六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題-2019小學(xué)奧數(shù)系統(tǒng)講義完整版人教新課標(biāo)（2014秋）（無(wú)答案）

《六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題-2019小學(xué)奧數(shù)系統(tǒng)講義完整版人教新課標(biāo)（2014秋）（無(wú)答案）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題-2019小學(xué)奧數(shù)系統(tǒng)講義完整版人教新課標(biāo)（2014秋）（無(wú)答案）（39頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)分類小學(xué)奧數(shù)大約 80 個(gè)知識(shí)點(diǎn)，可分成 5 大類，數(shù)論和行程是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。小學(xué)奧數(shù)系統(tǒng)復(fù)習(xí)講義(完整版)2 2 2 23 3 3 36 速算巧算基本方法湊整法、改變運(yùn)算次序法、連續(xù)數(shù)求和、基準(zhǔn)法、分組法、拆分法7 等差數(shù)列，等比數(shù)列，【拆分與裂項(xiàng)】，【換元法】，【錯(cuò)位相消法】，【構(gòu)造法】等較難的計(jì)算方法。拆分裂項(xiàng)公式：等差數(shù)列公式：第一部分計(jì)算能力萬(wàn)丈高樓平地起，計(jì)算能力任何時(shí)候都是學(xué)好數(shù)學(xué)的根基，必須高度重視！基本公式1 運(yùn)算順序第一級(jí)：括號(hào)：（ ） 第二級(jí)：: 同一級(jí)別可以交換運(yùn)算次序簡(jiǎn)單等比公式：例題分析第三級(jí)： 同一級(jí)別可以交換運(yùn)算次序2 去括號(hào)1.393+404+3

2、97+398+405+401+400+399+391+402a(bc)=abc a(bc)=abca(bc)=abc a(bc)=abca(bc)=abc a(bc)=abc2.比較下面 A,B 兩數(shù)的大?。篈=20092009， B=20082010 a(bc)=abc a(bc)=abc3 分配律/結(jié)合律乘法: a(bc) = abacabac = a(bc)除法：(ab) c = acb cacb c = (ab) c4 兩個(gè)必須掌握的性質(zhì)兩個(gè)數(shù)的和一定，則兩數(shù)越相近，積越大3.4.結(jié)果末尾有多少個(gè)零？100 999897969510987654321兩個(gè)數(shù)的積一定，則兩數(shù)越分散，和越大

3、鞏固練習(xí)5 幾個(gè)計(jì)算公式2 225.3763853913803773893833743663782 2求和公式一:1+2+3+n =計(jì)算能力速算與巧算、分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)、循環(huán)小數(shù)、分?jǐn)?shù)拆分、四則混合運(yùn)算等等基礎(chǔ)知識(shí)和差倍、年齡、植樹、周期、雞兔、方陣、邏輯、容斥、排列組合等圖形問(wèn)題平面圖形、立體圖形、幾何計(jì)數(shù)、周長(zhǎng)面積、表面積體積、陰影面積行程問(wèn)題相遇、追及、行程、流水、過(guò)橋、時(shí)鐘、圓周、發(fā)車間隔等等數(shù)論問(wèn)題平方數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、整除、余數(shù)、進(jìn)制求和公式二：1 +2 +3 +n =求和公式三：1 +2 +3 +n =完全平方和（差）公式：（ab） = a 2ab+b平方差公式：

4、 a -b = (a+b)(a-b)6.150+250+350+505020102010第二部分基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)列表7.8.999999920097777333311119.比較下面 A,B 兩數(shù)的大?。篈987654321123456789；B987654322123456788歸一問(wèn)題【含義】在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】 總量份數(shù)1 份數(shù)量10. 19961994199219901988198619841982198019781976197419721970421 份數(shù)量所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量另一總量（

5、總量份數(shù)）所求份數(shù)【解題思路】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。【例題】買 5 支鉛筆要 0.6 元錢，買同樣的鉛筆 16 支，需要多少錢？解：（1）買 1 支鉛筆多少錢？0.650.12（元）（2）買 16 支鉛筆需要多少錢？0.12161.92（元）列成綜合算式：0.65160.12161.92（元）答：需要 1.92 元。11. 3 臺(tái)拖拉機(jī) 3 天耕地 90 公頃，5 臺(tái)拖拉機(jī) 6 天耕地多少公頃？12. 5 輛汽車 4 次可以運(yùn)送 100 噸鋼材，如果用同樣的 7 輛汽車運(yùn)送 105噸鋼材，需要運(yùn)幾次？歸總問(wèn)題【含義】解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出

6、所求的問(wèn)題，叫歸總問(wèn)題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。序號(hào)知識(shí)點(diǎn)名稱序號(hào)知識(shí)點(diǎn)名稱序號(hào)知識(shí)點(diǎn)名稱1歸一歸總9雞兔問(wèn)題17加法乘法原理2和差問(wèn)題10方陣問(wèn)題18排列與組合3和倍問(wèn)題11抽屜問(wèn)題19商品利潤(rùn)4差倍問(wèn)題12容斥問(wèn)題20存款利息5植樹問(wèn)題13邏輯問(wèn)題21濃度問(wèn)題6年齡問(wèn)題14數(shù)字謎22工程問(wèn)題7盈虧問(wèn)題15等差數(shù)列23正反比例8周期問(wèn)題16一筆畫24牛吃草問(wèn)題【數(shù)量關(guān)系】 1 份數(shù)量份數(shù)總量總量1 份數(shù)量份數(shù)總量另一份數(shù)另一每份數(shù)量【解題思路】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。17. 甲乙兩車原來(lái)共裝蘋果 97 筐

