《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案第八章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案第八章 1設(shè)是從總體中抽出的樣本，假設(shè)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，未知，給定和顯著性水平，試求假設(shè)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及否定域. 解 選統(tǒng)計(jì)量 記 則，對于給定的顯著性水平，查分布表求出臨界值，使 因 ，所以，從而 可見的否定域?yàn)? 2某種零件的尺寸方差為，對一批這類零件檢查6件得尺寸數(shù)據(jù)（毫米）：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。設(shè)零件尺寸服從正態(tài)分布，問這批零件的平均尺寸能否認(rèn)為是32.50毫米（）. 解 問題是在已知的條件下檢驗(yàn)假設(shè) 的否定域?yàn)槠渲?，因，所以否定，即不能認(rèn)為平均尺寸是32.5毫米。 3設(shè)某產(chǎn)品的指標(biāo)服從正態(tài)分布，它的標(biāo)準(zhǔn)差為，今抽了一個(gè)容量為26的樣本，計(jì)算平均值1580，問在顯著性水平下，能否認(rèn)為這批產(chǎn)品的指標(biāo)的期望值不低于1600。 解 問題是在已知的條件下檢驗(yàn)假設(shè) 的否定域?yàn)?，其?. . 因?yàn)?，所以接受，即可以認(rèn)為這批產(chǎn)品的指標(biāo)的期望值不低于1600. 4一種元件，要求其使用壽命不低于1000小時(shí)，現(xiàn)在從這批元件中任取25件，測得其壽命平均值為950小時(shí)，已知該元件壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差為小時(shí)的正態(tài)分布，問這批元件是否合格？（） 解 設(shè)元件壽命為，則，問題是檢驗(yàn)假設(shè). 的否定域?yàn)?，其?因?yàn)?所以否定，即元件不合格. 5某批礦砂的5個(gè)樣品中鎳含量經(jīng)測定為： 設(shè)測定值服從正態(tài)分布，問能否認(rèn)為這批礦砂的鎳含量為？ 解 問題是在未知的條件下檢驗(yàn)假設(shè) 的否定域?yàn)?因?yàn)?所以接受，即可以認(rèn)為這批礦砂的鎳含量為3.25. 6糖廠用自動打包機(jī)打包，每包標(biāo)準(zhǔn)重量為100公斤，每天開工后要檢驗(yàn)一次打包機(jī)工作是否正常，某日開工后測得9包重量（單位：公斤）如下： 問該日打包機(jī)工作是否正常（；已知包重服從正態(tài)分布）？ 解 ， 問題是檢驗(yàn)假設(shè) 的否定域?yàn)?其中 因?yàn)?所以接受，即該日打包機(jī)工作正常. 7按照規(guī)定，每100克罐頭番茄汁中，維生素的含量不得少于21毫克，現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的一批罐頭中抽取17個(gè)，測得維生素的含量（單位：毫克）如下 已知維生素的含量服從正態(tài)分布，試檢驗(yàn)這批罐頭的維生素含量是否合格。 解 設(shè)為維生素的含量，則，. 問題是檢驗(yàn)假設(shè) （1）. （2）選擇統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值： （3）對于給定的查分布表求出臨界值. （4）因?yàn)?。所以接受，即認(rèn)為維生素含量合格. 8某種合金弦的抗拉強(qiáng)度，由過去的經(jīng)驗(yàn)知（公斤/厘米2），今用新工藝生產(chǎn)了一批弦線，隨機(jī)取10根作抗拉試驗(yàn)，測得數(shù)據(jù)如下： 10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670.問這批弦線的抗拉強(qiáng)度是否提高了？（） 解 ，. 問題是檢驗(yàn)假設(shè) （1）. （2）選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值. （3）對于，查分布表，得臨界值. （4）因，故否定即認(rèn)為抗拉強(qiáng)度提高了。 9從一批軸料中取15件測量其橢圓度，計(jì)算得，問該批軸料橢圓度的總體方差與規(guī)定的有無顯著差別？（，橢圓度服從正態(tài)分布）。 解 ，問題是檢驗(yàn)假設(shè). （1）. （2）選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值 （3）對于給定的，查分布表得臨界值 . （4）因?yàn)樗越邮?，即總體方差與規(guī)定的無顯著差異。 10從一批保險(xiǎn)絲中抽取10根試驗(yàn)其熔化時(shí)間，結(jié)果為 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55.