《點(diǎn)亮高考》物理系列教案：4.3《萬有引力定律及應(yīng)用》

第3講 萬有引力定律及應(yīng)用考情直播1.考綱要求考綱內(nèi)容能力要求考向定位1萬有引力定律及其應(yīng)用2環(huán)繞速度3第二宇宙速度和第三宇宙速度1掌握萬有引力定律的內(nèi)容，并能夠用萬有引力定律求解相關(guān)問題。2理解第一宇宙速的意義。3了解第二宇宙速度和第三宇宙速度萬有引力定律是廣東高考的必考內(nèi)容，也是全國高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容?？忌炀氄莆赵摱傻膬?nèi)容，還要知道其主要應(yīng)用，要求能夠結(jié)合該定律與牛頓第二定律估算天體質(zhì)量、密度、計(jì)算天體間的距離（衛(wèi)星高度）、以及分析衛(wèi)星運(yùn)動軌道等相關(guān)問題。要理解環(huán)繞速度實(shí)際上是衛(wèi)星在天體表面做勻速圓周運(yùn)動時(shí)的線速度。由于高考計(jì)算題量減少，故本節(jié)命題應(yīng)當(dāng)會以選擇題為主，難度較以前會有所降低。2考點(diǎn)整合考點(diǎn)1 萬有引力定律基本公式的理解1萬有引力定律：（1）內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個(gè)物體間的引力大小，跟它們的 成 正比，跟它們 成反比（2）公式： ， G為萬有引力常量，G=6.67×10-11N.m2/kg2（3）適用條件：公式適用于 間的相互作用當(dāng)兩個(gè)物體間的距離 物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)2物體在地球表面所受的重力與萬有引力的關(guān)系：若不考慮地球自轉(zhuǎn)，物體在地球表面運(yùn)行時(shí)有 ， 特別提醒：萬有引力普遍存在于物體之間，但萬有引力定律有其適用條件，。此外，要注意有些情況下萬有引力可以略，例如微觀粒子間的萬有引力。 例1 如圖所示，在一個(gè)半徑為R、質(zhì)量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個(gè)半徑為R/2的球形空穴后，對位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d的質(zhì)點(diǎn)m的引力是多大？解析把整個(gè)球體對質(zhì)點(diǎn)的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對質(zhì)點(diǎn)的引力之和其中完整的均質(zhì)球體對球外質(zhì)點(diǎn)m的引力這個(gè)引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分對質(zhì)點(diǎn)的引力F1與半徑為R/2的小球?qū)|(zhì)點(diǎn)的引力F2之和，即F=F1+F2因半徑為R/2的小球質(zhì)量M/為.則所以挖去球穴后的剩余部分對球外質(zhì)點(diǎn)m的引力.【答案】考點(diǎn)2 與天體有關(guān)的估算問題在估算有關(guān)天體的一些物理量時(shí)應(yīng)緊扣兩個(gè)關(guān)鍵：掌握一串公式： ，以及質(zhì)量公式 掌握一個(gè)模型：將天體或衛(wèi)星的運(yùn)動看成 運(yùn)動，其向心力由 提供特別提醒：應(yīng)用萬有引力定律能夠估算到的只是中心天體的質(zhì)量、密度等相關(guān)物理量，而對于繞行天體，則只能計(jì)算其運(yùn)動的線速度、角速度、周期、向心加速度等。 例2 （2009湛師附中）中國首個(gè)月球探測計(jì)劃“嫦娥工程”預(yù)計(jì)在2017年送機(jī)器人上月球，實(shí)地采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址做準(zhǔn)備。設(shè)想我國宇航員隨“嫦娥”號登月飛船繞月球飛行，飛船上備有以下實(shí)驗(yàn)儀器：A.計(jì)時(shí)表一只，B.彈簧秤一把，C.已知質(zhì)量為m的物體一個(gè)，D.天平一只（附砝碼一盒）。在飛船貼近月球表面時(shí)可近似看成繞月做勻速圓周運(yùn)動，宇航員測量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用時(shí)間為t，飛船的登月艙在月球上著陸后，遙控機(jī)器人利用所攜帶的儀器又進(jìn)行第二次測量，科學(xué)家利用上述兩次測量數(shù)據(jù)便可計(jì)算出月球的半徑和質(zhì)量。若已知萬有引力常量為G，則： （1）簡述機(jī)器人是如何通過第二次測量物體在月球所受的重力F。