高中排列、組合與二項(xiàng)式定理練習(xí)題.doc

株洲市十七中高二排列、組合與二項(xiàng)式定理測(cè)試卷一、 選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1若從集合P到集合Q=a,b,c所有不同的映射共有81個(gè)，則從集合Q到集合P可作的不同的映射共有（ ）A32個(gè)B27個(gè)C81個(gè)D64個(gè)2某班舉行聯(lián)歡會(huì)，原定的五個(gè)節(jié)目已排出節(jié)目單，演出前又增加了兩個(gè)節(jié)目，若將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，則不同的插法總數(shù)為（ ） A42B36C30D123全班48名學(xué)生坐成6排，每排8人，排法總數(shù)為P，排成前后兩排，每排24人，排法總數(shù)為Q,則有（ ）AP>QBP=QCP<QD不能確定4從正方體的六個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（ ）種A8B12C16D20512名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有（ ）ABCD 6某單位準(zhǔn)備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號(hào)為16的六種不同花色的裝飾石材可選擇，其中1號(hào)石材有微量的放射性，不可用于辦公室內(nèi)，則不同的裝飾效果有（ ）種A350B300C65D507有8人已站成一排，現(xiàn)在要求其中4人不動(dòng)，其余4人重新站位，則有（ ）種重新站位的方法A1680B256C360D2808一排九個(gè)坐位有六個(gè)人坐，若每個(gè)空位兩邊都坐有人，共有（ ）種不同的坐法A7200 B3600 C2400 D1200二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）11某公園現(xiàn)有A、B、C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有三個(gè)成人和2個(gè)兒童分乘這些船只（每船必須坐人），為安全起見，兒童必須由大人陪同方可乘船，他們分乘這些船只的方法有_種。12“漸減數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比其左邊數(shù)字小的正整數(shù)(如98765)，若把所有的五位漸減數(shù)按從小到大的順序排列，則第20個(gè)數(shù)為_。13（理）某民航站共有1到4四個(gè)入口，每個(gè)入口處只能進(jìn)1人，一個(gè)小組4個(gè)人進(jìn)站的方案數(shù)為_。 （文）體育老師把9個(gè)相同的足球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)箱子里，要求每個(gè)箱子放球的個(gè)數(shù)不少于其編號(hào)，則不同的放法有_種。16（本題滿分12分）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字（1） 可組成多少個(gè)不同的自然數(shù)？ （2）可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？（3） 組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)？（4） 可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的能被5整除的五位數(shù)？（5） 可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的且大于31250的五位數(shù)？（6） 可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的能被3整除的五位數(shù)？17（本題滿分12分）某餐廳供應(yīng)客飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不同的品種，現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了五種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上不同選擇，則餐廳至少還需準(zhǔn)備不同的素菜品種？（要求寫出必要的解答過(guò)程）株洲市十七中高二排列、組合與二項(xiàng)式定理測(cè)試卷參考答案一：選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分）(1). D (2). A (3). B (4). B (5). A (6). B (7). D (8). A (9). A (10). C二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）(11). 18 (12). 76542 (13). (理)840（文）10 (14). （文）2003 （理）22 (15). 