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五年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)練習(xí)17 變換和操作(B)

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五年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)練習(xí)17 變換和操作(B)

變換和操作(B)年級 班 姓名 得分 一、填空題 1對于324和612,把第一個(gè)數(shù)加上3,同時(shí)把第二個(gè)數(shù)減3,這算一次操作,操作_次后兩個(gè)數(shù)相等.2. 對自然數(shù)n,作如下操作:各位數(shù)字相加,得另一自然數(shù),若新的自然數(shù)為一位數(shù),那么操作停止,若新的自然數(shù)不是一位數(shù),那么對新的自然數(shù)繼續(xù)上面的操作,當(dāng)?shù)玫揭粋€(gè)一位數(shù)為止,現(xiàn)對1,2,3,1998如此操作,最后得到的一位數(shù)是7的數(shù)一共有_個(gè).3. 在1,2,3,4,5,59,60這60個(gè)數(shù)中,第一次從左向右劃去奇數(shù)位上的數(shù);第二次在剩下的數(shù)中,再從左向右劃去奇數(shù)位上的數(shù);如此繼續(xù)下去,最后剩下一個(gè)數(shù)時(shí),這個(gè)數(shù)是_.4. 把寫有1,2,3,,25的25張卡片按順序疊齊,寫有1的卡片放在最上面,下面進(jìn)行這樣的操作:把第一張卡片放到最下面,把第二張卡片扔掉;再把第一張卡片放到最下面,把第二張卡片扔掉;按同樣的方法,反復(fù)進(jìn)行多次操作,當(dāng)剩下最后一張卡片時(shí),卡片上寫的是_.5. 一副撲克共54張,最上面的一張是紅桃K.如果每次把最上面的4張牌,移到最下面而不改變它們的順序及朝向,那么,至少經(jīng)過_次移動,紅桃K才會出現(xiàn)在最上面.6. 寫出一個(gè)自然數(shù)A,把A的十位數(shù)字與百位數(shù)字相加,再乘以個(gè)位數(shù)字,把所得之積的個(gè)位數(shù)字續(xù)寫在A的末尾,稱為一次操作.如果開始時(shí)A=1999,對1999進(jìn)行一次操作得到19992,再對19992進(jìn)行一次操作得到199926,如此進(jìn)行下去直到得出一個(gè)1999位數(shù)為止,這個(gè)1999位數(shù)的各位數(shù)字之和是_.7. 黑板上寫有1987個(gè)數(shù):1,2,3,,1986,1987.任意擦去若干個(gè)數(shù),并添上被擦去的這些數(shù)的和被7除的余數(shù),稱為一個(gè)操作.如果經(jīng)過若干次這種操作,黑板上只剩下了兩個(gè)數(shù),一個(gè)是987,那么,另一個(gè)數(shù)是_.8.下圖中有5個(gè)圍棋子圍成一圈.現(xiàn)在將同色的兩子之間放入一個(gè)白子,在異色的兩子之間放入一個(gè)黑子,然后將原來的5個(gè)拿掉,剩下新放入的5個(gè)子中最多能有_個(gè)黑子.9. 在圓周上寫上數(shù)1,2,4然后在每兩個(gè)相鄰的數(shù)之間寫上它們的和(于是共得到6個(gè)數(shù):1,3,2,6,4,5)再重復(fù)這一過程5次,圓周上共出現(xiàn)192個(gè)數(shù),則所有這些數(shù)的和是_.10. 在黑板上任意寫一個(gè)自然數(shù),然后用與這個(gè)自然數(shù)互質(zhì)并且大于1的最小自然數(shù)替換這個(gè)數(shù),稱為一次操作,那么最多經(jīng)過_次操作,黑板上就會出現(xiàn)2.二、解答題11甲盒中放有1993個(gè)白球和1994個(gè)黑球,乙盒中放有足夠多個(gè)黑球.現(xiàn)在每次從甲盒中任取兩球放在外面,但當(dāng)被取出的兩球同色時(shí),需從乙盒中取出一個(gè)黑球放入甲盒;當(dāng)被取出的兩球異色時(shí),便將其中的白球再放回甲盒,這樣經(jīng)過3985次取、放之后,甲盒中剩下幾個(gè)球?各是什么顏色的球?0010023412如圖是一個(gè)圓盤,中心軸固定在黑板上,開始時(shí),圓盤上每個(gè)數(shù)字所對應(yīng)的黑板處均寫著0,然后轉(zhuǎn)動圓盤,每次可以轉(zhuǎn)動的任意整數(shù)倍,圓盤上的四個(gè)數(shù)將分別正對著黑板上寫數(shù)的位置.將圓盤上的數(shù)加到黑板上對應(yīng)位置的數(shù)上,問:經(jīng)過若干次后,黑板上的四個(gè)數(shù)是否可能都是1999?13. 有三堆石子,每次允許由每堆中拿掉一個(gè)或相同數(shù)目的石子(每次這個(gè)數(shù)目不一定相同),或由任一堆中取一半石子(如果這堆石子是偶數(shù)個(gè))放入另外任一堆中,開始時(shí)三堆石子數(shù)分別為1989,989,89.