（2）試?yán)脺y量數(shù)據(jù)（用符號表示）球月球的半徑和質(zhì)量。解析 (1)利用彈簧秤測量物體m的重力F（2）在月球近地表面有， 在月球表面有， 則有 ， 【答案】(1)略（2） ， 規(guī)律總結(jié)萬有引力定律在天文上的典型應(yīng)用就是計(jì)算天體的質(zhì)量、密度、半徑，此時(shí)要緊口兩個(gè)關(guān)鍵：一是緊扣一個(gè)物理模型：就是將天體（或衛(wèi)星）的運(yùn)動看成是勻速圓周運(yùn)動；二是緊扣一個(gè)物體做圓周運(yùn)動的動力學(xué)特征，即天體（或衛(wèi)星）的向心力由萬有引力提供考點(diǎn)3. 描述天體運(yùn)動的物理量之間的關(guān)系、 衛(wèi)星變軌問題1描述天體運(yùn)動的物理量主要有 、 、 、 與軌道半徑2行星和衛(wèi)星的運(yùn)動可近似視為 ，而萬有引力提供行星、衛(wèi)星作勻速圓周運(yùn)動的 3根據(jù)萬有引力定律及向心力公式，可推導(dǎo)出線速度角速度周期隨高度變化的關(guān)系，具體關(guān)系如下：由 得，r越大，v越??；由 得，r越大，越小；由 得，r越大，T越大特別提醒：衛(wèi)星在變軌過程中，機(jī)械能并不守恒。軌道半徑越大，運(yùn)動的速度越小，但發(fā)射時(shí)所需要的能量卻越多，即發(fā)射速度要越大。 例3 （2009深圳外國語學(xué)校） “嫦娥一號”探月衛(wèi)星以圓形軌道繞月飛行，衛(wèi)星將獲取的信息以微波信號發(fā)回地球，假設(shè)衛(wèi)星繞月的軌道平面與地月連心線共面，各已知物理量如表中所示：地球質(zhì)量月球質(zhì)量地球半徑月球半徑月球表面重力加速度月球繞地軌道半徑衛(wèi)星繞月軌道半徑MmR1g1r r1（1）嫦娥一號在奔月過程中受地球和月球引力相等時(shí)離月球面的高度為多少？（2）嫦娥一號繞月球一周所用的時(shí)間為多少？解析（1）設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量m，由萬有引力定律得：衛(wèi)星受地球和月球引力相等有： 又因?yàn)椋簉 ，衛(wèi)星到月球表面的距離為：由上各式解得 （2）由月球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供向心力得： 在月球表面有：解得繞月球一周所用的時(shí)間為： 【答案】（1）（2）例4 （2008山西太原）我國研制的“嫦娥一號”衛(wèi)星于2007年10月24日18時(shí)由長征三甲運(yùn)載火箭發(fā)射升空，星箭分離后在遠(yuǎn)地點(diǎn)做了一次變軌，進(jìn)入到16小時(shí)軌道，然后分別在16小時(shí)、24小時(shí)（停泊軌道）、48小時(shí)軌道（調(diào)相軌道）軌道近地點(diǎn)，各進(jìn)行了一次變軌，其中在調(diào)相軌道近地點(diǎn)變軌后，“嫦娥一號”衛(wèi)星進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道正式奔月，下列說法中正確的是（）A“嫦娥一號”由24小時(shí)軌道變?yōu)?8小時(shí)軌道時(shí)應(yīng)讓其發(fā)動機(jī)在A點(diǎn)點(diǎn)火向后噴氣B“嫦娥一號”由24小時(shí)軌道變?yōu)?8小時(shí)軌道時(shí)應(yīng)讓其發(fā)動機(jī)在B點(diǎn)點(diǎn)火向后噴氣C“嫦娥一號”沿24小時(shí)軌道在B點(diǎn)的速度大于沿24小時(shí)軌道在A點(diǎn)的速度D“嫦娥一號”沿48小時(shí)軌道在B點(diǎn)的加速度大于沿24小時(shí)軌道在B點(diǎn)的加速度 解析 “嫦娥一號”由由24小時(shí)軌道變?yōu)?8小時(shí)軌道應(yīng)做離心運(yùn)動，此時(shí)要增大速度，若選在A點(diǎn)點(diǎn)火，這樣會使衛(wèi)星進(jìn)入另一個(gè)與A點(diǎn)相切的橢圓軌道，而不會進(jìn)入預(yù)定的與B點(diǎn)相切的48小時(shí)軌道，因此要在B點(diǎn)點(diǎn)火，A錯B對；“嫦娥一號”沿24小時(shí)橢圓軌道運(yùn)動時(shí)，B點(diǎn)相當(dāng)于近地點(diǎn)而A點(diǎn)相當(dāng)于遠(yuǎn)地點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒可知C選項(xiàng)正確。根據(jù)公式GMm/R2=ma可知“嫦娥一號”沿48小時(shí)軌道在B點(diǎn)的加速度等于沿24小時(shí)軌道在B點(diǎn)的加速度，故D錯。