三解答題（本大題共6題，共80分）16（1）解：可組成6+5=46656個(gè)不同的自然數(shù) （2）可組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) （3）可組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)（4）可組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的能被5整除的五位數(shù) （5）可組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的且大于31250的五位數(shù)？（6）可組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的能被3整除的五位數(shù)？17解：在5種不同的葷菜中取出2種的選擇方式應(yīng)有種，設(shè)素菜為種，則解得，至少應(yīng)有7種素菜18令，則 令，則 令，則于是；各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和19（1）證明：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）當(dāng)時(shí)，顯然成立當(dāng)時(shí)；綜上所述：，其中（2）證明：當(dāng)時(shí)=0，顯然676|當(dāng)時(shí)，=綜上所述：676| 20解：根據(jù)題意得：，即 （1）的系數(shù)為將(1)變形為代入上式得：的系數(shù)為故當(dāng)?shù)南禂?shù)的最小值為9（1） 當(dāng)?shù)南禂?shù)為為（2）21解：（1）（2）性質(zhì)：不能推廣，例如時(shí)，有定義，但無(wú)意義； 性質(zhì)：能推廣，它的推廣形式為，證明如下：當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有（3） 當(dāng)時(shí)，組合數(shù)； 時(shí)，1.（全國(guó)卷） 的展開式中 項(xiàng)的系數(shù)是(A )(A) 840 (B) (C) 210 (D)2.（全國(guó)卷）在(x1)(x+1)8的展開式中x5的系數(shù)是(B)（A）14 （B）14 （C）28 （D）283.（北京卷）北京財(cái)富全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為(A ) （A） （B） （C） （D） 4.（北京卷）五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的五個(gè)不同的子項(xiàng)目，每個(gè)工程隊(duì)承建1項(xiàng)，其中甲工程隊(duì)不能承建1號(hào)子項(xiàng)目，則不同的承建方案共有(B)（A） 種 （B） 種 （C） 種（D） 種5.（天津卷）某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過(guò)3次射擊,此人恰有兩次擊中目標(biāo)的概率為( B)ABCD 6.（天津卷）某人射擊一次擊中的概率為0.6,經(jīng)過(guò)3次射擊,此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為（ A A B C D 7.（福建卷）從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 （B）A300種 B240種 C144種 D96種8.（廣東卷）先后拋擲兩枚均勻的正方體股子（它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)、），股子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為，則的概率為(C)（） （） （） （） 9（湖北卷）把一同排6張座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個(gè)人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是 （ D ）A168 B96 C72 D14410（湖北卷）以平行六面體ABCDABCD的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面的概率p為（A）ABCD 11.（湖南卷）4位同學(xué)參加某種形式的競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每位同學(xué)必須從甲乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對(duì)得100分，答錯(cuò)得100分；選乙題答對(duì)得90分，答錯(cuò)得90分.若4位同學(xué)的總分為0，則這4位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)是（B ）A48 B36 C24 D1812.