1(n>1，nN)，當(dāng)n>1時(shí)，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，當(dāng)n1時(shí)，a1S112×1，也滿足式數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.故數(shù)列an是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列引申探究解當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n.當(dāng)n1時(shí)，a1S1121不符合式an跟蹤訓(xùn)練1解當(dāng)n1時(shí)，a1S13；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n3n12·3n1.當(dāng)n1時(shí)，代入an2·3n1得a123.an例2解方法一由題意知，等差數(shù)列5,4，3，的公差為，所以Sn5n()(n)2.于是，當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，Sn取得最大值方法二ana1(n1)d5(n1)×n.令ann0，解得n8，且a80，a9<0.故前n項(xiàng)和是從第9項(xiàng)開始減小，而第8項(xiàng)為0，所以前7項(xiàng)或前8項(xiàng)的和最大跟蹤訓(xùn)練2解方法一an2n14，a112，d2.a1<a2<<a6<a70<a8<a9<.當(dāng)n6或n7時(shí)，Sn取到最小值易求S6S742，(Sn)min42.方法二an2n14，a112.Snn213n2.當(dāng)n6或n7時(shí)，Sn最小，且(Sn)min42.例3解a113，d4，an174n.當(dāng)n4時(shí)，Tn|a1|a2|an|a1a2anna1d13n×(4)15n2n2；當(dāng)n5時(shí)，Tn|a1|a2|an|(a1a2a3a4)(a5a6an)S4(SnS4)2S4Sn2×(15n2n2)562n215n.Tn跟蹤訓(xùn)練3解由Snn210n得anSnSn1112n(n2，nN)驗(yàn)證a19也符合上式an112n，nN.當(dāng)n5時(shí)，an>0，此時(shí)TnSnn210n；當(dāng)n>5時(shí)，an<0，此時(shí)Tn2S5Snn210n50.即Tn當(dāng)堂訓(xùn)練1D2.B3.5或64an5