7、，從甲車取下 14 筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多 3 筐，兩車原來(lái)各裝蘋果多少筐？【例題】服裝廠原來(lái)做一套衣服用布 3.2 米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服和倍問(wèn)題用布 2.8 米。原來(lái)做 791 套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？解：（1）這批布總共有多少米？ 3.27912531.2（米）（2）現(xiàn)在可以做多少套？ 2531.22.8904（套）列成綜合算式 3.27912.8904（套）答：現(xiàn)在可以做 904 套。13. 小華每天讀 24 頁(yè)書，12 天讀完了紅巖一書。小明每天讀 36 頁(yè)書，幾天可以讀完紅巖？14. 食堂運(yùn)來(lái)一批蔬菜，原計(jì)劃每天吃 50 千克，30 天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來(lái)

8、根據(jù)大家的意見，每天比原計(jì)劃多吃 10 千克，這批蔬菜可以吃多少天？【含義】已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】總和 （幾倍1）較小的數(shù)總和 較小的數(shù) 較大的數(shù)較小的數(shù) 幾倍 較大的數(shù)【解題思路】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式?！纠}】果園里有杏樹和桃樹共 248 棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的 3 倍，求杏樹、桃樹各多少棵？解：（1）杏樹有多少棵？ 248（31）62（棵）（2）桃樹有多少棵？ 623186（棵）答：杏樹有 62 棵，桃樹有 186 棵。18. 東西兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共存糧 480 噸，東庫(kù)存糧

9、數(shù)是西庫(kù)存糧數(shù)的 1.4 倍，求兩庫(kù)各存糧多少噸？和差問(wèn)題【含義】已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】大數(shù)（和差） 2小數(shù)（和差） 2【解題思路】簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式?！纠}】甲乙兩班共學(xué)生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求兩班各有多少人？解：甲班人數(shù)（986）252（人）乙班人數(shù)（986）246（人）答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。19. 甲站原有車 52 輛，乙站原有車 32 輛，若每天從甲站開往乙站 28 輛，從乙站開往甲站 24 輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的 2 倍？20. 甲乙丙三數(shù)之和是 170，乙比

10、甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三數(shù)各是多少？15. 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之和為 18 厘米，長(zhǎng)比寬多 2 厘米，求長(zhǎng)方形的面積?差倍問(wèn)題【含義】已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題。16. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重 32 千克，乙丙兩袋共重 30 千克，甲丙兩袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。【數(shù)量關(guān)系】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差（幾倍1）較小的數(shù)較小的數(shù)幾倍較大的數(shù)【解題思路】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式?！纠}】果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的 3 倍，而且桃樹比杏樹多 124 棵。求杏樹、桃樹各多少

11、棵？25. 甲乙丙三人鋸?fù)瑯哟旨?xì)的鋼條，分別領(lǐng)取 1.6 米，2 米，1.2 米長(zhǎng)的鋼條，要求都按 0.4 米規(guī)格鋸開，勞動(dòng)結(jié)束后，甲乙丙分別鋸了 24解：（1）杏樹有多少棵？（2）桃樹有多少棵？124（31）62（棵）623186（棵）段，25 段，27 段，誰(shuí)鋸鋼條的速度最快？答：果園里杏樹是 62 棵，桃樹是 186 棵。21. 爸爸比兒子大 27 歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的 4 倍，求父子二人今年各是多少歲？26. 某一淡水湖的周長(zhǎng) 1350 米,在湖邊每隔 9 米種柳樹一株,在兩株柳樹中間種植 2 株夾枝桃,可栽柳樹多少株?可栽?shī)A枝桃多少株?兩株夾枝桃之間相距多少米?22. 商

12、場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理辦法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍還多 12 萬(wàn)元，又知本月盈利比上月盈利多 30 萬(wàn)元，這兩個(gè)月盈利各是多少萬(wàn)元？27. 一座大橋長(zhǎng) 500 米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔 50 米有一個(gè)電桿，每個(gè)電桿上安裝 2 盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？23. 糧庫(kù)有 94 噸小麥和 138 噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是 10 噸，多少天后，玉米是小麥的 12 倍？年齡問(wèn)題【含義】這類問(wèn)題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化。植樹問(wèn)題【數(shù)量關(guān)系】年齡問(wèn)題往往與和差、和倍、差倍問(wèn)題有著密切聯(lián)系，尤其基本

13、類型及公式：在直線上或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹?；竟剑嚎脴?段數(shù)1；棵距（段長(zhǎng)）段數(shù)=總長(zhǎng)在直線上或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹?；竟剑嚎脴?段數(shù)1；棵距（段長(zhǎng)）段數(shù)=總長(zhǎng)在封閉曲線上植樹：基本公式：棵樹=段數(shù)；棵距（段長(zhǎng)）段數(shù)=總長(zhǎng)關(guān)鍵問(wèn)題：確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系。【例題】一條河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，頭尾都栽，共栽多少棵垂柳？解：1362168169（棵）答：一共要栽 69 棵垂柳。24. 一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為 400 米，在岸邊每隔 4 米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？與差倍問(wèn)題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)

14、?！窘忸}思路】可以利用“差倍問(wèn)題”的解題思路和方法?！纠}】爸爸今年 35 歲，亮亮今年 5 歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？解 3557（倍） （35+1）（5+1）6（倍）答：今年爸爸的年齡是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年齡是亮亮的 6 倍。28. 母親今年 37 歲，女兒 7 歲，幾年后母親年齡是女兒的 4 倍？29. 3 年前父子的年齡和是 49 歲，今年父親的年齡是兒子年齡的 4 倍，父子今年各多少歲？30. 甲對(duì)乙說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才 4 歲”。乙對(duì)甲說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)將來(lái)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將 61 歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？識(shí)來(lái)解決。在研究這些簡(jiǎn)

