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1、《數(shù)系的擴(kuò)充》高中數(shù)學(xué)選修2— 2 教案
【目標(biāo)】
?1. 了解實(shí)數(shù)系擴(kuò)充的原因和過程，理解虛單位i 的概念，理解復(fù)數(shù)代數(shù)形
式、實(shí)部、虛部、純虛數(shù)、虛數(shù)等概念；
?2. 理解復(fù)數(shù)相等概念，了解復(fù)數(shù)系與實(shí)數(shù)系的關(guān)系；
?3. 感受數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的誕生都是人類思想的創(chuàng)新和大解放，每次都引
發(fā)對(duì)自然界更深層次的認(rèn)識(shí)，推動(dòng)了科學(xué)的進(jìn)步 .
【重點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的誕生及其概念. 復(fù)數(shù)的分類（實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)）和復(fù)數(shù)相
等.
【難點(diǎn)】．虛單位i 的的概念 . 虛單位 i 的第二條性質(zhì).
【程序】
▲ 1.問題情境
問題1自然數(shù)集n、整數(shù)集z、有理數(shù)集q.實(shí)數(shù)集r之間有怎樣的包含關(guān)系
2、 呢？
key: n z, z q, q r, 總之 n z q r,（數(shù)系擴(kuò)充之意自見）.
接著問：這些數(shù)是怎樣產(chǎn)生的？
key: 為了計(jì)數(shù)產(chǎn)生了自然數(shù)，
為了表示各種具有相反意義的量產(chǎn)生了負(fù)數(shù)；
為了測量等產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)
為了度量正方形對(duì)角線的長產(chǎn)生了無理數(shù).
發(fā)現(xiàn) 1：數(shù)集在按照某種 “規(guī)則 ”不斷擴(kuò)充，（實(shí)踐的需要、解決數(shù)學(xué)體系
內(nèi)部矛盾的推動(dòng)）
數(shù)系與運(yùn)算聯(lián)系緊密，（數(shù)集無運(yùn)算，猶無弓之箭；運(yùn)算離開數(shù)系，猶如
無米之炊） .
人們總希望數(shù)系中的運(yùn)算能夠在本數(shù)系中暢通無阻.
數(shù)系的每一次擴(kuò)充的效果，是解決了在原有數(shù)集中某種運(yùn)算受阻的矛盾，
負(fù)數(shù)解決了在正數(shù)集（如n
3、）中不夠減的矛盾，
分?jǐn)?shù)解決了在整數(shù)中不能整除的矛盾，
無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾.
接著問：數(shù)系一般按照什么樣的 “規(guī)則 ”擴(kuò)充？
key: 規(guī)則“ ”就是
在原有數(shù)系的基礎(chǔ)上 “添加 ”新的數(shù) .
▲ 2.實(shí)數(shù)系也面臨著問題（內(nèi)部矛盾）
數(shù)系擴(kuò)到實(shí)數(shù)系 r 以后，因?yàn)闆]有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于－ 1.
問題：這表明什么運(yùn)算在實(shí)數(shù)系 r 中不能暢通無阻？（答：開方運(yùn)算）
從方程的觀點(diǎn)看，像 x2= － 1 這樣的方程在實(shí)數(shù)系 r 還是無解的 .
讓我們嘗試來克服這個(gè)矛盾.
▲ 3.大膽類比、解放思想
評(píng)：自然數(shù)n 中 “添加 ”新數(shù) -1 ，就 “忽如一夜春風(fēng)來，千樹萬
4、樹梨花開 ”.
在實(shí)數(shù)中引入了一個(gè)新數(shù) ，也能取到這種效果嗎？
▲ 4.嚴(yán)格定義、理清思路
我們引入一個(gè)新數(shù) ，叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定
(1)它的平方等于-1 ，即 ;
(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然
成立 .
這就規(guī)定了虛數(shù)單位i 的兩條本質(zhì)屬性.
▲ 5. 添加“ ”虛數(shù)單位，誕生新的數(shù)系
1) i與實(shí)數(shù)相乘，得形如b i的數(shù)，當(dāng)b*0時(shí)，稱b i為純虛數(shù).這就 忽 如一夜春風(fēng)來，千樹萬樹梨花開”
2) 2) 形如 b i 的數(shù)與實(shí)數(shù) 相加，得形如 的數(shù)叫復(fù)數(shù).
復(fù)數(shù)的定義：形如 的數(shù)叫復(fù)數(shù)， 叫復(fù)數(shù)的實(shí)部， 叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)
所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母c 表示
復(fù)數(shù)通常用字母z 表示，即 ，把復(fù)數(shù)表示成 的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式
▲ 6.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0 的關(guān)系
對(duì)于復(fù)數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)b=0 時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù) ；
當(dāng)bw。時(shí)，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)；
當(dāng)bw。且=0時(shí)，叫做純虛數(shù)；
▲ 且僅當(dāng)=b=0時(shí)，z=+b i就是實(shí)數(shù)0.
▲ 7.例題解析
例 1 請(qǐng)說出復(fù)數(shù)4， 0， ， 6 的實(shí)部與虛部，并指出哪些是實(shí)數(shù)，哪些是
虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)？
由學(xué)生回答：
例2實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m (m-1) +(m—1)i是:(1)實(shí)數(shù)？ (2)虛 數(shù)？(3)純虛數(shù)？
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