（江蘇卷）設(shè)k=1,2,3,4,5,則(x+2)5的展開式中xk的系數(shù)不可能是( C) ( A ) 10 ( B ) 40 ( C ) 50 ( D )8013.（江蘇卷）四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品,有公共點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的,沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩條棱多代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是安全的,現(xiàn)打算用編號(hào)為、的4個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這8種化工產(chǎn)品,那么安全存放的不同方法種數(shù)為( B)（A）96 （B）48 （C）24 （D）014（江西卷） 的展開式中，含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有 （ B ）A4項(xiàng) B3項(xiàng) C2項(xiàng) D1項(xiàng)15.（江西卷）將9個(gè)（含甲、乙）平均分成三組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種數(shù)為（ A ）A70 B140 C280 D84016.（江西卷）將1，2，9這9個(gè)數(shù)平均分成三組，則每組的三個(gè)數(shù)都成等差數(shù)列的概率為（ A）ABCD 17.（遼寧卷）設(shè)袋中有80個(gè)紅球，20個(gè)白球，若從袋中任取10個(gè)球，則其中恰有6個(gè)紅球的概率為（ D ）ABCD 18.（浙江卷）在(1x)5(1x)6的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是( C )(A) 5(B) 5 (C) 10 (D) 1019.(山東)如果 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中 的系數(shù)是（C ）（A）7 （B） （C）21 （D） 20. (山東)10張獎(jiǎng)券中只有3張有獎(jiǎng)，5個(gè)人購(gòu)買，至少有1人中獎(jiǎng)的概率是（D ）（A） （B） （C） （D） 21.(重慶卷)8. 若 展開式中含 5，則n等于( B )-項(xiàng)的系數(shù)與含 項(xiàng)的系數(shù)之比為 (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 10。22. 2x)n展開式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)等于含x的項(xiàng)的系數(shù)的8倍，則n等于( A)+(重慶卷)在(1 (A) 5； (B) 7； (C) 9； (D) 11。填空題：1.（全國(guó)卷） 的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為672 。（用數(shù)字作答）2.(全國(guó)卷) 的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為 70 。（用數(shù)字作答）3.(全國(guó)卷)從6名男生和4名女生中，選出3名代表，要求至少包含1名女生，則不同的選法有 100 種。4.（全國(guó)卷）在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有 192 個(gè).5.（全國(guó)卷）設(shè) 為平面上過(guò)點(diǎn) 的直線， 的斜率等可能地取 ，用 表示坐標(biāo)原點(diǎn)到 的距離，則隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望 。6.（北京卷） 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是15 （用數(shù)字作答）7.（上海卷）某班有50名學(xué)生，其中 15人選修A課程，另外35人選修B課程從班級(jí)中任選兩名學(xué)生,他們是選修不同課程的學(xué)生的慨率是 (結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)8.（上海卷）在 的展開式中， 的系數(shù)是15，則實(shí)數(shù) =- _。9.（天津卷）二項(xiàng)式（ ）10的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_210_（用數(shù)字作答）。10.