15、單周期問(wèn)題時(shí)，我們首先要仔細(xì)審題，判斷其不斷重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律，也就是找出循環(huán)的固定數(shù)，如果正好有個(gè)整數(shù)周期，結(jié)果為周期里的最后一個(gè)；如果不是從第一個(gè)開始循環(huán)，利用除法算式求出余數(shù)，最后根據(jù)余數(shù)的大小得出正確的結(jié)果。盈虧問(wèn)題周期現(xiàn)象：事物在變化過(guò)程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫周期?！竞x】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問(wèn)題。閏年：四年一閏，百年不閏，四百年再閏；月份：1、3、5、7、8、10、12 月大。解答周期問(wèn)題的關(guān)鍵：【數(shù)量關(guān)系】一般地說(shuō)，在兩次

16、分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)（盈虧）分配差找出周期 T,考察余數(shù)，注意周期的首尾兩數(shù)。如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)（大盈小盈）分配差參加分配總?cè)藬?shù)（大虧小虧）分配差【解題思路】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式?！纠}】給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分 3 個(gè)就余 11 個(gè)；若每人分 4個(gè)就少 1 個(gè)。問(wèn)有多少小朋友？有多少個(gè)蘋果？解：按照“參加分配的總?cè)藬?shù)（盈虧）分配差”的數(shù)量關(guān)系：（1）有小朋友多少人？ （111）（43）12（人）（2）有多少個(gè)蘋果？ 3121147（個(gè)）答：有小朋友 12 人，有 47 個(gè)蘋果。31. 修一條公路，如果每天修 260 米，

17、修完全長(zhǎng)就得延長(zhǎng) 8 天；如果每天修 300 米，修完全長(zhǎng)仍得延長(zhǎng) 4 天。這條路全長(zhǎng)多少米？32. 學(xué)校組織春游，如果每輛車坐 40 人，就余下 30 人；如果每輛車坐 45人，就剛好坐完。問(wèn)有多少車？多少人？例題分析【例 1】元旦是星期日，那么同年的國(guó)慶節(jié)是星期幾？【解】平年元旦到國(guó)慶節(jié)共有的天數(shù)：31+28+31+30+31+30+31+31+30+1=274；循環(huán)的周期和余數(shù)：2747=391；平年的國(guó)慶節(jié)是星期日；整周期的第一個(gè)數(shù)閏年元旦到國(guó)慶節(jié)共有的天數(shù)：274+1=275；循環(huán)的周期和余數(shù)：2757=392；閏年的國(guó)慶節(jié)是星期一；整周期的第二個(gè)數(shù)【例 2】甲、乙、丙三名學(xué)生，每天

18、早晨輪流為李奶奶取牛奶，甲第一次取奶是星期一，那么，他第 100 次取奶是星期_?！窘狻?1 天內(nèi)，每人取奶 7 次，甲第 8 次取奶又是星期一，即每取 7 次奶為一個(gè)周期 1007142，所以甲第 100 次取奶是星期二?；A(chǔ)務(wù)實(shí)33. 1989 年 12 月 5 日是星期二，那么再過(guò)十年的 12 月 5 日是星期幾？周期問(wèn)題在日常生活中，有一些現(xiàn)象按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)。如：人調(diào)查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬；一年有春夏秋冬四個(gè)季節(jié)；一個(gè)星期有七天等。像這樣日常生活中常碰到的有一定周期的問(wèn)題，我們稱為簡(jiǎn)單周期問(wèn)題。這類問(wèn)題一般要利用余數(shù)的知34. 小學(xué)生數(shù)學(xué)

19、報(bào)每周星期五出版一期，1994 年 10 月份第 1 期是 10月 7 日出版的，1995 年 1 月份第 1 期應(yīng)在 1 月幾日出版？35. 果園里要種 100 棵果樹，要求每六棵為一組。第一棵種蘋果樹，第二、雞兔同籠三棵種梨樹，后面三棵，即第四、第五、第六棵種桃樹。那么，最后一棵應(yīng)種什么樹？在這 100 棵樹中，有蘋果樹、梨樹、桃樹各多少棵？36. 節(jié)日的校園內(nèi)掛起了一盞盞小電燈，小明看出每?jī)蓚€(gè)白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩燈也就是說(shuō)，從第一盞白燈起，每一盞白燈后面緊接著有 3 盞彩燈。那么第 73 盞燈是什么顏色的燈？37. 小明把節(jié)省下來(lái)的硬幣先按四個(gè) 1 分，再按三個(gè) 2 分，最后按兩

20、個(gè) 5分這樣的順序往下排。那么，他排的第 111 個(gè)是幾分硬幣，這 111 個(gè)硬幣共多少元？38. 如果時(shí)鐘現(xiàn)在表示的時(shí)間是 18 點(diǎn)整，那么分針旋轉(zhuǎn) 1990 圈之后是幾點(diǎn)鐘？39. 某年的 10 月里有 5 個(gè)星期六，4 個(gè)星期日。問(wèn)：這年的 10 月 1 日是星期幾？【含義】這是古典的算術(shù)問(wèn)題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問(wèn)題，叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問(wèn)題叫做第二雞兔同籠問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問(wèn)題：假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)（實(shí)際腳數(shù)2雞兔總數(shù)）（42）假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)（4雞兔總數(shù)實(shí)際腳數(shù)）（42）第

