2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5.2 定積分學(xué)案 蘇教版選修2-2

1.5.2定積分學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解定積分的概念，會(huì)用定義求定積分.2.理解定積分的幾何意義.3.掌握定積分的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一定積分的概念思考回顧求曲邊梯形面積和變速直線運(yùn)動(dòng)路程的求法，找一下它們的共同點(diǎn)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上有定義，將區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為x(x)，在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，依次為x1，x2，xi，xn.作和_，如果當(dāng)x0(亦即n)時(shí)，SnS(常數(shù))，那么稱常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記為：Sf(x)dx，其中，f(x)稱為_，a，b稱為_，a稱為_，b稱為_知識(shí)點(diǎn)二定積分的幾何意義思考定積分和曲邊梯形的面積有何關(guān)系？從幾何角度看，如果在區(qū)間a，b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有_，那么定積分f(x)dx表示由_所圍成的曲邊梯形的面積這就是定積分f(x)dx的幾何意義知識(shí)點(diǎn)三定積分的性質(zhì)思考你能根據(jù)定積分的幾何意義解釋f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)嗎？1kf(x)dx(k為常數(shù))2f1(x)±f2(x)dx.3f(x)dx(其中a<c<b)類型一定積分的概念例1用定積分的定義計(jì)算x2dx.反思與感悟利用定義求定積分的步驟：跟蹤訓(xùn)練1用定義計(jì)算(1x)dx.類型二定積分的幾何意義例2(1)如圖所示，f(x)在區(qū)間a，b上，則陰影部分的面積S為_(填寫序號(hào))f(x)dx；f(x)dxf(x)dx；f(x)dxf(x)dx；f(x)dxf(x)dx.(2)利用定積分的幾何意義計(jì)算dx.反思與感悟(1)定積分的幾何意義是在x軸上半部，計(jì)算的面積取正值，在x軸下半部計(jì)算的面積取負(fù)值(2)不規(guī)則的圖形常利用分割法將圖形分割成幾個(gè)容易求定積分的圖形求面積，要注意分割點(diǎn)要確定準(zhǔn)確(關(guān)鍵詞：分割)(3)奇、偶函數(shù)在區(qū)間a，a上的定積分若奇函數(shù)yf(x)的圖象在a，a上連續(xù)，則f(x)dx0.若偶函數(shù)yf(x)的圖象在a，a上連續(xù)，則f(x)dx2f(x)dx.跟蹤訓(xùn)練2利用幾何意義計(jì)算下列定積分：(1)dx；(2)(3x1)dx；(3)(x33x)dx.類型三定積分的性質(zhì)例3計(jì)算(x3)dx的值反思與感悟根據(jù)定積分的性質(zhì)計(jì)算定積分，可以先借助于定積分的定義或幾何意義求出相關(guān)函數(shù)的定積分，再利用函數(shù)的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算跟蹤訓(xùn)練3已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x22x3)dx.1關(guān)于定積分a(2)dx的敘述正確的是_(填序號(hào))被積函數(shù)為y2，a6；被積函數(shù)為y2，a6；被積函數(shù)為y2，a6；被積函數(shù)為y2，a6.2將曲線yex，x0，x2，y0所圍成的圖形面積寫成定積分的形式為_32(x2)dx_.4計(jì)算： (25sin x)dx.1定積分f(x)dx是一個(gè)和式f(i)的極限，是一個(gè)常數(shù)2可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定積分；對(duì)于一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分3定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡(jiǎn)化定積分運(yùn)算提醒：完成作業(yè)1.5.2答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考兩個(gè)問題均可以通過“分割、以直代曲、作和、逼近”解決，都可以歸結(jié)為一個(gè)特定形式和的極限Snf(x1)xf(x2)xf(xi)xf(xn)x被積函數(shù)積分區(qū)間積分下限積分上限知識(shí)點(diǎn)二思考(1)當(dāng)函數(shù)f(x)0時(shí)，定積分f(x)dx表示由直線xa，xb(a<b)，y0及曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積(2)當(dāng)函數(shù)f(x)0時(shí)，曲邊梯形位于x軸的下方，此時(shí)f(x)dx等于曲邊梯形面積S的相反數(shù)，即f(x)dxS.(3)當(dāng)f(x)在區(qū)間a，b上有正有負(fù)時(shí)，定積分f(x)dx表示介于x軸、函數(shù)f(x)的圖象及直線xa，xb(ab)之間各部分面積的代數(shù)和(在x軸上方的取正，在x軸下方的取負(fù))f(x)0直線xa，xb，y0和曲線yf(x)知識(shí)點(diǎn)三思考直線xc把一個(gè)大的曲邊梯形分成了兩個(gè)小曲邊梯形，因此大曲邊梯形的面積S是兩個(gè)小曲邊梯形的面積S1，S2之和，即SS1S2.1kf(x)dx2f1(x)dx±f2(x)dx3f(x)dxf(x)dx題型探究例1解令f(x)x2.(1)分割在區(qū)間0,3上等間隔地插入n1個(gè)點(diǎn)，把區(qū)間0,3分成n等份，其分點(diǎn)為xi(i1,2，n1)，這樣每個(gè)小區(qū)間xi1，xi的長(zhǎng)度x(i1,2，n)(2)以直代曲、作和令ixi(i1,2，n)，于是有和式：(i)x()2·2·n(n1)·(2n1)(1)(2)(3)逼近n時(shí)，(1)(2)9.根據(jù)定積分的定義x2dx9.跟蹤訓(xùn)練1解(1)分割將區(qū)間1,2等分成n個(gè)小區(qū)間(i1,2，n)，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為x.(2)以直代曲、作和在上取點(diǎn)i1(i1,2，n)，于是f(i)112，從而得(i)x(2)··n012(n1)2·2.(3)逼近n時(shí)，2.因此(1x)dx.例2(1)(2)解dx表示圓心為(2,0)，半徑等于2的圓的面積的，即dx××22.跟蹤訓(xùn)練2解(1)在平面上y表示的幾何圖形為以原點(diǎn)為圓心以2為半徑的上半圓，其面積為S··222.由定積分的幾何意義知dx2.(2)由直線x1，x3，y0，以及y3x1所圍成的圖形，如圖所示：(3x1)dx表示由直線x1，x3，y0以及y3x1所圍成的圖形在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積，(3x1)dx×(3)×(3×31)(1)×216.(3)yx33x為奇函數(shù)，(x33x)dx0.例3解如圖， 由定積分的幾何意義得dx，x3dx0，由定積分性質(zhì)得(x3)dxdxx3dx. 跟蹤訓(xùn)練3解(1)3x3dx3x3dx3(x3dxx3dx)3×()12.(2)6x2dx6x2dx6(x2dxx2dx)6×()126；(3)(3x22x3)dx3x2dx2x3dx3x2dx2x3dx3×2×7.達(dá)標(biāo)檢測(cè)12.exdx3.54解由定積分的幾何意義得2dx()×22.由定積分的幾何意義得sin xdx0.所以 (25sin x)dx2dx5sin xdx2.9