2021版高考數(shù)學一輪復習 選修4-5 不等式選講 2 證明不等式的基本方法練習 理 北師大版

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1、 證明不等式的根本方法 考點一　綜合法證明不等式? 【典例】(2021·全國卷Ⅰ)a,b,c為正數(shù),且滿足abc=1,證明: (1)++≤a2+b2+c2. (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24. 【證明】(1)因為a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 又abc=1, 故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca==++. 當且僅當a=b=c時,取等號. 所以++≤a2+b2+c2. (2)因為a,b,c為正數(shù)且abc=1,故有 (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3 ≥3 =3(a+b)(b+c)(a+c) ≥3×(2)×(2

2、)×(2)=24. 當且僅當a=b=c時,取等號. 所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24. 1.綜合法證明不等式,要分析清與求證之間,不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進行轉(zhuǎn)換,恰中選擇不等式,這是證明的關(guān)鍵. 2.在用綜合法證明不等式時,不等式的性質(zhì)和根本不等式是最常用的.在運用這些性質(zhì)時,要注意性質(zhì)和不等式成立的條件. 考點二　分析法證明不等式? 【典例】函數(shù)f(x)=|x+1|. (1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M. (2)設(shè)a,b∈M,證明:f(ab)>f(a)-f(-b). 【解題導思】 聯(lián)想解題 (1)根據(jù)絕對值的性質(zhì)去絕

3、對值,解不等式 (2)用綜合法證明不等式不好證明時,考慮分析法證明 【解析】(1)由題意,得|x+1|<|2x+1|-1, ①當x≤-1時,不等式可化為-x-1<-2x-2,解得x<-1; ②當-11. 綜上,M={x|x<-1或x>1}. (2)因為f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1| ≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|, 所以要證f(ab)>f(a)-f(-b), 只需證|ab+1|>|a+b|,即證|ab+1|2>|a+b|2, 即證a2b2+

4、2ab+1>a2+2ab+b2, 即證a2b2-a2-b2+1>0,即證(a2-1)(b2-1)>0. 因為a,b∈M,所以a2>1,b2>1, 所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立. 1.當要證的不等式不知從何入手時,可考慮用分析法去證明,特別是對于條件簡單而結(jié)論復雜的題目往往更為有效. 2.分析法證明不等式的依據(jù)也是不等式的根本性質(zhì)、的重要不等式和邏輯推理的根本理論. 3.分析法證明不等式的思維方向是“逆推〞,即由待證的不等式出發(fā), 逐步尋找使它成立的充分條件(執(zhí)果索因),最后得到的充分條件是(或已證)的不等式. a>b>c,且a+b+c=0,求證:

5、b>c且a+b+c=0,知a>0,c<0. 要證0, 只需證(a-b)(2a+b)>0, 只需證(a-b)(a-c)>0. 因為a>b>c,所以a-b>0,a-c>0, 所以(a-b)(a-c)>0顯然成立, 故原不等式成立. 考點三　比擬法證明不等式 ? 命 題 精 解 讀 考什么:(1)考查數(shù)、代數(shù)式的大小比擬 (2)考查學生的數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)和轉(zhuǎn)化化歸、放縮等數(shù)學思想方法 怎么考:與根本初等函數(shù)、數(shù)列

6、、三角函數(shù)等數(shù)學知識交叉考查大小比擬問題 新趨勢:以不等式為載體,與函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)等結(jié)合考查為主 學 霸 好 方 法 比擬法證明不等式的思路:當題目中出現(xiàn)多項式的大小比擬時,一般采用作差法;當題目中出現(xiàn)正的單項式大小比擬時,一般采用作商法 作差法 【典例】當p,q都是正數(shù)且p+q=1時,試比擬(px+qy)2與px2+qy2的大小. 【解析】(px+qy)2-(px2+qy2) =p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2) =p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy. 因為p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p. 所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2. 因為p,q為正數(shù),所以-pq(x-y)2≤0, 所以(px+qy)2≤px2+qy2. 當且僅當x=y時,不等式中等號成立. 作商法 【典例】a,b∈R+,證明:aabb≥abba. 【證明】因為=, 當a>b時,>1,a-b>0, 故>1; 當a=b時,=1,a-b=0, 故=1; 當a1.綜上,aabb≥abba. - 5 -