21、二雞兔同籠問(wèn)題：假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)（2雞兔總數(shù)雞與兔腳之差）（42）假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)（4雞兔總數(shù)雞與兔腳之差）（42）【解題思路】解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。通過(guò)先假設(shè)，再置換，使問(wèn)題得到解決。【例題】長(zhǎng)毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四請(qǐng)你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？解：假設(shè) 35 只全為兔，則雞數(shù)（43594）（42）23（只）兔數(shù)352312（只）也可以先假設(shè) 35 只全為雞，則兔數(shù)（94235）（42）12（只）雞數(shù)351223（

22、只）答：有雞 23 只，有兔 12 只。43. 2 畝菠菜要施肥 1 千克，5 畝白菜要施肥 3 千克，兩種菜共 16 畝，施肥 9 千克，求白菜有多少畝？40. 學(xué)校一學(xué)期共安排 86 節(jié)數(shù)學(xué)課，單周一、三、五每天兩節(jié)，雙周二、四每天兩節(jié)。開學(xué)第一周星期一開學(xué)典禮沒(méi)上課，從星期三開始上，則最后一節(jié)數(shù)學(xué)課是星期幾上的？41. 1993 年一月份有 4 個(gè)星期四、5 個(gè)星期五，1993 年 1 月 4 日是星期幾？44. 李老師用 69 元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共 45 本，作業(yè)本每本 3.20元，日記本每本 0.70 元。問(wèn)作業(yè)本和日記本各買了多少本？45. （第二雞兔同籠問(wèn)題）雞兔共有 10

23、0 只，雞的腳比兔的腳多 80 只，問(wèn)雞與兔各多少只？42. 有一串?dāng)?shù)排成一行，其中第一個(gè)數(shù)是 15，第二個(gè)數(shù)是 40，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)恰好是前兩個(gè)數(shù)的和，那么在這串?dāng)?shù)中，第 1991 個(gè)數(shù)被 3 除，所得的余數(shù)是多少？46. 有 100 個(gè)饃 100 個(gè)和尚吃，大和尚一人吃 3 個(gè)饃，小和尚 3 人吃 1 個(gè)饃，問(wèn)大小和尚各多少人？方陣問(wèn)題個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中放著 2 個(gè)或更多的物體（元素）?！竞x】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：四周人數(shù)（每邊人數(shù)1）4每邊人數(shù)

24、四周人數(shù)41（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)每邊人數(shù)每邊人數(shù)內(nèi)邊人數(shù)外邊人數(shù)層數(shù)2（3）若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：總?cè)藬?shù)（每邊人數(shù)層數(shù)）層數(shù)4【解題思路】方陣問(wèn)題有實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。【例題】在育才小學(xué)的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行 22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？解：2222484（人）抽屜原則可以推廣為：如果有 m 個(gè)抽屜，有 kmr（0rm）個(gè)元素那么至少有一個(gè)抽屜中要放（k1）個(gè)或更多的元素。通俗地說(shuō)，如果元素的個(gè)數(shù)是抽屜個(gè)數(shù)的 k 倍多一些，那么至少有一個(gè)抽屜要放

25、（k1）個(gè)或更多的元素?！窘忸}思路】（1）改造抽屜，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屜；（3）說(shuō)明理由，得出結(jié)論。【例題】育才小學(xué)有 367 個(gè) 1999 年出生的學(xué)生，那么其中至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同一天的？解：由于 1999 年是潤(rùn)年，全年共有 366 天，可以看作 366 個(gè)“抽屜”，把 367 個(gè) 1999 年出生的學(xué)生看作 367 個(gè)“元素”。367 個(gè)“元素”放進(jìn)366 個(gè)“抽屜”中，至少有一個(gè)“抽屜”中放有 2 個(gè)或更多的“元素”。 這說(shuō)明至少有 2 個(gè)學(xué)生的生日是同一天的。50. 有一四種顏色的小旗，任意取出三個(gè)排成一排，表示各種信號(hào)，在 200個(gè)信號(hào)中至少有多少個(gè)信號(hào)相

26、同？答：參加體操表演的同學(xué)一共有 484 人。47. 有一個(gè) 3 層中空方陣，最外邊一層有 10 人，求全方陣的人數(shù)。51. 書法競(jìng)賽的獎(jiǎng)品是筆、墨、紙、硯四種，每位獲獎(jiǎng)?wù)呖扇芜x其中兩種獎(jiǎng)品。問(wèn)至少應(yīng)有多少名獲獎(jiǎng)的同學(xué)，才能保證其中必有 4 名同學(xué)得48. 有一隊(duì)學(xué)生，排成一個(gè)中空方陣，最外層人數(shù)是 52 人，最內(nèi)層人數(shù)到的獎(jiǎng)品完全相同？是 28 人，這隊(duì)學(xué)生共多少人？52. 一個(gè)袋子里有一些球，這些球僅只有顏色不同。其中紅球 10 個(gè)，白49. 一堆棋子，排列成正方形，多余 4 棋子，若正方形縱橫兩個(gè)方向各增加一層，則缺少 9 只棋子，問(wèn)有棋子多少個(gè)？球 9 個(gè)，黃球 8 個(gè)，藍(lán)球 2 個(gè)。