（天津卷）設(shè) ,則（11）（天津卷）某公司有5萬(wàn)元資金用于投資開發(fā)項(xiàng)目，如果成功，一年后可獲利12%，一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%，下表是過(guò)去200例類似項(xiàng)目開發(fā)的實(shí)施結(jié)果：投資成功 投資失敗192次 8次則該公司一年后估計(jì)可獲收益的期望是4760_（元）12（福建卷）（ 展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 240 （用數(shù)字作答）.13（廣東卷）已知 的展開式中 的系數(shù)與 的展開式中 的系數(shù)相等，則 _ _14（湖北卷） 的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)等于38 .15（湖南卷）一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品16800件，它們來(lái)自甲乙丙3條生產(chǎn)線，為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣，已知甲乙丙三條生產(chǎn)線抽取的個(gè)體數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了5600 件產(chǎn)品.16（湖南卷）在（1x）（1x）2（1x）6的展開式中，x 2項(xiàng)的系數(shù)是35.（用數(shù)字作答）17（遼寧卷） 的展開式中常數(shù)項(xiàng)是160 .18（遼寧卷）用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有 576 個(gè).（用數(shù)字作答）19（浙江卷）從集合 P，Q，R，S與0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任限2個(gè)元素排成一排(字母和數(shù)字均不能重復(fù))每排中字母Q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是_5832_(用數(shù)字作答)20（浙江卷）從集合O，P，Q，R，S與0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任限2個(gè)元素排成一排(字母和數(shù)字均不能重復(fù))每排中字母O，Q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是_8424_(用數(shù)字作答)21. (重慶卷)若10把鑰匙中只有2把能打開某鎖，則從中任取2把能將該鎖打開的概率為_ _。數(shù)學(xué)競(jìng)賽單元訓(xùn)練題(高中)排列組合 一、選擇題 1.公共汽車上有4位乘客，其中任何兩人都不在同一車站下車，汽車沿途?？?個(gè)站，那么這4位乘客不同的下車方式共有()A.15種B.24種C.360種D.480種2.把10個(gè)相同的球放入三個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于2，則不同的放法有()A.81種B.15種C.10種 D.4種3.12輛警衛(wèi)車護(hù)送三位高級(jí)領(lǐng)導(dǎo)人，這三位領(lǐng)導(dǎo)人分別坐在其中的三輛車中.要求在開行后12輛車一字排開，車距相同，車的顏色相同，每輛車內(nèi)的警衛(wèi)的工作能力是一樣的，三位領(lǐng)導(dǎo)人所坐的車不能相鄰，且不能在首尾位置.則共有()種安排出行的辦法.A.B.C. D.4.在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱的中點(diǎn)、6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中，不共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是()A.2898B.2877 C.2876 D.28725.有兩個(gè)同心圓，在外圓上有相異的6個(gè)點(diǎn)，內(nèi)圓上有相異的3個(gè)點(diǎn).由這9個(gè)點(diǎn)所確定的直線最少可有()A.15條B.21條 C.36條 D.3條6.已知兩個(gè)實(shí)數(shù)集A=a1，a2，a60與B=b1，b2，b25.若從A到B的映射f使得B中每個(gè)元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a60).則這樣的映射共有()A.B.C.D.二、填空題7.4410共有_個(gè)不同的正約數(shù).8.有7個(gè)人站成一排，其中A、B不能相鄰，C、D必須挨在一起，且C要求在A的右側(cè).則共有站隊(duì)方法數(shù)是_.9.如圖，兩圓相交于A、B兩點(diǎn)，在兩圓周上另有六點(diǎn)C、D、E、F、G、H，其中僅E、B、G共線，其他無(wú)三點(diǎn)共線.這八點(diǎn)最多可以確定不同圓的個(gè)數(shù)是_.10.一個(gè)圓周上有5個(gè)紅點(diǎn)，7個(gè)白點(diǎn)，要求任兩個(gè)紅點(diǎn)不得相鄰.那么共有_種排列方法.11.平面上給定5點(diǎn)，這些點(diǎn)兩兩間的連線互不平行，又不垂直，也不重合.