初二數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章實(shí)數(shù)

第二章：實(shí)數(shù) 本章的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：知識(shí)梳理一數(shù)的開(kāi)方主要知識(shí)點(diǎn)：【1】平方根：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，那么，這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根；也即，當(dāng)時(shí)，我們稱x是a的平方根，記做：。因此：4. 當(dāng)a=0時(shí)，它的平方根只有一個(gè)，也就是0本身；5. 當(dāng)a0時(shí)，也就是a為正數(shù)時(shí)，它有兩個(gè)平方根，且它們是互為相反數(shù)，通常記做：。6. 當(dāng)a0時(shí)，也即a為負(fù)數(shù)時(shí)，它不存在平方根。例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。（3）若的平方根是2，則x= ；的平方根是 （4）當(dāng)x 時(shí)，有意義。（5）一個(gè)正數(shù)的平方根分別是m和m-4，則m的值是多少？這個(gè)正數(shù)是多少？【算術(shù)平方根】： （1）如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即，那么，這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為：“”，讀作，“根號(hào)a”，其中，a稱為被開(kāi)方數(shù)。特別規(guī)定：0的算術(shù)平方根仍然為0。（2）算術(shù)平方根的性質(zhì)：具有雙重非負(fù)性，即：。（3）算術(shù)平方根與平方根的關(guān)系：算術(shù)平方根是平方根中正的一個(gè)值，它與它的相反數(shù)共同構(gòu)成了平方根。因此，算術(shù)平方根只有一個(gè)值，并且是非負(fù)數(shù)，它只表示為：；而平方根具有兩個(gè)互為相反數(shù)的值，表示為：。例2.（1）下列說(shuō)法正確的是 （ ）A1的立方根是； B；（C）、的平方根是； （ D）、0沒(méi)有平方根； （2）下列各式正確的是（ ）A、 B、 C、 D、（3）的算術(shù)平方根是 。（4）若有意義，則_。（5）已知ABC的三邊分別是且滿足，求c的取值范圍。（6）已知：A=是的算術(shù)平方根，B=是的立方根。求AB的平方根。（7）（提高題）如果x、y分別是4的整數(shù)部分和小數(shù)部分。求x y的值.【立方根】 （1）如果x的立方等于a，那么，就稱x是a的立方根，或者三次方根。記做：，讀作，3次根號(hào)a。注意：這里的3表示的是開(kāi)根的次數(shù)。一般的，平方根可以省寫(xiě)根的次數(shù)，但是，當(dāng)根的次數(shù)在兩次以上的時(shí)候，則不能省略。（2）平方根與立方根：每個(gè)數(shù)都有立方根,并且一個(gè)數(shù)只有一個(gè)立方根；但是，并不是每個(gè)數(shù)都有平方根，只有非負(fù)數(shù)才能有平方根。例3.（1）64的立方根是（2）若，則b等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列說(shuō)法中：都是27的立方根，的立方根是2，。其中正確的有 （ ）A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)【無(wú)理數(shù)】 （1）無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)；它必須滿足“無(wú)限”以及“不循環(huán)”這兩個(gè)條件。在初中階段，無(wú)理數(shù)的表現(xiàn)形式主要包含下列幾種：（1）特殊意義的數(shù)，如：圓周率以及含有的一些數(shù)，如：2-，3等；（2）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如:等；（3）特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)：如：2.010 010 001 000 01（兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0）等。應(yīng)當(dāng)要注意的是：帶根號(hào)的數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，如：等；無(wú)理數(shù)也不一定帶根號(hào)，如：（2） 有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的區(qū)別：（1）有理數(shù)指的是有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)，而無(wú)理數(shù)則是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；（2）所有的有理數(shù)都能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分?jǐn)?shù)），而無(wú)理數(shù)則不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式。例4.（1）下列各數(shù)：3.141、0.33333、0.3030003000003（相鄰兩個(gè)3之間0的個(gè)數(shù)逐次增加2）、其中是有理數(shù)的有；是無(wú)理數(shù)的有。