27、某人閉著眼睛從中取出若干個(gè)，試問(wèn)他至少要取多少個(gè)球，才能保證至少有 4 個(gè)球顏色相同？抽屜原理容斥原理【含義】把 3 只蘋果放進(jìn)兩個(gè)抽屜中，會(huì)出現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把 2 只蘋果放進(jìn)一個(gè)抽屜，剩下的一個(gè)放進(jìn)另一個(gè)抽屜；要么把 3 只蘋果都放進(jìn)同一個(gè)抽屜中。這兩種情況可用一句話表示：一定有一個(gè)抽屜中放了 2 只或2 只以上的蘋果。這就是數(shù)學(xué)中的抽屜原則問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】基本的抽屜原則是：如果把 n1 個(gè)物體（也叫元素）放到 n公式法：直接應(yīng)用包含與排除的概念和公式進(jìn)行求解容斥原理一：C=A+B-AB，利用這一公式可計(jì)出兩個(gè)集合圈的有關(guān)問(wèn)題。容斥原理二：DABCABACBCABC 利用這一公式可計(jì)算

28、三個(gè)集合圈的有關(guān)問(wèn)題。圖像法：不是利用容斥原理的公式計(jì)算，而是畫圖，借助圖形幫助分析，逐塊地計(jì)算出各個(gè)部分，從而解答問(wèn)題?！纠?1】某班學(xué)生在一次期末語(yǔ)文和數(shù)學(xué)考試中，語(yǔ)文得優(yōu)的有 15 人，數(shù)學(xué)得優(yōu)的有 24，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有 12 人。全班得優(yōu)共有多少人？【解】全班得優(yōu)分 3 種:語(yǔ)數(shù)均得優(yōu);語(yǔ)文得優(yōu)數(shù)學(xué)不得優(yōu);數(shù)學(xué)得優(yōu)語(yǔ)文不得優(yōu)。 語(yǔ)數(shù)均得優(yōu)=12 人語(yǔ)文得優(yōu)數(shù)學(xué)不得優(yōu)=15-12=3 人數(shù)學(xué)得優(yōu)語(yǔ)文不得優(yōu)=24-12=12 人全班得優(yōu)共有 12+3+12=27 人53. 某班共 50 人,參加課外興趣小組學(xué)書法的 32 人,學(xué)繪畫的 28 人，其中兩種都學(xué)的 15 人,這個(gè)班級(jí)

29、還有多少人沒(méi)參加興趣小組？54. 從 1 到 100 的自然數(shù)中，（1）不能被 6 和 10 整除的數(shù)有多少個(gè)？（2）至少能被 2，3，5 中一個(gè)數(shù)整除的數(shù)有多少個(gè)？又知道趙、錢、孫、李每人都只說(shuō)對(duì)了一半，那么丙的號(hào)碼是幾？56. 甲、乙、丙三名教師分別來(lái)自浙江、江蘇、福建，分別教數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)。根據(jù)下面的已知條件：（1）甲不是浙江人，乙不是江蘇人；（2）浙江的教師不教英語(yǔ)；（3）江蘇的教師教數(shù)學(xué)；（4）乙不教語(yǔ)文。則丙不教什么學(xué)科？57. 執(zhí)行一項(xiàng)任務(wù)，要派 A、B、C、D、E 五人中的一些人去，受下述條件約束：（1）若 A 去，B 必須去；（2）D、E 兩人至少去 1 人；（3）B、C兩

30、人只能去 1 人；（4）C、D 兩人都去或都不去；（5）若 E 去，A、D兩人也必須去。問(wèn)應(yīng)派哪些人去？數(shù)字謎邏輯推理數(shù)字謎語(yǔ)是一種有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。它的特點(diǎn)是給出運(yùn)算式子，但式中邏輯推理的方法主要不是依靠數(shù)學(xué)概念、法則、公式進(jìn)行運(yùn)算，而是根據(jù)條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行合理的推理，做到正確的判斷，最終找到問(wèn)題的答案。邏輯推理問(wèn)題的條件一般說(shuō)來(lái)都具有一定的隱蔽性和迷惑性，并且沒(méi)有一定的解題模式。因此，要正確解決這類問(wèn)題，不僅需要始終保持靈活的頭腦，更需要遵循邏輯思維的基本規(guī)律同一律，矛盾律和排中律?！懊苈伞敝傅氖窃谕凰季S過(guò)程中，對(duì)同一對(duì)象的思想不能自相矛盾?！芭胖新伞敝傅氖窃谕凰季S過(guò)程中，

31、一個(gè)思想或?yàn)檎婊驗(yàn)榧?，不能既不真也不假?！巴宦伞敝傅氖窃谕凰季S過(guò)程中，對(duì)同一對(duì)象的思想必須是確定的，在進(jìn)行判斷和推理的過(guò)程中，每一概念都必須在同一意義下使用。55. 甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的運(yùn)動(dòng)衫上印有不同的號(hào)碼。趙說(shuō)：“甲是 2 號(hào)，乙是 3 號(hào).”錢說(shuō)：“丙是 4 號(hào)，乙是 2 號(hào).”孫說(shuō)：“丁是 2 號(hào)，丙是 3 號(hào).”李說(shuō)：“丁是 4 號(hào)，甲是 1 號(hào).”某些數(shù)字是用字母或漢字來(lái)代表的，要求我們進(jìn)行恰當(dāng)?shù)呐袛嗪屯评恚瑥亩_定這些字母或漢字所代表的數(shù)字。步驟： 1、先確定明顯部分的數(shù)字2、尋找突破口，縮小范圍3、分情況討論58. 下題中的每一個(gè)漢字都代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的