問是否可以認(rèn)為這批保險(xiǎn)絲熔化時(shí)間的方差不大于80？（，熔化時(shí)間服從正態(tài)分布）. 解 ， 問題是檢驗(yàn)假設(shè). （1）； （2）選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值 （3）對于給定的，查分布表得臨界值 . （4）因，故接受，即可以認(rèn)為方差不大于80。 11對兩種羊毛織品進(jìn)行強(qiáng)度試驗(yàn)，所得結(jié)果如下 第一種 138，127，134，125； 第二種 134，137，135，140，130，134.問是否一種羊毛較另一種好？設(shè)兩種羊毛織品的強(qiáng)度都服從方差相同的正態(tài)分布。 解 設(shè)第一、二種織品的強(qiáng)度分別為和，則 問題是檢驗(yàn)假設(shè) （1） （2）選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值. （3）對于給定的，查分布表得臨界值 . （4）因?yàn)?，所以接受假設(shè)，即不能說一種羊毛較另一種好。 12在20塊條件相同的土地上，同時(shí)試種新舊兩個(gè)品種的作物各十塊土地，其產(chǎn)量（公斤）分別為 舊品種 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; 新品種 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1;設(shè)這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，并都來自正態(tài)總體（方差相等），問新品種的產(chǎn)量是否高于舊品種？（） 解 設(shè)為新品種產(chǎn)量，為舊品種產(chǎn)量；，問題是檢驗(yàn)假設(shè) ， ， 選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值： 對給定的，查分布表得臨界值. 因?yàn)楣式邮?，即新品種高于舊品種. 13兩臺機(jī)床加工同一種零件，分別取6個(gè)和9個(gè)零件，量其長度得，假定零件長度服從正態(tài)分布，問可否認(rèn)為兩臺機(jī)床加工的零件長度的方差無顯著差異？ 解 問題是檢驗(yàn)假設(shè) 選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值 對給定的查分布表得臨界值，. 因 故接受，即無顯著差異. 13甲、乙兩臺機(jī)床加工同樣產(chǎn)品，從它們加工的產(chǎn)品中各抽取若干，測得直徑（單位：mm）為 甲：20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9; 乙：19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2.問甲、乙兩臺機(jī)床加工的精度有無顯著差異？（，產(chǎn)品直徑服從正態(tài)分布。） 解 設(shè)甲加工的直徑為，乙為. ，. ， ， ，問題是檢驗(yàn)假設(shè) 選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值 .對于給定的，查分布表得臨界值， 因，故接受，即精度無顯著差異. 14一顆骰子擲了120次，得下列結(jié)果：點(diǎn) 數(shù)123456出現(xiàn)次數(shù)232621201515問骰子是否勻稱？（） 解 用表示擲一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，其可能值為1，2，3，4，5，6。問題是檢驗(yàn)假設(shè) 這里， ，故 查分布表，得臨界值因?yàn)楣式邮?，即骰子勻稱。 15從一批滾珠中隨機(jī)抽取50個(gè)，測得它們的直徑（單位：mm）為 15.015.815.215.115.914.714.815.515.615.315.115.315.015.615.714.814.514.214.914.915.215.015.315.615.114.914.214.615.815.215.915.215.014.914.814.515.115.515.515.115.115.015.314.714.515.515.014.714.614.2是否可以認(rèn)為這批鋼珠的直徑服從正態(tài)分布？（） 解 數(shù)據(jù)中最小的為14.2，最大者為15.9，設(shè)，欲把分成七個(gè)（相等的）區(qū)間，則區(qū)間長度（組距）為得分點(diǎn)它們把實(shí)數(shù)軸分成七個(gè)不相交的區(qū)間，樣本值分成了七組：1325310416586672 設(shè)鋼珠的直徑為，其分布函數(shù)為，我們的問題是檢驗(yàn)假設(shè)：. 其中未知. 在成立之下，和的極大似然估計(jì)為，. 