（填序號(hào)）（2）有五個(gè)數(shù):0.125125,0.1010010001,-,其中無(wú)理數(shù)有 ( )個(gè)A 2 B 3 C 4 D 5 【實(shí)數(shù)】（1）有理數(shù)與無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。在實(shí)數(shù)中，沒(méi)有最大的實(shí)數(shù)，也沒(méi)有最小的實(shí)數(shù)；絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)是0，最大的負(fù)整數(shù)是-1。（2）實(shí)數(shù)的性質(zhì)：實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a；實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是（a0）；實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值|a|=，它的幾何意義是：在數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。（3）實(shí)數(shù)的大小比較法則：實(shí)數(shù)的大小比較的法則跟有理數(shù)的大小比較法則相同：即正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)；正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的就大，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。（在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)）。對(duì)于一些帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)，我們可以通過(guò)比較它們的平方或者立方的大小。（4）實(shí)數(shù)的運(yùn)算：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方六種運(yùn)算。運(yùn)算法則和運(yùn)算順序與有理數(shù)的一致。例5.（1）下列說(shuō)法正確的是（ ）；A、任何有理數(shù)均可用分?jǐn)?shù)形式表示 ； B、數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)一一對(duì)應(yīng) ；C、1和2之間的無(wú)理數(shù)只有 ； D、不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)。（2）a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式有意義的是( )b0aA、 B、 C、 D、（3）比較大小(填“>”或“<”).3 ， ， ， ，（4）數(shù) 的大小關(guān)系是 ( ) A. B. C. D. （5）將下列各數(shù)：，用“”連接起來(lái)；_。（6）若，且，則：= 。（7）計(jì)算： （8）已知：，求代數(shù)式的值。6.（提高題）觀察下列等式：回答問(wèn)題： ，（1）根據(jù)上面三個(gè)等式的信息，請(qǐng)猜想的結(jié)果；（2）請(qǐng)按照上式反應(yīng)的規(guī)律，試寫(xiě)出用n表示的等式，并加以驗(yàn)證。課后練習(xí)重點(diǎn)考查題型：一、考查題型：1 1的相反數(shù)的倒數(shù)是2 已知a+3|+0，則實(shí)數(shù)（a+b）的相反數(shù)3 數(shù)314與的大小關(guān)系是4 和數(shù)軸上的點(diǎn)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的是5 和數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)A距離等于25的B所表示的數(shù)是6 在實(shí)數(shù)中,0, ,314, 無(wú)理數(shù)有（）（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)7一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，這樣的數(shù)是（）（A）非負(fù)數(shù)（B）非正數(shù)（C）負(fù)數(shù)（D）正數(shù)8若x3，則x3等于（）（A）x3（B）x3（C）x3（D）x39下列說(shuō)法正確是（）a) 有理數(shù)都是實(shí)數(shù) （B）實(shí)數(shù)都是有理數(shù)b) 帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)（D）無(wú)理數(shù)都是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)10實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖，比較下列每組數(shù)的大?。海?） c-b和d-a （2） bc和ad 二、考點(diǎn)訓(xùn)練：*1判斷題：（1）如果a為實(shí)數(shù)，那么a一定是負(fù)數(shù)；（）（2）對(duì)于任何實(shí)數(shù)a與b,|ab|=|ba|恒成立；（）（3）兩個(gè)無(wú)理數(shù)之和一定是無(wú)理數(shù)；（）（4）兩個(gè)無(wú)理數(shù)之積不一定是無(wú)理數(shù)；（）（5）任何有理數(shù)都有倒數(shù)；（）（6）最小的負(fù)數(shù)是1；（）（7）a的相反數(shù)的絕對(duì)值是它本身；（）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，則ab=1；（）2把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里|3|，213，1234，,0，, , ()0，32，ctg45,1.2121121112中 無(wú)理數(shù)集合 負(fù)分?jǐn)?shù)集合 整數(shù)集合 非負(fù)數(shù)集合 *3已知1<x<2，則|x3|+等于（）（A）2x（B）2（C）2x（D）24下列各數(shù)中，哪些互為相反數(shù)？