32、數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字，當(dāng)他們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立？59. 每個(gè)漢字代表的數(shù)字是多少？60. 下邊的算式中的不同漢字表示不同的數(shù)字，相同的漢字表示相同的數(shù)2） 求該數(shù)列第 200 項(xiàng)與第 100 項(xiàng)的差。字，如果巧+解+數(shù)+字+謎=30，那么“巧解數(shù)字謎”所代表的五位數(shù)是多少？65. 在大于 1000 的整數(shù)中，找出所有被 34 除后商與余數(shù)相等的數(shù)，那么這些數(shù)的和是多少？61. A、B 各代表什么數(shù)字？一筆畫一筆畫性質(zhì)：等差數(shù)列凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時(shí)可以把任一偶點(diǎn)若干個(gè)數(shù)排成一列，稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)，

33、數(shù)列中數(shù)的個(gè)數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差稱為公差。為起點(diǎn)，最后一定能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖。凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖（其余都為偶點(diǎn)），一定可以一筆畫成。畫時(shí)必須把一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)終點(diǎn)。其他情況的圖都不能一筆畫出。(有偶數(shù)個(gè)奇點(diǎn)除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)例如：等差數(shù)列：3、6、9 96，這是一個(gè)首項(xiàng)為 3，末項(xiàng)為 96，項(xiàng)數(shù)為 32，公差為 3 的數(shù)列。等差數(shù)列相關(guān)公式：66. 下圖是一個(gè)公園的道路平面圖，要使游客走遍每條路且不重復(fù)，問(wèn)出、入口應(yīng)設(shè)在哪里？通項(xiàng)公式：第幾項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)1）公差項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)（末項(xiàng)首項(xiàng)）公差1

34、求和公式：總和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2平均數(shù)公式：平均數(shù)（首項(xiàng)末項(xiàng)）267. 甲乙兩個(gè)郵遞員去送信，兩人同時(shí)出發(fā)以同樣的速度走遍所有的街道，甲從 A 點(diǎn)出發(fā)，乙從 B 點(diǎn)出發(fā)，最后都回到郵局（C 點(diǎn)）。如果要在等差數(shù)列中，如果已知首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差。求總和時(shí)，應(yīng)先求出項(xiàng)數(shù)，然后再利用等差數(shù)列求和公式求和。62. 某劇院有 25 排座位，后一排比前一排多兩個(gè)座位,最后一排有 70 個(gè)座位，這個(gè)劇院一共有多少個(gè)座位?選擇最短的線路，誰(shuí)先回到郵局？68. 郵遞員從郵局出發(fā)送信，走過(guò)如圖的所有道路后再回到郵局。圖中各橫道、豎道之間的道路都是平行的，郵遞員要走遍所有的郵路至少要63. 等差數(shù)列第一項(xiàng)是 3，第四

35、項(xiàng)是 15，求等差數(shù)列第二項(xiàng)和公差？走千米。64. 等差數(shù)列 1，5，9，13，171） 數(shù)字 2009 是不是該數(shù)列的項(xiàng)？u加法乘法原理加法原理如果完成一件任務(wù)有 n 類方法，在一類方法中有 m1 種不同的方法，在第二類方法中有 m2 種不同的方法，在第 n 類方法中有 mn 種不同的方法，則完成這件任務(wù)共有：m1+m2+m3+mn 種不同的方法。u 乘法原理如果完成一件任務(wù)需要分成 n 個(gè)步驟進(jìn)行，做第 1 步有 m1 種方法，不管第1 步用哪一種方法，第 2 步總有 m2 種方法不管前面 n-1 步用哪一種方法，第 n 步總有 mn 種方法，那么完成這件任務(wù)共有 m1m2m3mn 種r

36、r rr n n=r72. 某鐵路線共有 14 個(gè)車站，該鐵路共需要多少種不同的車票？不同的方法。69. 下圖中的“我愛希望杯”有種不同的讀法。73. 有紅、黃、藍(lán)三種信號(hào)旗，把任意兩面分上、下掛在旗桿上表示不同信號(hào)，一共可以組成多少種不同信號(hào)？74. 一個(gè)籃球隊(duì)，五名隊(duì)員 A、B、C、D、E，在于某種原因，C 不能做中鋒而其余四人面可以分配到五個(gè)位置的任意位置上，共有多少種不70. 如圖，把 A、B、C、D、E 這五部分用四種不同的顏色著色，且相鄰的同的站位方法？部分不能使用同一種顏色，不相鄰的部分可以使用同一種顏色。那么，這幅圖一共有多少種不同的著色方法。75. 七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在下

37、列條件下有多少種站法：（1）七個(gè)人排成一排；71. 從 l、2、3、4、5 中任意選兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)真分?jǐn)?shù)，能組成多少不同的真分?jǐn)?shù)?（2）7 個(gè)人排成一排，某人必須站在中間；排列與組合uu排列：一般地，從 n 個(gè)不同元素中取出 r 個(gè)不同元素的無(wú)重復(fù)排列的r r我們記 n！表示 n 的階乘，即 n！12345n。組合：一般的，從 n 個(gè)不同元素中任取 r 個(gè)不同元素，不考慮取出元素的順序并成一組，這類任務(wù)叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 r 個(gè)不同元素的無(wú)重復(fù)組合。組合與排列的區(qū)別在于取出元素是否考慮它們的位置或順序。符號(hào) C nr 表示從 n 個(gè)不同元素中取出 r 個(gè)不同元素的無(wú)重r rn 個(gè)不同