在上面的表中第1組和第7組的頻數(shù)過小，把它們并入相鄰的組內(nèi)，即分成5組，分點(diǎn)為，. 統(tǒng)計(jì)量 的值計(jì)算如下表：180.14927.460.540.29160.039092100.214010.70.70.490.045793160.273613.682.325.38240.39345480.218010.92.98.410.77156580.14527.260.740.54760.0754350150015.12161.24997即，對于查分布表得臨界值. 因，故接受，即認(rèn)為鋼珠直徑服從正態(tài)分布. 16設(shè)，假設(shè)隨機(jī)變量在上是均勻分布的，今對進(jìn)行100次獨(dú)立觀察，發(fā)現(xiàn)其值落入的頻數(shù)分別為30，20，36，14，問均勻分布的假設(shè)，在顯著性水平為0.05下是否可信。 解 檢驗(yàn)假設(shè)：檢驗(yàn)計(jì)算表如下：1302551220255133625114.8441425114.841001100011.68統(tǒng)計(jì)量對于，查得因?yàn)?所以不接受，即不能相信.習(xí) 題 九 1一批由同樣原料織成的布，用五種不同的染整工藝處理，然后進(jìn)行縮水試驗(yàn)，設(shè)每種工藝處理4塊布樣，測得縮水率的結(jié)果如下表布樣號縮 水 率12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.47.8問不同的工藝對布的縮水率是否有顯著的影響 解 ，查附表5得.序號 12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.47.821.821.731.635.337.5147.9475.24470.89998.561246.091406.254597.03131.82112.24252.34316.03358.491149.25131.82112.24252.34316.03358.491170.92方差分析表方差來源平方和自由度均方值工 藝誤 差55.5321.6741513.88251.44479.6095*總 和77.2019因?yàn)?，所以工藝對縮水率有顯著影響. 2燈泡廠用4種不同配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，今從中分別抽樣進(jìn)行使用壽命的試驗(yàn)，得到下表的結(jié)果（單位：小時(shí)），問這幾種配料方案對使用壽命有無顯著影響？（）試驗(yàn)號壽 命1234567816001610165016801700172018001850164016401700175014601550160016201640166017401820151015201530157016001680 解 ，查附表5得 為簡化計(jì)算從上表的試驗(yàn)結(jié)果中都減去1600再除以10得下表壽命序號12345678015810122025441015145024614229873085658291912431363364841361448672.8105.12560.1671286.0927349829572642937 ， ， ， 方差分析表方差來源平方和自由度均方F值配 料誤 差6.94716.5093222.3130.7273.18總 和23.45625 因?yàn)?，故不顯著. 3在單因素試驗(yàn)方差分析模型式（9.2）中，是未知參數(shù)，求的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì). 解 因?yàn)椋缘狞c(diǎn)估計(jì)為. 由定理9.1知，再由定理6.1知與相互獨(dú)立，又由獨(dú)立，知與獨(dú)立，從而與獨(dú)立，又 由分布的定義知 其中 對于給定的，查分布表求出臨界值，使 在上式括號內(nèi)將暴露出來得在置信度下的置信區(qū)間 4在單因素試驗(yàn)方差分析模型式（9.2）中，是未知參數(shù)，試證是的無偏估計(jì)，且的下的置信區(qū)間為 證：因?yàn)?，所以，即于是?是的無偏估計(jì)； 因?yàn)?所以對于給定的，查分布表求出臨界值和使得式中將暴露出來得故的置信度為下的置信區(qū)間為 證畢 5驗(yàn)證式（9.24）的解能使達(dá)到最小值. 證：是函數(shù)的駐點(diǎn). 而 由柯西不等式知，而所以是的極小點(diǎn)，而存在最小值，故能使達(dá)到最小值. 6利用定理9.2證明，在假設(shè)成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量并利用它檢驗(yàn)9.2中例1所得的回歸方程的顯著性 證：因?yàn)?所以 在成立的條件下又由分布的定義知. 證畢 今利用統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)回歸方程的顯著性.對于給定的查分布表得臨界值. 因?yàn)?，所以回歸方程顯著. 7利用定理9.2證明回歸系數(shù)的置信區(qū)間為并利用這個(gè)公式求9.2中例1的回歸系數(shù)的置信區(qū)間（置信度為0.95）. 