【答案】B、C 規(guī)律總結(jié) 在處理變軌問題時(shí)，一定要分清圓周軌道與橢圓軌道，弄清楚軌道切點(diǎn)上速度的關(guān)系，再根據(jù)機(jī)械能的變化分析衛(wèi)星的運(yùn)動情況?？键c(diǎn)4 萬有引力與重力的關(guān)系、“黃金代換”關(guān)系1萬有引力與重力的關(guān)系地面上的物體由于受到地球的引力，這個(gè)力就是地球?qū)ξ矬w的萬有引力物體所受到的萬有引力將產(chǎn)生兩個(gè)效果：一個(gè)是 ，另一個(gè)是物體隨地球一起轉(zhuǎn)動時(shí)所需要的 在一般情況下，由于重力與萬有引力相差不大，所以認(rèn)為兩者相等，即： ，這個(gè)關(guān)系式也稱之為黃金代換公式2重力加速度與距離地面高度的關(guān)系若不考慮地球自轉(zhuǎn)，在地球表面處有，即地球表面處的重力加速度；在距地表高度為h的高空處，萬有引力引起的重力加速度為g，由牛頓第二定律可得：即： ?？梢娭亓铀俣入S高度增加而 ，這一結(jié)論對其它星球也適用例5 （2009廣州大學(xué)附中）我國首個(gè)月球探測計(jì)劃“嫦娥工程”將分三個(gè)階段實(shí)施，大約用十年左右時(shí)間完成，這極大地提高了同學(xué)們對月球的關(guān)注程度以下是某同學(xué)就有關(guān)月球的知識設(shè)計(jì)的兩個(gè)問題，請你解答：（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動的周期為T，且把月球繞地球的運(yùn)動近似看做是勻速圓周運(yùn)動。試求出月球繞地球運(yùn)動的軌道半徑。（2）若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球某水平表面上方h高處以速度v0水平拋出一個(gè)小球，小球落回到月球表面的水平距離為s。已知月球半徑為R月，萬有引力常量為G。試求出月球的質(zhì)量M月。解析 （1）假設(shè)地球質(zhì)量為M， 有GMm/R2=mg 設(shè)月球繞地球運(yùn)動的軌道半徑為r， 有GM月m/r2=m月r(2/T)2由以上各式可得： （2）設(shè)物體下落到月面的時(shí)間為t，有h=g月t2/2 ，s= v0t 可得：g月=2h v02/s2， 根據(jù)萬有引力定律，mg月=G M月m /R月2，解得M月=2h R月2 v02/Gs2 【答案】（1）（2）M月=2h R月2 v02/Gs2 規(guī)律總結(jié) 處理中心天體質(zhì)量未知的問題，必然要用到黃金代換公式。通過這一公式，我們可以將中心天體的質(zhì)量用其表面重力加速度表示出來，即GM=gR2?？键c(diǎn)5 三種宇宙速度1第一宇宙速度(環(huán)繞速度)：即衛(wèi)星繞地球表面做 時(shí)的速度，此時(shí)重力提供向心力，由 得。這是人造地球衛(wèi)星的最小 速度，也是人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)行的最 速度。 2第二宇宙速度(脫離速度)：V2=V1=11.2 km/s，使物體掙脫 引力束縛的最小發(fā)射速度。3第三宇宙速度(逃逸速度)：V3=16.7km/s，使物體掙脫 引力束縛的最小發(fā)射速度。 特別提醒：第一宇宙速度是發(fā)射衛(wèi)星的最小速度，卻是衛(wèi)星在圓周軌道上運(yùn)行的最大速度。例6 我國將要發(fā)射一顆繞月運(yùn)行的探月衛(wèi)星“嫦娥1號”。設(shè)該衛(wèi)星的軌道是圓形的，且貼近月球表面。已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的1/81，月球的半徑約為地球半徑的1/4，地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s，則該探月衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速率約為（ ）A. 0.4 km/s B. 1.8 km/s C. 11 km/s D. 36 km/s 解析 設(shè)地球質(zhì)量為M、半徑為R，第一宇宙速度為V，月球質(zhì)量為m、半徑為r，第一宇宙速度為v，則根據(jù)第一宇宙速度的定義，對任一物體，有，而，由兩以上兩式并代入數(shù)據(jù)可得【答案】 B規(guī)律總結(jié) 第一宇宙速度亦即環(huán)繞速度，在高考中也頻繁出現(xiàn)，往往是要求其它星體的第一宇宙速度，這就要求大家弄清該速度的本質(zhì)意義：即衛(wèi)星圍繞星球表面做勻速圓周運(yùn)動時(shí)的速度。 