小升初奧數(shù)難點(diǎn)之迎面相遇問題.doc

小升初奧數(shù)中有很多專題，我們需要把專題分類清晰，腦海中有清晰的脈絡(luò)，逐個(gè)梳理學(xué)習(xí)。這也是小學(xué)培養(yǎng)知識(shí)統(tǒng)合梳理能力的有效機(jī)會(huì)。雞兔同籠、抽屜原理、孫子定理等都是小學(xué)奧數(shù)常出現(xiàn)的專題，其中有一個(gè)問題對(duì)中學(xué)學(xué)習(xí)很有幫助，那就是：迎面相遇問題，也是小升初奧數(shù)的難點(diǎn)之一，數(shù)學(xué)家教專題講解：甲乙兩車往返于AB兩地，第一次距離A地700米處相遇，第二次距離B400米處相遇。求共有多少個(gè)迎面相遇點(diǎn)？幾個(gè)背后追上點(diǎn)？分析：行程問題多次相遇和追及都是加2全程的規(guī)律。但我開始對(duì)這個(gè)題的分析是有小問題的。就是相遇點(diǎn)不可以是起點(diǎn)或終點(diǎn)。此題我們先考慮全程。第一次兩人共走1個(gè)全程。第二次共3個(gè)所以甲此時(shí)走了2100米，單獨(dú)看甲是一個(gè)全程多400米。全程就是2100-400=1700米。三次是3500米離A100米，第四次是離起點(diǎn)1500米，第五次-500米，第六次900米，第七次-1100米，第8次300米，第九次是1700米。但是第九次是我們要思考的能在終點(diǎn)B相遇嗎。此時(shí)甲走了7個(gè)全程，乙走了10個(gè)全程。此時(shí)所謂的相遇點(diǎn)實(shí)際上是追及點(diǎn)。他們同時(shí)到B并且同時(shí)掉頭不是迎面相遇。所以端點(diǎn)是不能成為迎面相遇點(diǎn)的。因?yàn)榘匆?guī)律算既是相遇點(diǎn)也是追及點(diǎn)。第九次相遇點(diǎn)實(shí)際是規(guī)律的第十次為-300米。第十次為規(guī)律的第11次為1100米，第11次為-900米，第12次為500米，第13次為-1500米，第14次為-100米，第15次為1300米，第16次為-700米。注意這里的正方向指的是出發(fā)向B距離，-指的是返回余下距離。絕對(duì)值相同的點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，只是方向不同而已。第17次是700米。這里實(shí)際是每16次迎面相遇是一個(gè)周期，從分析可以看出迎面相遇點(diǎn)只有8個(gè)。接下來我們討論背后追上點(diǎn)。速度比7：10，所以第一次追上一個(gè)全程相當(dāng)于3份對(duì)1個(gè)全程為1700/3，追及是沒有特殊情況的。第一次甲走1700/3，第n次走1700（2n-1）/3，我們一次次枚舉得到第一次距離1700/3，第二次是1700米，第三次是-1700/3，第四次是1700/3.絕對(duì)值相同時(shí)追及點(diǎn)也是一致的。所以追上點(diǎn)共2個(gè)。我們通過此題發(fā)現(xiàn)相遇點(diǎn)共8個(gè)追上點(diǎn)共2個(gè)。并且沒有一個(gè)點(diǎn)既是相遇點(diǎn)也是追上點(diǎn)。通過這個(gè)題我們認(rèn)識(shí)到多次相遇的迎面加2全程對(duì)于相遇點(diǎn)不是起點(diǎn)或終點(diǎn)是正確的，但注意如果有相遇點(diǎn)是起點(diǎn)或終點(diǎn)就要跳過一次。追上這個(gè)基本規(guī)律仍然適用。筆者發(fā)現(xiàn)如果速度快的與速度慢的最簡整數(shù)比是a：b，這背后追上點(diǎn)有（a-b+1）/2取整那么多個(gè)，迎面相遇點(diǎn)有（a+b）/2取整那么多個(gè)。并且不存在既是迎面相遇點(diǎn)也是背后追上點(diǎn)的點(diǎn)。若存在則（2n-1）a/（a+b）與（2k-1）a/a-b對(duì)2倍全程同余數(shù)。回到本題就是（2n-1）10/17與（2k_1）10/3對(duì)17余數(shù)相同。