解 由定理9.2知對于給定的，查分布表求出臨界值，使在上式的大括號內(nèi)，將暴露出來得故的置信度為下的置信區(qū)間為 證畢在例1中 ， .所以的置信度為0.95下的置信區(qū)間為 8在鋼線碳含量對于電阻時(shí)，微歐）效應(yīng)的研究中，得到以下的數(shù)據(jù)0.010.300.400.550.700.800.951518192122.623.826 設(shè)對于給定的為正態(tài)變量，且方差與無關(guān). （1）求線性回歸方程; （2）檢驗(yàn)回歸方程的顯著性； （3）求的置信區(qū)間（置信度為0.95）； （4）求在處的置信度為0.95的預(yù)測區(qū)間. 解 我們用下表進(jìn)行計(jì)算序號12345670.100.300.400.550.700.800.951518192122.623.8260.010.090.160.30250.490.640.9025225324361441510.76566.446761.55.47.611.5515.8219.0424.73.8145.42.5953104.285.61平均0.54320.77 , , , , （1） , ， 所以回歸方程為 （2）我們用方差分析表來檢驗(yàn)回歸方程的顯著性方 差 分 析 表方差來源平方和自由度均 方F值回 歸1剩 余5總 和6其中 . 查F分布表求出臨界值 因?yàn)?所以回歸方程高度顯著. （3）由第7題知，的置信度為下的置信區(qū)間為此處, . 所以的置信度為0.95下的置信區(qū)間為（11.112, 13.987） （4）, . 故在處的置信度為0.95的置信區(qū)間為 9在硝酸鈉的溶解度試驗(yàn)中，對不同的溫度測得溶解于100ml水中的硝酸鈉質(zhì)量的觀測值如下：041015212936516866.771.076.380.685.792.999.6113.6125.1從理論知與滿足線性回歸模型式（9.20） （1）求對的回歸方程； （2）檢驗(yàn)回歸方程的顯著性； （3）求在時(shí)的預(yù)測區(qū)間（置信度為0.95）. 解 計(jì)算表如下序號123456789041015212936516866.771.076.380.685.792.999.9113.6125.10161002254418411296260146244448.895041.005821.696496.367344.498630.419980.0112904.9615560.01028476312091799.72694.13596.45793.68506.8234811.81014476317.8224646.6 , （1）對的回歸方程為 ； （2）方差分析表如下方差來源平方和自由度均 方F 值回 歸3086.2513086.25=2996.36剩 余7.2171.03總 和3093.468 查F分布表求出臨界值 因 ，故方程高度顯著. （3） 在時(shí)的置信度為0.95下的預(yù)測區(qū)間為. 10某種合金的抗拉強(qiáng)度與鋼中含碳量滿足線性回歸模型式（9.20）今實(shí)測了92組數(shù)據(jù)并算得 （1）求對的回歸方程； （2）對回歸方程作顯著性檢驗(yàn)； （3）當(dāng)含碳量時(shí)求的置信度為0.95的預(yù)測區(qū)間； （4）若要控制抗拉強(qiáng)度以0.95的概率落在（38，52）中，那么含碳量應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ 解 （1）所以回歸方程為； （2） 方 差 分 析 表方差來源平方和自由度均方F值回 歸2328.5812328.58342.1815剩 余612.459906.8051總 和2941.03491查F分布表求出臨界值 因 ，故方程高度顯著. （3） 因?yàn)槭呛艽蟮?，又接近，所以取故?dāng)時(shí)的信度為0.95下的置信區(qū)間為（37.567, 47.794）； （4）由 得 于是的控制范圍為（0.09492, 0.1379） 11電容器充電后，電壓達(dá)到，然后開始放電，設(shè)在時(shí)刻，電壓的觀察值為，具體數(shù)據(jù)如下.012345678910100755540302015101055 （1）畫出散點(diǎn)圖； （2）用指數(shù)曲線模型來似合與的關(guān)于，求的估計(jì)值.U024681080604020100t 解 （1） （2）由，兩邊取對數(shù)得令 得線性模型 序號104.605021.2080214.317118.6414.317324.007416.0598.014433.689913.60811.067543.4011611.56813.604652.996258.97414.98762.708367.33416.248872.303495.30216.121982.303645.30218.4241091.609812.59014.48111101.6091002.59016.095533.547385113.176133.346 , ， ， 故 ，即的估計(jì)值分別為，. ·131·