高考重點(diǎn)熱點(diǎn)題型探究熱點(diǎn)1 衛(wèi)星、天體運(yùn)動問題真題1 （2008年廣東高考）圖7是“嫦娥一導(dǎo)奔月”示意圖，衛(wèi)星發(fā)射后通過自帶的小型火箭多次變軌，進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，最終被月球引力捕獲，成為繞月衛(wèi)星，并開展對月球的探測，下列說法正確的是（ ）A發(fā)射“嫦娥一號”的速度必須達(dá)到第三宇宙速度B在繞月圓軌道上，衛(wèi)星周期與衛(wèi)星質(zhì)量有關(guān)C衛(wèi)星受月球的引力與它到月球中心距離的平方成反比D在繞月圓軌道上，衛(wèi)星受地球的引力大于受月球的引力解析 “嫦娥一號”只是擺脫地球吸引，但并未飛離太陽系，則其發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，A錯。根據(jù)可知繞月周期與衛(wèi)星質(zhì)量無關(guān)，B錯。根據(jù)萬有引力定律可知C正確。衛(wèi)星在擺脫地球引力后才能達(dá)到繞月圓軌道，故該軌道上，衛(wèi)星受月球引力遠(yuǎn)大于地球引力，D錯。【答案】 C名師指引 衛(wèi)星以及與航天知識相關(guān)的科技熱點(diǎn)，在高考中頻繁出現(xiàn)。這類問題，考查的內(nèi)容相當(dāng)廣泛，泛及衛(wèi)星運(yùn)動的周期、軌道半徑、發(fā)射及運(yùn)動速度、發(fā)射過程中的變軌問題等。這幾年航天事業(yè)在我國的高速發(fā)展，這塊知識對考生的考查尤為重要。因此要求同學(xué)們對萬有引力定律及相關(guān)知識全面掌握，并在平時(shí)關(guān)注相關(guān)熱點(diǎn)問題。【答案】 新題導(dǎo)練1（2009北京崇文區(qū)）2008年9月我國成功發(fā)射神舟七號載人航天飛船。如圖所示為神舟七號繞地球飛行時(shí)的電視直播畫面，圖中數(shù)據(jù)顯示，飛船距地面的高度約為地球半徑的。已知地球半徑為R，地面附近的重力加速度為g，設(shè)飛船、大西洋星繞地球均做勻速圓周運(yùn)動。(1)估算神舟七號飛船在軌運(yùn)行的加速度大??；(2)已知大西洋星距地面的高度約為地球半徑的6倍，估算大西洋星的速率。熱點(diǎn)2 黃金代換公式的應(yīng)用真題2 (2007上海高考)宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時(shí)間5t小球落回原處。（取地球表面重力加速度g10 m/s2，空氣阻力不計(jì)）求該星球表面附近的重力加速度g/；已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星:R地1:4，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M星:M地。解析小球在地球上做豎直上拋運(yùn)動，有。小球在星球上做豎直上拋運(yùn)動，有，故。地（星）球表面物體所受重力大小近似于萬有引力，即，得，可解得：M星:M地1´12:5´421:80【答案】 1:80名師指引 星球表面的重力加速度，是聯(lián)系物體運(yùn)動與應(yīng)用“黃金代換”公式的橋梁，因此，要重視對重力加速度的求解的應(yīng)用。新題導(dǎo)練2（2009江蘇泰興）我國月球探測計(jì)劃“嫦娥工程”將分三個(gè)階段實(shí)施，大約用十年左右時(shí)間完成，這極大的提高了同學(xué)們對月球的關(guān)注程度。以下是某同學(xué)就有關(guān)月球的知識設(shè)計(jì)的兩個(gè)問題，現(xiàn)請你解答：（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動的周期為T，且把月球繞地球的運(yùn)動近似看做是勻速圓周運(yùn)動。試求出月球繞地球運(yùn)動的軌道半徑。（2）若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v0豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過時(shí)間t，小球落回到拋出點(diǎn)。已知月球半徑為R月，萬有引力常量為G。試求出月球的質(zhì)量M月。熱點(diǎn)3 環(huán)繞速度（第一宇宙速度）真題3 (2007天津高考)我國繞月探測工程的預(yù)先研究和工程實(shí)施已取得重要進(jìn)展。設(shè)地球、月球的質(zhì)量分別為m1、m2，半徑分別為R1、R2，人造地球衛(wèi)星的第一宇宙速度為v，對應(yīng)的環(huán)繞周期為T，則環(huán)繞月球表面附近圓軌道飛行的探測器的速度和周期分別為（ ） A， B， C， D， 解析 第一宇宙速度是物體圍繞星球表面作勻速圓周運(yùn)動的速度，根據(jù)萬有引力定律及向心力公式，質(zhì)量為m繞地球表面做圓周運(yùn)動的物體有，而質(zhì)量為m繞月球表面做圓周運(yùn)動的物體有，由以上兩式相比可知A選項(xiàng)正確?！