如按上述方式進(jìn)行操作,能否把這三堆石子都取光?如行,請?jiān)O(shè)計(jì)一種取石子的方案,如不行,說明理由.·121110987654321·12111098765432114. 如圖,圓周上順次排列著1、2、3、12這十二個(gè)數(shù),我們規(guī)定:相鄰的四個(gè)數(shù)a1、a2、a3、a4順序顛倒為a4、a3、a2、a1,稱為一次“變換”(如:1、2、3、4變?yōu)?、3、2、1,又如:11、12、1、2變?yōu)?、1、12、11).能否經(jīng)過有限次“變換”,將十二個(gè)數(shù)的順序變?yōu)?、1、2、3、8、10、11、12(如圖)?請說明理由.答 案 1. 48每操作一次,兩個(gè)數(shù)的差減少6,經(jīng)(612-324)6=48次操作后兩個(gè)數(shù)相等.2. 222由于操作后所得到的數(shù)與原數(shù)被9除所得的余數(shù)相同,因此操作最后為7的數(shù)一定是原數(shù)除以9余7的數(shù),即7,16,25,,1996,一共有(1996-7)9+1=222(個(gè))3 32第一次操作后,剩下2,4,6,60這30個(gè)偶數(shù);第二次操作后,剩下4,8,12,60這15個(gè)數(shù)(都是4的倍數(shù));第三次操作后,剩下8,16,24,56這7個(gè)數(shù)(都是8的倍數(shù));第四次操作后,剩下16,32,48這3個(gè)數(shù);第五次操作后,剩下一個(gè)數(shù),是32.4. 19第一輪操作,保留1,3,5,,25共13張卡片;第二輪保留3,7,11,15,19,23這6張卡片;第三輪保留3,11,19這3張卡片;接著扔掉11,3;最后剩下的一張卡片是19.5. 27次因?yàn)?4,4=108,所以移動108張牌,又回到原來的狀況.又因?yàn)槊看我苿?張牌,所以至少移動1084=27(次).6. 66按照操作的規(guī)則,尋找規(guī)律知,A=1999時(shí)得到的1999位數(shù)為:19992668646000.其各位數(shù)字和為1+9+9+9+2+6+6+8+6+4 +6=667. 0黑板上的數(shù)的和除以7的余數(shù)始終不變.(1+2+3+1987)¸7=282154又1+2+3+1987=1987994=19871427是7的倍數(shù).所以黑板上剩下的兩個(gè)數(shù)之和為7的倍數(shù).又987=7141是7的倍數(shù),所以剩下的另一個(gè)數(shù)也應(yīng)是7的倍數(shù),又這個(gè)數(shù)是某些數(shù)的和除以7的余數(shù),故這個(gè)數(shù)只能是0.8. 4個(gè)提示:因?yàn)?個(gè)子不可能黑白相間,所以永遠(yuǎn)不會得到5個(gè)全是黑子.9. 5103記第i次操作后,圓周上所有數(shù)的和為ai,依題意,得ai+1=2ai+ai=3ai.又原來三數(shù)的和為a0=1+2+4=7,所以a1=3a0=21,a2=3a1=63,a3=3a2=189,a4=3a3=567,a5=3a4=1701,a6=3a5=5103,即所有數(shù)的和為5103.10. 2如果寫的是奇數(shù),只需1次操作;如果寫的是大于2的偶數(shù),經(jīng)過1次操作變?yōu)槠鏀?shù),再操作1次變?yōu)?.11. 由操作規(guī)則知,每次操作后,甲盒中球數(shù)減少一個(gè),因此經(jīng)過3985次操作后,甲盒中剩下1993+1994-3985=2個(gè)球.每次操作白球數(shù)要么不變,要么減少2個(gè).因此,每次操作后甲盒中白球數(shù)的奇偶性不變;即白球數(shù)為奇數(shù).因此最后剩下的2個(gè)球中,白球1個(gè),故另一個(gè)必為黑球.12. 每次加上的數(shù)之和是1+2+3+4=10,所以黑板上的四個(gè)數(shù)之和永遠(yuǎn)是10的整數(shù)倍.因此,無論如何操作,黑板上的四個(gè)數(shù)不可能都是1999.13. 要把三堆石子都取光是不可能的.按操作規(guī)則,每次拿出去的石子總和是3的倍數(shù),即不改變石子總數(shù)被3除的余數(shù).而1989+989+89=3067被3除余1,三堆石子取光時(shí)總和被3除余0.所以,三堆石子都取光是辦不到的.14. 能·10111212·10111212·10111221·121110987654321 解:如上圖所示,經(jīng)過兩次變換,10、11、12三個(gè)數(shù)被順時(shí)針移動了兩個(gè)位置.仿此,再經(jīng)過3次這樣的兩次變換,10、11、12三個(gè)數(shù)又被順時(shí)針移動了六個(gè)位置,變?yōu)橄聢D,圖中十二個(gè)數(shù)的順序符合題意.

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