現(xiàn)從任一點(diǎn)向其余四點(diǎn)兩兩之間的連線作垂線，則所有這些垂線間的交點(diǎn)數(shù)最多是_.12.10人有相應(yīng)的10個(gè)指紋檔案，每個(gè)指紋檔案上都記錄有相應(yīng)人的指紋痕跡，并有檢測(cè)指示燈和檢測(cè)時(shí)的手指按扭.10人中某人把手指按在鍵鈕上，若是他的檔案，則指示燈出現(xiàn)綠色，否則出現(xiàn)紅色.現(xiàn)在這10人把手指按在10個(gè)指紋檔案的鍵鈕上去檢測(cè)，規(guī)定一個(gè)人只能在一個(gè)檔案上去檢測(cè)，并且兩個(gè)人不能在同一個(gè)檔案上去檢測(cè)，這時(shí)指示燈全部出現(xiàn)紅色.這樣的情況共有_種.三、解答題13.中、日圍棋隊(duì)各出7名隊(duì)員，按事先安排好的次序出場(chǎng)進(jìn)行圍棋擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方的2號(hào)隊(duì)員比賽，直到有一方隊(duì)員全部被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過(guò)程.現(xiàn)在中方只動(dòng)用了5名隊(duì)員，就擊敗了日方的所有隊(duì)員.問(wèn)這樣的比賽過(guò)程有多少種？14.從1到n(n3，且n為整數(shù))之間任取3個(gè)不同的整數(shù)，使得這3個(gè)數(shù)的和正好被3整除.如果這樣的取法有53922種，試確定n的取值.15.集合A中有n個(gè)元素，其中有m個(gè)是特殊元素(mn).已知集合A的五元素子集共有68個(gè)，且每個(gè)子集中都含有至少一個(gè)特殊元素.此外，集合A的任意一個(gè)三元素子集都恰好被一個(gè)五元素子集所包含.(1)求n的取值；(2)請(qǐng)回答：所有五元素子集中是否有至少含4個(gè)特殊元素的集合？參考答案一、選擇題1.可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：4個(gè)不同的元素，放到6個(gè)位置中，有種方法，選C.2.問(wèn)題相當(dāng)于：把4個(gè)相同的球放入三個(gè)不同的盒中，有種放法，故選B.3.此題即：3個(gè)人坐10個(gè)位置，一人只能坐一個(gè)，且兩兩不得相鄰，有種坐法，選C.4.用間接法.容易求得共線的三點(diǎn)組共有49個(gè)，而所有的三點(diǎn)組共有，所以不共線的三點(diǎn)組共有(個(gè))，故選C.5.設(shè)P1、P2、P3是內(nèi)圓上三點(diǎn)，Q1、Q2，Q6分別為三條直線P1P2、P2P3、P3P1與外圓的交點(diǎn)，此時(shí)9個(gè)點(diǎn)所確定的直線最少有(條)，選B.6.此題相當(dāng)于：用25個(gè)從大到小的數(shù)從左至右的順序不變，去插入到a1，a2，a3，a60這60個(gè)數(shù)的兩數(shù)空隙之間.要求最大數(shù)必在a1左側(cè)，最小數(shù)不得在a60右側(cè)，共有個(gè)映射，故選B.二、填空題7.由4410=232572知：正約數(shù)中含2的指數(shù)冪有2種，含3的指數(shù)冪有3種情況，含5的指數(shù)冪有2種情況，含7的指數(shù)冪有3種情況，而2、3、5、7均為質(zhì)數(shù)，故根據(jù)分步原理共有2323=36個(gè)不同的正約數(shù).8.把C、D捆綁起來(lái)看作一個(gè)元素，元素A只能安放在從左至右的前5個(gè)位置中，故對(duì)A的位置分類：若A在左起第1位，則有(種)；若A在左起第2位，則有(種)；若A在左起第3位，則有(種)；若A在左起第4位，則有(種)；若A在左起第5位，則有(種).所以，共有站隊(duì)方法數(shù)498種.9.過(guò)8個(gè)點(diǎn)可作個(gè)圓，需減去兩類：E、B、G共線，減去1個(gè)；A、B、C、D、E五點(diǎn)共圓及A、B、F、G、H五點(diǎn)共圓，減去個(gè)，所以最多可以確定不同圓的個(gè)數(shù)是37個(gè).10.用插空法，共有種排列方法.11.用排除法.設(shè)A1、A2、A5為平面上給定的5個(gè)點(diǎn)，A2、A3、A4、A5之間兩兩連線有條，從A1出發(fā)可引6條垂線，依此5個(gè)點(diǎn)共可引30條垂線，它們之間最多有個(gè)交點(diǎn).但應(yīng)排除以下三種情況：從A1、A2、A3作A4A5的三條垂線互相平行，無(wú)交點(diǎn)，這樣的情形共有個(gè)；從Ai(i=1，2，3，4，5)出發(fā)的6條垂線都交于點(diǎn)Ai，這樣的點(diǎn)共有個(gè)，只能留下5個(gè)，剩余的應(yīng)減去；Ai(i=1，2，3，4，5)中每三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，三角形的三條高共點(diǎn)，應(yīng)減去個(gè).因此，滿足題意的交點(diǎn)最多有個(gè).12.此題相當(dāng)于：10個(gè)編號(hào)為1，2，3，10的球放入十個(gè)編號(hào)為1，2，3，10的盒中，要求每個(gè)盒中只盛一球，且號(hào)碼均不相同，求放法總數(shù).