數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想領(lǐng)航 四 轉(zhuǎn)化與化歸思想 文

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1、方法一一般與特殊的轉(zhuǎn)化問題方法二數(shù)與形的轉(zhuǎn)化問題方法三形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化問題四、 轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.方法一方法一一般與特殊的轉(zhuǎn)化問題模型解法一般和特殊之間的轉(zhuǎn)化法是在解題的過程中將某些一般問題進行特殊化處理或是將某些特殊問題進行一般化處理的方法.此方法多用于選擇題和填空題的解答.破解此類題的關(guān)鍵點：確立轉(zhuǎn)化對象，一般將要解決的問題作為轉(zhuǎn)化對象.尋找轉(zhuǎn)化元素，由一般問

2、題轉(zhuǎn)化為特殊問題時，尋找“特殊元素”；由特殊問題轉(zhuǎn)化為一般問題時，尋找“一般元素”.轉(zhuǎn)化為新問題，根據(jù)轉(zhuǎn)化對象與“特殊元素”或“一般元素”的關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為新的需要解決的問題.得出結(jié)論，求解新問題，根據(jù)所得結(jié)論求解原問題，得出結(jié)論.典例典例1已知函數(shù)f(x)(a3)xax3在1,1上的最小值為3，則實數(shù)a的取值范圍是思維升華思維升華常用的“特殊元素”有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.對于選擇題，在題設(shè)條件都成立的情況下，用特殊值探求正確選項，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規(guī)律；對于填空題，當(dāng)結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以用特殊值代替變化的

3、不定量.答案解析思維升華解析解析當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)3x，x1,1，顯然滿足條件，故排除選項A，B；當(dāng)1x1時，f(x)0，所以f(x)在1,1上單調(diào)遞減，綜上，故選D.答案解析因為點(2，1)在可行域內(nèi)，又點A(0，2)在可行域內(nèi)，方法方法二二數(shù)與形的轉(zhuǎn)化問題模型解法數(shù)與形的轉(zhuǎn)化包含由數(shù)到形和由形到數(shù)兩個方面.由數(shù)到形就是把問題的數(shù)量信息轉(zhuǎn)換為圖形信息，由形到數(shù)就是把圖形信息進行代數(shù)化處理，用數(shù)量關(guān)系刻畫事物的本質(zhì)特征，從而得解.破解此類題的關(guān)鍵點：數(shù)形轉(zhuǎn)化，確定需要等價轉(zhuǎn)化的數(shù)量關(guān)系(解析式)與圖形關(guān)系.轉(zhuǎn)化求解，通過降維等方式合理轉(zhuǎn)化，使問題簡單化并進行分析與求解.回歸結(jié)論，回歸原命題

4、，得出正確結(jié)論.典例典例2某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件的材料利用率為(材料利用率新工件的體積/原工件的體積)答案解析思維升華解析解析由三視圖知該幾何體是一個底面半徑為r1，母線長為l3的圓錐，由題意知加工成的體積最大的正方體ABCDA1B1C1D1的一個底面A1B1C1D1在圓錐的底面上，過平面AA1C1C的軸截面如圖所示，設(shè)正方體的棱長為x，思維升華思維升華數(shù)與形轉(zhuǎn)化問題，特別是空間轉(zhuǎn)化問題，往往在解決空間幾何體問題的過程中將某些空間幾何體問題進行特殊化處理，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來處理，降低維

5、度，簡化求解過程，降低難度.跟蹤演練跟蹤演練2已知直線l：ykx1(k0)與橢圓3x2y2a相交于A，B兩個不同的點，記直線l與y軸的交點為C.解答解解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).解答得(3k2)x22kx1a0，得(x1，1y1)2(x2，y21)，解得x12x2，此時橢圓的方程為3x2y25.方法三方法三形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化問題模型解法形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化法是針對幾何問題采用的一種特殊轉(zhuǎn)化方法.主要適用于涉及平行、垂直的證明，如常見線面平行、垂直的推理與證明實際就是充分利用線面位置關(guān)系中的判定定理、性質(zhì)定理實現(xiàn)位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化.破解此類題的關(guān)鍵點：分析特征，一般要分析形體特征，根據(jù)形體

6、特征確立需要轉(zhuǎn)化的對象.位置轉(zhuǎn)化，將不規(guī)則幾何體通過切割、挖補、延展等方式轉(zhuǎn)化為便于觀察、計算的常見幾何體.由于新的幾何體是轉(zhuǎn)化而來，一般需要對新的幾何體的位置關(guān)系、數(shù)據(jù)情況進行必要分析，準確理解新的幾何體的特征.得出結(jié)論，在新的幾何結(jié)構(gòu)中解決目標問題.解析思維升華典例典例3如圖，已知三棱錐PABC，PABC ，PBAC10，PCAB ，則三棱錐PABC的體積為_.答案160解析解析因為三棱錐三組對邊兩兩相等，則可將三棱錐放在一個特定的長方體中(如圖所示).把三棱錐PABC補成一個長方體AEBGFPDC，易知三棱錐PABC的各棱分別是長方體的面對角線.不妨令PEx，EBy，EAz，解得x6，y

7、8，z10，從而知三棱錐PABC的體積為V三棱錐PABCV長方體AEBGFPDCV三棱錐PAEBV三棱錐CABGV三棱錐BPDCV三棱錐AFPCV長方體AEBGFPDC4V三棱錐PAEB160.思維升華思維升華形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化常將空間問題平面化、不規(guī)則幾何體特殊化，使問題易于解決.同時也要注意方法的選取，否則會跳入自己設(shè)的“陷阱”中.跟蹤演練跟蹤演練3如圖，在棱長為5的正方體ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EF2，點Q是A1D1的中點，點P是棱C1D1上的動點，則四面體PQEF的體積A.是變量且有最大值B.是變量且有最小值C.是變量且有最大值和最小值D.是常數(shù)答案解析解析解析點Q到棱AB的距離為常數(shù)，所以EFQ的面積為定值.由C1D1EF，可得棱C1D1平面EFQ，所以點P到平面EFQ的距離是常數(shù)，于是可得四面體PQEF的體積為常數(shù).