敬鸢浮緼名師指引 解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解第一宇宙速度的意義，即物體圍繞星球表面作勻速圓周運(yùn)動的速度，此時(shí)物體的重力近似等于萬有引力，并提供圓周運(yùn)動的向心力。新題導(dǎo)練3(2009廣州調(diào)研)航天宇航員在月球表面完成了如下實(shí)驗(yàn)：如圖所示，在月球表面固定一豎直光滑圓形軌道，在軌道內(nèi)的最低點(diǎn)，放一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，當(dāng)給小球水平初速度v0時(shí)，小球剛好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動。已知圓形軌道半徑為r，月球的半徑為R 。若在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，求最小發(fā)射速度。熱點(diǎn)4 與萬有引力定律相關(guān)的信息題真題4（2008全國高考II）我國發(fā)射的“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿近似于圓形軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化。衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號發(fā)回地球。設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R1，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r1，月球繞地球轉(zhuǎn)動的周期為T。假定在衛(wèi)星繞月運(yùn)行的一個(gè)周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時(shí)間（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動對遮擋時(shí)間的影響）。解析 如圖所示：設(shè)O和分別表示地球和月球的中心在衛(wèi)星軌道平面上，A是地月連心線與地月球表面的公切線ACD的交點(diǎn)，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星軌道的交點(diǎn)過A點(diǎn)在另一側(cè)作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于E點(diǎn)衛(wèi)星在圓弧上運(yùn)動時(shí)發(fā)出的信號被遮擋設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m0，萬有引力常量為G，根據(jù)萬有引力定律有： ，式中，T1表示探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動的周期由以上兩式可得：設(shè)衛(wèi)星的微波信號被遮擋的時(shí)間為t，則由于衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動，應(yīng)有：， 式中，由幾何關(guān)系得： ， 由得： 【答案】名師指引 解題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確理解題中信息的含義，并找到信息與萬有引力定律之間的結(jié)合點(diǎn)。新題導(dǎo)練4（2009廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）地球和某行星在同一軌道平面內(nèi)同向繞太陽做勻速圓周運(yùn)動。地球的軌道半徑為R=1.50×1011m，運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T=3.16×107s。地球和太陽中心的連線與地球和行星的連線所夾的角叫地球?qū)υ撔行堑挠^察視角（簡稱視角）。當(dāng)行星處于最大視角處時(shí)，是地球上的天文愛好者觀察該行星的最佳時(shí)期，如圖甲或圖乙所示，該行星的最大視角=14.5°。求該行星的軌道半徑和運(yùn)轉(zhuǎn)周期（sin14.5°=0.25，最終計(jì)算結(jié)果均保留兩位有效數(shù)字）