38、元素中選出 r 個(gè)不同的元素的排列”分為兩步：（3）個(gè)人排成一排，某兩人必須有一人站在中間；（4）七個(gè)人排成一排，某兩人必須站在兩頭；（5）七個(gè)人排成一排，某兩人不能站在兩頭；（6）七個(gè)人排成兩排，前排三人，后排四人；（7）七個(gè)人排成兩排，前排三人，后排四人，某兩人不在同一排。從 n 個(gè)不同的元素中選取 r 個(gè)不同的元素，方法有 C nr 種；對(duì)選出的 r商品利潤(rùn)【含義】這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，包括成本、利潤(rùn)、利潤(rùn)率和虧損、虧損率等方面的問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)貨價(jià)利潤(rùn)率（售價(jià)進(jìn)貨價(jià)）進(jìn)貨價(jià)100%售價(jià)進(jìn)貨價(jià)（1利潤(rùn)率）虧損進(jìn)貨價(jià)售價(jià)虧損率（進(jìn)貨價(jià)售價(jià)）進(jìn)貨價(jià)100%【解題思路

39、】簡(jiǎn)單的題目可以直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式?！纠}】某商品的平均價(jià)格在一月份上調(diào)了 10%，到二月份又下調(diào)了 10%，這種商品從原價(jià)到二月份的價(jià)格變動(dòng)情況如何？解:設(shè)這種商品的原價(jià)為 1，則一月份售價(jià)為（110%），二月份的售價(jià)為（110%）（110%），所以二月份售價(jià)比原價(jià)下降了1（110%）（110%）1%答：二月份比原價(jià)下降了 1%。76. 某服裝店因搬遷，店內(nèi)商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去 52 元，已知衣服原來(lái)按期望盈利 30%定價(jià)，那么該店是虧本還是盈利？求虧（盈）率？利息本金存款年（月）數(shù)年（月）利率本利和本金利息本金1年（月）利率存款年（月）數(shù)【解題思路】簡(jiǎn)單的

40、題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式?！纠}】李大強(qiáng)存入銀行 1200 元，月利率 0.8%，到期后連本帶利共取出1488 元，求存款期多長(zhǎng)。解：因?yàn)榇婵钇趦?nèi)的總利息是（14881200）元，所以總利率為（14881200）1200 又因?yàn)橐阎吕?，所以存款月?shù)為（14881200）12000.8%30（月）答：李大強(qiáng)的存款期是 30 月即兩年半。79. 銀行定期整存整取的年利率是：二年期 7.92%，三年期 8.28%，五年期 9%。如果甲乙二人同時(shí)各存入 1 萬(wàn)元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時(shí)取出，那么，誰(shuí)的收益多？多多少元？80. 某廠

41、向銀行申請(qǐng)甲乙兩種貸款一共 40 萬(wàn)元，每年需付利息 5 萬(wàn)元，甲種貸款的年利率是 12%，乙種貸款的年利率是 14%。該廠申請(qǐng)的甲乙兩種貸款的金額各是多少？77. 成本 0.25 元的作業(yè)本 1200 冊(cè)，按期望獲得 40%的利潤(rùn)定價(jià)出售，當(dāng)銷售出 80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結(jié)果獲得的利潤(rùn)是預(yù)定的 86%。問(wèn)剩下的作業(yè)本出售時(shí)按定價(jià)打了多少折扣？濃度問(wèn)題【含義】在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到溶液濃度問(wèn)題。這類問(wèn)題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個(gè)量的關(guān)系。例78. 某種商品，甲店的進(jìn)貨價(jià)比乙店的進(jìn)貨價(jià)便宜 10%，甲店按 30%的利潤(rùn)定價(jià)，乙店按 20%的利潤(rùn)定價(jià)，

42、結(jié)果乙店的定價(jià)比甲店的定價(jià)貴 6元，求乙店的定價(jià)？如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分?jǐn)?shù)叫濃度，也叫百分比濃度。【數(shù)量關(guān)系】溶液溶劑溶質(zhì) 濃度溶質(zhì)溶液100%【解題思路】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式?！纠}】爺爺有 16%的糖水 50 克，（1）要把它稀釋成 10%的糖水，需加存款利率水多少克？（2）若要把它變成 30%的糖水，需加糖多少克？解：（1）需要加水多少克？ 5016%10%5030（克）【含義】把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個(gè)因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是

43、指存期一年本金所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)?！緮?shù)量關(guān)系】年（月）利率利息本金存款年（月）數(shù)100%（2）需要加糖多少克？ 50（116%）（130%）5010（克）答：（1）需要加水 30 克，（2）需要加糖 10 克。81. 要把 30%的糖水與 15%的糖水混合，配成 25%的糖水 600 克，需要 30%和 15%的糖水各多少克？82. 甲容器有濃度為 12%的鹽水 500 克，乙容器有 500 克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的濃度？【

44、含義】?jī)煞N相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做工程問(wèn)題反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用?！緮?shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型【含義】工程問(wèn)題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問(wèn)題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只

45、提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】 解答工程問(wèn)題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者的關(guān)系列出算式。工作量工作效率工作時(shí)間工作時(shí)間工作量工作效率工作時(shí)間總工作量（甲工作效率乙工作效率）【解題思路】變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。【例題】一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要 10 天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要 15 天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？解：題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒(méi)有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此

46、，把此項(xiàng)工程看作單位“1”。由于甲隊(duì)獨(dú)做需 10 天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的 1/10；乙隊(duì)單獨(dú)做需 15 天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的（1/101/15）。由此可以列出算式： 1（1/101/15）11/66（天）答：兩隊(duì)合做需要 6 天完成。83. 一批零件，甲獨(dú)做 6 小時(shí)完成，乙獨(dú)做 8 小時(shí)完成。現(xiàn)在兩人合做，應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問(wèn)題去解決，而且比較簡(jiǎn)捷?！窘忸}思路】解決這類問(wèn)題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。【例題】修一條公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的變成未修的 1/2，