哪些互為倒數(shù)？哪些互為負(fù)倒數(shù)？3, 1， 3， 03， 31， 1 +， 3互為相反數(shù)： 互為倒數(shù)： 互為負(fù)倒數(shù)： *5已知、是實(shí)數(shù)，且（X）2和2互為相反數(shù)，求，y的值6.,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值是2，求+4m-3cd= 。*7已知0，求= 。三、解題指導(dǎo)：1下列語(yǔ)句正確的是（）（A）無(wú)盡小數(shù)都是無(wú)理數(shù)（B）無(wú)理數(shù)都是無(wú)盡小數(shù)（C）帶拫號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)（D）不帶拫號(hào)的數(shù)一定不是無(wú)理數(shù)。2和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的數(shù)是（）（A）整數(shù) （B）有理數(shù) （C）無(wú)理數(shù)（D）實(shí)數(shù)3零是（）1 最小的有理數(shù) （B）絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)（C）最小的自然數(shù) （D）最小的整數(shù)4.如果a是實(shí)數(shù)，下列四種說(shuō)法：（1）2和都是正數(shù)，（2），那么一定是負(fù)數(shù)，（3）的倒數(shù)是，（4）和的兩個(gè)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，幾個(gè)是正確的（）（A）0（B）1（C）2（D）3*5比較下列各組數(shù)的大?。?) (2) (3)a<b<0時(shí), 6若a,b滿足=0,則的值是 *7實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖，其中O是原點(diǎn)，且|a|=|c|（1） 判定a+b,a+c,c-b的符號(hào)（2） 化簡(jiǎn)|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)1，若AB3，則點(diǎn)B所表示的數(shù)為 9已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"連結(jié)x，x，|y|，y。10最大負(fù)整數(shù)、最小的正整數(shù)、最小的自然數(shù)、絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)各是什么？11絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)、平方數(shù)、算術(shù)平方根、立方根是它本身的數(shù)各是什么？12把下列語(yǔ)句譯成式子：（1）a是負(fù)數(shù) ；（2）a、b兩數(shù)異號(hào) ；（3）a、b互為相反數(shù)；（4）a、b互為倒數(shù)；(5)x與y的平方和是非負(fù)數(shù)；（6）c、d兩數(shù)中至少有一個(gè)為零 ；（7）a、b兩數(shù)均不為0。*13.數(shù)軸上作出表示，的點(diǎn)。四獨(dú)立訓(xùn)練：10的相反數(shù)是，3的相反數(shù)是， 的相反數(shù)是；的絕對(duì)值是，0的絕對(duì)值是，的倒數(shù)是2數(shù)軸上表示32的點(diǎn)它離開(kāi)原點(diǎn)的距離是。A表示的數(shù)是，且AB，則點(diǎn)B表示的數(shù)是。3,(1),01313,2cos60, 31 ,1101001000 (兩1之間依次多一個(gè)0),中無(wú)理數(shù)有 ，整數(shù)有 ，負(fù)數(shù)有 。4. 若a的相反數(shù)是27，則a| ；5若|a|，則a= 5若實(shí)數(shù)x，y滿足等式（x3）24y0，則xy的值是 6實(shí)數(shù)可分為（） （A）正數(shù)和零（B）有理數(shù)和無(wú)理數(shù)（C）負(fù)數(shù)和零 （D）正數(shù)和負(fù)數(shù)*7若2a與1a互為相反數(shù)，則a等于（）（A）1 （B）1 （C） （D）8當(dāng)a為實(shí)數(shù)時(shí)，=a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）(A)原點(diǎn)右側(cè)（B）原點(diǎn)左側(cè)（C）原點(diǎn)或原點(diǎn)的右側(cè)（D）原點(diǎn)或原點(diǎn)左側(cè)*9代數(shù)式的所有可能的值有（）（A）2個(gè)（B）3個(gè)（C）4個(gè)（D）無(wú)數(shù)個(gè)10已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖（1）比較ab與a+b的大?。?）化簡(jiǎn)|ba|+|a+b|11實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，其中試化簡(jiǎn)：2*12已知等腰三角形一邊長(zhǎng)為，一邊長(zhǎng)，且（2）2920 。求它的周長(zhǎng)。13若3，5為三角形三邊，化簡(jiǎn)：