不難知道此時(shí)只能是終點(diǎn)，而終點(diǎn)是不能作為相遇點(diǎn)的。如果此題我們用行程規(guī)律辦就是700（2n-1）。就代數(shù)角度易知是相遇周期17并且如果s，t有700（2s-1），700（2t-1）對(duì)3400余數(shù)一樣必有1400（s-t）是3400倍數(shù)，約分后7（s-t）是17的倍數(shù)。但700（2n-1）+700（2（18-n）-1）=700乘以34.所以關(guān)于中間次數(shù)相遇點(diǎn)是對(duì)稱的只是正相遇和負(fù)相遇的區(qū)別。所以有9個(gè)相遇點(diǎn)。可是端點(diǎn)沒有對(duì)稱點(diǎn)。故只有8個(gè)迎面相遇點(diǎn)。討論背后追上是1700（2n-1）/3，容易知道周期是3，和相遇樣其它的點(diǎn)都有對(duì)稱點(diǎn)，所以追上點(diǎn)有2個(gè)，終點(diǎn)無對(duì)應(yīng)點(diǎn)。我們注意為何要用這背后追上點(diǎn)有（a-b+1）/2取整那么多個(gè)，迎面相遇點(diǎn)有（a+b）/2取整那么多個(gè)。原因是當(dāng)a，b都是奇數(shù)的時(shí)候相遇點(diǎn)不可能是端點(diǎn)。追上點(diǎn)也不能是端點(diǎn)。就是每個(gè)相遇點(diǎn)和追及點(diǎn)都有正負(fù)對(duì)應(yīng)。而上題的1700和-1700是不加區(qū)別的。只有在1700處追上，不存在相遇。由于時(shí)間倉促，有些地方考慮不周請(qǐng)大家指點(diǎn)。2小明和小紅兩人在長100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓(xùn)練，小明的速度為6米/秒，小紅的速度為4米/秒。他們同時(shí)從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘。在這段時(shí)間內(nèi)，他們迎面相遇了多少次？按規(guī)律做是7200除以100=72，按一般規(guī)律是36次，但注意到端點(diǎn)不能是相遇點(diǎn)。60（2n-1）為100的倍數(shù)要去掉。也就是3（2n-1）不能是5的倍數(shù)。每隔5個(gè)除去1個(gè)第一個(gè)被除去的n是3.然后是8，13，18，23，28，33共7個(gè)。所以迎面相遇29次。如果把4米改為2米。相遇和追上點(diǎn)都不是端點(diǎn)。相遇點(diǎn)有2個(gè)就是75（2n-1）除，200余數(shù)按75，25，-25，-75.排列實(shí)際上是2個(gè)，追上按50（2n-1）就是在中點(diǎn)追上。所以不存在相遇點(diǎn)和追上點(diǎn)重合。如果最簡整數(shù)比是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)就要考慮端點(diǎn)相遇的問題。實(shí)際上相遇點(diǎn)是（a+b）分點(diǎn)，追上點(diǎn)是（a-b）分點(diǎn)。（a+b）（a-b）是互質(zhì)的。只可能是起點(diǎn)或終點(diǎn)重合，當(dāng)a，b為奇數(shù)時(shí)候和為偶數(shù)，而相遇點(diǎn)式奇數(shù)分點(diǎn)，端點(diǎn)都是偶數(shù)分點(diǎn)所以不可能。但一個(gè)奇一個(gè)偶數(shù)時(shí)候，可能出現(xiàn)端點(diǎn)重合。但端點(diǎn)不可能是迎面相遇點(diǎn)。所以迎面相遇點(diǎn)和背后追上點(diǎn)一定不同。當(dāng)比是兩個(gè)奇數(shù)時(shí)候，迎面相遇可以按規(guī)律辦，但一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)的時(shí)候要注意剔除特殊情況。還有就是相遇周期一定會(huì)是偶數(shù)。至于背后追上按規(guī)律辦就可以了。