2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.1 函數(shù)的平均變化率學(xué)案 新人教B版選修2-2

11.1函數(shù)的平均變化率明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.理解并掌握平均變化率的概念.2.會(huì)求函數(shù)在指定區(qū)間上的平均變化率.3.能利用平均變化率解決或說(shuō)明生活中的一些實(shí)際問(wèn)題1函數(shù)的平均變化率已知函數(shù)yf(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，則當(dāng)x0時(shí)，商叫做函數(shù)yf(x)在x0到x0x(或x0x，x0)之間的平均變化率2函數(shù)yf(x)的平均變化率的幾何意義表示函數(shù)yf(x)圖象上過(guò)兩點(diǎn)(x1，f(x1)，(x2，f(x2)的割線(xiàn)的斜率情境導(dǎo)學(xué)某市2013年5月30日最高氣溫是33.4，而此前的兩天5月29日和5月28日最高氣溫分別是24.4和18.6，短短兩天時(shí)間，氣溫“陡增”14.8，悶熱中的人們無(wú)不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是，如果我們將該市2013年4月28日最高氣溫3.5和5月28日最高氣溫18.6進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)二者溫差為15.1，甚至超過(guò)了14.8，而人們卻不會(huì)發(fā)出上述感慨，這是什么原因呢？顯然原因是前者變化得“太快”，而后者變化得“緩慢”，那么在數(shù)學(xué)中怎樣來(lái)刻畫(huà)變量變化得快與慢呢？探究點(diǎn)一函數(shù)的平均變化率思考1如何用數(shù)學(xué)反映曲線(xiàn)的“陡峭”程度？答如圖，表示A、B之間的曲線(xiàn)和B、C之間的曲線(xiàn)的陡峭程度，可以近似地用直線(xiàn)的斜率來(lái)量化如用比值近似量化B、C這一段曲線(xiàn)的陡峭程度，并稱(chēng)該比值是曲線(xiàn)在xB，xC上的平均變化率思考2什么是平均變化率，平均變化率有何作用？答如果問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系用yf(x)表示，那么問(wèn)題中的變化率可用式子表示，我們把這個(gè)式子稱(chēng)為函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率，平均變化率可以描述一個(gè)函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)變化的快慢思考3平均變化率有什么幾何意義？答設(shè)A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲線(xiàn)yf(x)上任意不同的兩點(diǎn)，函數(shù)yf(x)的平均變化率為割線(xiàn)AB的斜率x1，x2是定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，因此x0，但x可正也可負(fù)；yf(x2)f(x1)是相應(yīng)xx2x1的改變量，y的值可正可負(fù)，也可為零因此，平均變化率可正可負(fù)，也可為零例1某嬰兒從出生到第12個(gè)月的體重變化如圖所示，試分別計(jì)算從出生到第3個(gè)月與第6個(gè)月到第12個(gè)月該嬰兒體重的平均變化率解從出生到第3個(gè)月，嬰兒體重平均變化率為1(千克/月)從第6個(gè)月到第12個(gè)月，嬰兒體重平均變化率為0.4(千克/月)反思與感悟求平均變化率的主要步驟：(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量yf(x2)f(x1)(2)再計(jì)算自變量的改變量xx2x1.(3)得平均變化率.跟蹤訓(xùn)練1如圖是函數(shù)yf(x)的圖象，則：(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的平均變化率為_(kāi)；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的平均變化率為_(kāi)答案(1)(2)解析(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的平均變化率為.(2)由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x).所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的平均變化率為.探究點(diǎn)二求函數(shù)的平均變化率例2已知函數(shù)f(x)x2，分別計(jì)算f(x)在下列區(qū)間上的平均變化率：(1)1,3；(2)1,2；(3)1,1.1；(4)1,1.001解(1)函數(shù)f(x)在1,3上的平均變化率為4；(2)函數(shù)f(x)在1,2上的平均變化率為3；(3)函數(shù)f(x)在1,1.1上的平均變化率為2.1；(4)函數(shù)f(x)在1,1.001上的平均變化率為2.001.反思與感悟函數(shù)的平均變化率可以表現(xiàn)出函數(shù)的變化趨勢(shì)，自變量的改變量x取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況跟蹤訓(xùn)練2求函數(shù)yx2在x1,2,3附近的平均變化率，判斷哪一點(diǎn)附近平均變化率最大？解在x1附近的平均變化率為k12x；在x2附近的平均變化率為k24x；在x3附近的平均變化率為k36x；對(duì)任意x有，k1<k2<k3，在x3附近的平均變化率最大思考一次函數(shù)ykxb(k0)在區(qū)間m，n上的平均變化率有什么特點(diǎn)？答根據(jù)函數(shù)平均變化率的幾何意義，一次函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率是定值k，即一次函數(shù)的平均變化率是定值探究點(diǎn)三平均變化率的應(yīng)用例3甲、乙兩人走過(guò)的路程s1(t)，s2(t)與時(shí)間t的關(guān)系如圖，試比較兩人的平均速度哪個(gè)大？解由圖象可知s1(t0)s2(t0)，s1(0)>s2(0)，則<，所以在從0到t0這段時(shí)間內(nèi)乙的平均速度大反思與感悟平均變化率的絕對(duì)值反映函數(shù)在給定區(qū)間上變化的快慢，平均變化率的絕對(duì)值越大，函數(shù)在區(qū)間上的變化越快；平均變化率的絕對(duì)值越小，函數(shù)在區(qū)間上的變化越慢跟蹤訓(xùn)練3甲用5年時(shí)間掙到10萬(wàn)元，乙用5個(gè)月時(shí)間掙到2萬(wàn)元，如何比較和評(píng)價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營(yíng)成果？解甲賺錢(qián)的平均速度為(萬(wàn)元/月)，乙賺錢(qián)的平均速度為(萬(wàn)元/月)因?yàn)橐移骄吭沦嵉腻X(qián)數(shù)大于甲平均每月賺的錢(qián)數(shù)，所以乙的經(jīng)營(yíng)成果比甲的好1如果質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s3t2運(yùn)動(dòng)，則在一小段時(shí)間2，2.1中相應(yīng)的平均速度是()A4 B4.1 C0.41 D3答案B解析4.1.2一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s32t，則在2,2.1這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為_(kāi)答案23已知函數(shù)h(x)4.9x26.5x10.(1)計(jì)算從x1到x1x的平均變化率，其中x的值為2；1；0.1；0.01.(2)根據(jù)(1)中的計(jì)算，當(dāng)|x|越來(lái)越小時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間1,1x上的平均變化率有怎樣的變化趨勢(shì)？解(1)yh(1x)h(1)4.9(x)23.3x，4.9x3.3.當(dāng)x2時(shí)，4.9x3.313.1；當(dāng)x1時(shí)，4.9x3.38.2；當(dāng)x0.1時(shí)，4.9x3.33.79；當(dāng)x0.01時(shí)，4.9x3.33.349.(2)當(dāng)|x|越來(lái)越小時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1x上的平均變化率逐漸變大，并接近于3.3.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1函數(shù)的平均變化率可以表示函數(shù)值在某個(gè)范圍內(nèi)變化的快慢；平均變化率的幾何意義是曲線(xiàn)割線(xiàn)的斜率，在實(shí)際問(wèn)題中表示事物變化的快慢2求函數(shù)f(x)的平均變化率的主要步驟：(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量yf(x2)f(x1)；(2)再計(jì)算自變量的改變量xx2x1；(3)得平均變化率.5