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1、2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)
雙基達(dá)標(biāo) (限時20分鐘)
1．經(jīng)過拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程是 ( )．
A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
解析 設(shè)直線l的方程為3x－2y＋c＝0，拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)F(，0)，所以3×－2×0
＋c＝0，
所以c＝－，故直線l的方程是6x－4y－3＝0.選A.
答案 A
2．過點(diǎn)(1，0)作斜率為－2的直線，與拋物線y
2、2＝8x交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為 ( )．
A．2 B．2
C．2 D．2
解析 不妨設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1>x2.由直線AB斜率為－2，
且過點(diǎn)(1，0)得直線AB的方程為y＝－2(x－1)，代入拋物線方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，
整理得x2－4x＋1＝0，解得x1＝2＋，x2＝2－，代入直線AB方程得y1＝－2－2，
y2＝2－2.故A(2＋，－2－2)，B(2－，2－2)．
|AB|＝＝2.
3、
答案 B
3．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 ( )．
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析 拋物線的焦點(diǎn)為F(，0)，所以過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y(tǒng)
＋，代入y2＝2px得y2＝2p(y＋)＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得
＝p＝2(y1，y
4、2分別為點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo))，所以拋物線方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x
＝－1.
答案 B
4．拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以y軸為對稱軸，過焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長為16，則拋物線方程為________．
解析 ∵過焦點(diǎn)且與對稱軸y軸垂直的弦長等于p的2倍．
∴所求拋物線方程為x2＝±16y.
答案 x2＝±16y
5．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若·＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________．
解析 ∵拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，設(shè)A(，y0)，
則＝(，y0)，＝(1－，－y0)，
由·＝－4，得y0＝±2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，2)或(1，－
5、2)．
答案 (1，2)或(1，－2)
6．求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4；
(2)頂點(diǎn)是雙曲線16x2－9y2＝144的中心，準(zhǔn)線過雙曲線的左頂點(diǎn)，且垂直于坐標(biāo)軸．
解 (1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的圖形易知：頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故＝4，p＝8.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝±16x或x2＝±16y.
(2)雙曲線方程16x2－9y2＝144化為標(biāo)準(zhǔn)形式為－＝1，中心為原點(diǎn)，左頂點(diǎn)為(－3，0)，故拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為x＝－3.由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)，可得＝3，故p＝6.因此，所求拋物
6、線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x.
綜合提高（限時25分鐘）
7．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)．若|FA|＝2|FB|，則k＝ ( )．
A. B. C. D.
解析 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4，
7、 ①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，
|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，
∴x1＝2x2＋2. ②
由①②得x2＝1，
∴B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.故選D.
答案 D
8．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，自M，N向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M1，N1，則∠M1FN1等于 ( )．
A．45° B．60° C．90° D．
8、120°
解析 如圖，由拋物線的定義，
得|MF|＝|MM1|，|NF|＝|NN1|.
∴∠MFM1＝∠MM1F，
∠NFN1＝∠NN1F.
設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為F1，
∵M(jìn)M1∥FF1∥NN1，
∴∠MM1F＝∠M1FF1，
∠NN1F＝∠N1FF1.
而∠MFM1＋∠M1FF1＋∠NFN1＋∠N1FF1＝180°，
∴2∠M1FF1＋2∠N1FF1＝180°，即∠M1FN1＝90°.
答案 C
9．邊長為1的等邊三角形AOB，O為原點(diǎn)，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點(diǎn)，且過A，B的拋物線方程是________．
解析 該等邊三角形的高為.因而A點(diǎn)坐標(biāo)為或.可設(shè)拋物線方
9、程為y2＝2px(p≠0)．A在拋物線上，因而p＝±.因而所求拋物線方程為y2＝±x.
答案 y2＝±x
10．設(shè)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0)．直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為(2，2)，則直線l的方程為________．
解析 拋物線的方程為y2＝4x，
設(shè)直線l與拋物線C的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則有x1≠x2，
兩式相減得，y12－y22＝4(x1－x2)，
∴＝＝1，
∴直線l的方程為y－2＝x－2，即y＝x.
答案 y＝x
11．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線y＝2x＋1截得的弦長為，求拋物線的方程
10、．
解 設(shè)拋物線的方程為y2＝2px，
則消去y，得
4x2－(2p－4)x＋1＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x1＋x2 ＝，x1x2＝.
|AB|＝|x1－x2|＝
＝＝.
則＝，p2－4p－12＝0，
p＝－2或6.∴y2＝－4x或y2＝12x.
12．(創(chuàng)新拓展)如圖，已知△AOB的一個頂點(diǎn)為拋物線y2＝2x的頂點(diǎn)O，A、B兩點(diǎn)都在拋物線上，且∠AOB＝90°.
(1)證明直線AB必過一定點(diǎn)；
(2)求△AOB面積的最小值．
(1)證明 設(shè)OA所在直線的方程為y＝kx(k≠0)，則直線OB的方程為y＝－x，
由解得或
即A點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)．
同樣由解得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2k2，－2k)．
∴AB所在直線的方程為y＋2k＝(x－2k2)，
化簡并整理，得(－k)y＝x－2.
不論實(shí)數(shù)k取任何不等于0的實(shí)數(shù)，當(dāng)x＝2時，恒有y＝0.
故直線過定點(diǎn)P(2，0)．
(2)解 由于AB所在直線過定點(diǎn)P(2，0)，所以可設(shè)AB所在直線的方程為x＝my＋2.
由消去x并整理得y2－2my－4＝0.
∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
于是|y1－y2|＝＝＝＝2.
S△AOB＝×|OP|×(|y1|＋|y2|)
＝|OP|·|y1－y2|＝×2×2＝2.
∴當(dāng)m＝0時，△AOB的面積取得最小值為4.
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