設(shè)這種情況的n個(gè)號(hào)碼時(shí)，方法數(shù)為an.第一步是安排第1號(hào)球，共有n-1種方法.此時(shí)，不妨設(shè)1號(hào)球安排在了第i(i1)號(hào)位置.再安排第i號(hào)球的位置，有兩種情況：第i號(hào)球在1號(hào)位置，此時(shí)剩余的n-2個(gè)球要放在n-2個(gè)盒中的要求依然是號(hào)碼均不相同，故有an-2種方法；第i號(hào)球不安排在1號(hào)位置，此時(shí)如同n-1個(gè)球放入n-1個(gè)盒中且號(hào)碼均不相同，故有方法數(shù)為an-1.所以，an=(n-1)(an-2+an-1).當(dāng)n=2時(shí)，a2=1；當(dāng)n=3時(shí)，a3=2.所以，a4=3(a2+a3)=9，a5=4(a3+a4)=44，a6=5(a4+a5)=265，a7=6(a5+a6)=1854，a8=7(a6+a7)=14833，a9=8(a7+a8)=133496，a10=9(a8+a9)=1334961.所以，這樣的情況共有1334961種.三、解答題13.設(shè)中方的7名隊(duì)員分別為a1，a2，a7，日方的7名隊(duì)員分別是b1，b2，b7.由于中方只動(dòng)用了5名隊(duì)員，故可以認(rèn)為a6、a7實(shí)質(zhì)上是不參與比賽的.現(xiàn)把中方的5名隊(duì)員和日方的7名隊(duì)員排成一列，顯然各自的順序已定，只需確定位置即可.現(xiàn)規(guī)定，排在日方隊(duì)員bi(i=1，2，7)右側(cè)的(緊挨著)中方隊(duì)員是擊敗bi的隊(duì)員.據(jù)題意，a5須在b7的右側(cè)(緊挨著).其他4名隊(duì)員a1、a2、a3、a4可在b7左側(cè)10個(gè)位置中的任4個(gè)位置中，故有種情況.所以，這樣的比賽過(guò)程有種.14.用模3對(duì)n分類：(1)當(dāng)n=3m(m1，且m為整數(shù))時(shí)，我們可以把從1到n的這n個(gè)數(shù)分成三部分：A1=1，4，3k+1，共有m個(gè)元素；A2=2，5，3k+2，共有m個(gè)元素；A3=3，6，3k+3，共有m個(gè)元素.易知，A3中的任三個(gè)數(shù)之和能被3整除，有種取法；A1、A2、A3中各取一個(gè)元素，其和亦能被3整除，有(種)取法；A1中任三個(gè)數(shù)之和也能被3整數(shù)，有種取法；A2中任三個(gè)數(shù)之和也能被3整除，有種取法.除上面幾種情況，再無(wú)其他情況使取的三數(shù)之和被3整除.所以，即3m3-3m2+2m-107844=0.因?yàn)?|107844，所以3|m.又2m-107844是偶數(shù)，所以m必是偶數(shù).為此，不妨設(shè)m=6t(t1，且t為整數(shù))，則有54t3-9t2+t-8987=0.易知當(dāng)t6時(shí)，此等式一定不成立，而當(dāng)t=1，2，3，4，5時(shí)均不能使該等式成立，故當(dāng)n=3m(m1，且m為整數(shù))時(shí)，不存在這樣的n.(2)當(dāng)n=3m+1(m1，且m為整數(shù))時(shí)，亦可把這n個(gè)數(shù)分成三部分：A1=1，4，共有m+1個(gè)元素；A2=2，5，共有m個(gè)元素；A3=3，6，共有m個(gè)元素，據(jù)題意則有即5m3+m=353922.m(5m2+1)=353922.因?yàn)?m，5m2+1)=(m，1)=1，所以，m與5m2+1互質(zhì).而353922=232111943.另一方面，若m43，則5m2+1必大于2321119.故m43.若m18，則5m2+1必小于111943，故m18.所以，m=19或38，代入等式后均不成立.綜上，當(dāng)n=3m+1(m1，且m為整數(shù))時(shí)，也不存在這樣的n.(3)當(dāng)n=3m+2(m1，且m為整數(shù))時(shí)，則可得據(jù)(2)相同的思路，最后可求得m=66.結(jié)合(1)、(2)、(3)，n的取值是200.15.(1)據(jù)題意，共有個(gè)三元素子集，因?yàn)槊恳粋€(gè)三元素子集都恰好被一個(gè)五元素子集所包含，所以每一個(gè)五元素子集中包含了個(gè)三元素子集，而這樣的五元素子集共有68個(gè)，故有，解得n=17. (2)假設(shè)每個(gè)五元素子集中至多含有3種特殊元素，我們把含有1種特殊元素，2種非特殊元素的三元素子集設(shè)為A3.據(jù)題意，68個(gè)五元素子集中，有個(gè)含有3種特殊元素，且每個(gè)子集中可有(3個(gè)A3).另一方面，含有2種或1種特殊元素的五元素子集，應(yīng)有(個(gè))且這樣的子集中都有(6個(gè)A3).再者，子集A3的個(gè)數(shù)是，即.所以，即m3-18m2+137m-408=0.因?yàn)?08的正因數(shù)1、3、8、17均非上述方程的解，據(jù)有理根定理方程無(wú)正整數(shù)解，這說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤.故結(jié)論是肯定的.