47、求這條公路總長(zhǎng)是多少米？解 由條件知， 公路總長(zhǎng)不變。原已修長(zhǎng)度總長(zhǎng)度1（13）14312現(xiàn)已修長(zhǎng)度總長(zhǎng)度1（12）13412比較以上兩式可知，把總長(zhǎng)度當(dāng)作 12 份，則 300 米相當(dāng)于（43）份，從而知公路總長(zhǎng)為：300（43）123600（米）答： 這條公路總長(zhǎng) 3600 米。85. 孫亮看十萬(wàn)個(gè)為什么這本書，每天看 24 頁(yè)，15 天看完，如果每天看 36 頁(yè)，幾天就可以看完？86. 一個(gè)大矩形被分成六個(gè)小矩形，其中四個(gè)小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做 24 個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？牛吃草問(wèn)題【含義】牛吃草問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)題”。這8

48、4. 一件工作，甲獨(dú)做 12 小時(shí)完成，乙獨(dú)做 10 小時(shí)完成，丙獨(dú)做 15 小時(shí)完成。現(xiàn)在甲先做 2 小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成？類問(wèn)題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。【數(shù)量關(guān)系】草總量原有草量草每天生長(zhǎng)量天數(shù)【解題思路】解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量?！纠}】一塊草地，10 頭牛 20 天可以把草吃完，15 頭牛 10 天可以把草吃完。問(wèn)多少頭牛 5 天可以把草吃完？正反比例解：草是均勻生長(zhǎng)的，所以，草總量原有草量草每天生長(zhǎng)量天數(shù)。求“多少頭牛 5 天可以把草吃完”，就是說(shuō) 5 天內(nèi)的草總量要 5 天吃完的話，得有多少頭牛？設(shè)每頭牛每天吃草量為 1，按以下步驟解

49、答：第三部分?jǐn)?shù)論知識(shí)（1）求草每天的生長(zhǎng)量因?yàn)椋环矫?20 天內(nèi)的草總量就是 10 頭牛 20 天所吃的草，即（11020）；另一方面，20 天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上 20 天內(nèi)的生長(zhǎng)量，所以 11020原有草量20 天內(nèi)生長(zhǎng)量，同理 11510原有草量10 天內(nèi)生長(zhǎng)量，由此可知（2010）天內(nèi)草的生長(zhǎng)量為110201151050。因此草每天的生長(zhǎng)量為 50（2010）5。（2）求原有草量原有草量10 天內(nèi)總草量10 內(nèi)生長(zhǎng)量11510510100（3）求 5 天內(nèi)草總量5 天內(nèi)草總量原有草量5 天內(nèi)生長(zhǎng)量10055125數(shù)論由于比較抽象，是小學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，而且小學(xué)數(shù)論與中學(xué)的

50、代數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，因此我們必須高度重視。數(shù)論知識(shí)點(diǎn)列表（4）求多少頭牛 5 天吃完草因?yàn)槊款^牛每天吃草量為 1，所以每頭牛 5 天吃草量為 5。因此 5 天吃定義新運(yùn)算完草需要牛的頭數(shù)：125525（頭）答：需要 5 頭牛 5 天可以把草吃完。87. 有一塊草場(chǎng)，可供 15 頭牛吃 8 天，或可供 8 頭牛吃 20 天。如果一群牛 14 天將這塊草場(chǎng)的草吃完，那么這群牛有多少頭？定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算。嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過(guò)程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算

51、不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。 每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。88. 牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供 10 頭牛吃 20天，或者可供 15 頭牛吃 10 天。可供 25 頭牛吃幾天？89. 規(guī)定 ab=a ba + b，則 2210 的值是多少？90. 對(duì)于任意的自然數(shù) a，b，定義：f（a）=aa-1，g（b）=b2+1。（1）求 f（g（6）-g（f（3）的值；（2）已知 f（g（x）=8，求 x 的值。91. 對(duì)于任意正整數(shù)，定義：n!=123n。例如：5！=12345。那么，1!+2!+3!+2003!和的個(gè)位數(shù)字是幾？92. 若用 (a)表示 a 的

52、所有約數(shù)的個(gè)數(shù)，例如 (4)=3，求 (18)的值？94. 和為 1111 的四個(gè)自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)最大能夠是多少？約數(shù)與倍數(shù)95. 李老師帶領(lǐng)一班學(xué)生去種樹,學(xué)生恰好被平均分成四個(gè)小組,總共種約數(shù)倍數(shù)：若整數(shù) a 能夠被 b 整除，a 叫做 b 的倍數(shù)，b 就叫做 a 的約數(shù)。公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。樹 667 棵,如果師生每人種的棵數(shù)一樣多,則這個(gè)班共有學(xué)生多少人？96. 有一根 180 厘米長(zhǎng)的繩子，從一端開始每 3 厘米作一記

53、號(hào)，每 4 厘米也作一記號(hào)，然后將標(biāo)有記號(hào)的地方剪斷，繩子共被剪成了多少段？u最大公約數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù) m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以 m。97. 定義一種新運(yùn)算&滿足：a&b=a，b+（a，b）求 14&4 ； 已知 6&x=33，求 x備注： 表示最小公倍數(shù)，（ ）表示最大公約數(shù)u求最大公約數(shù)基本方法：分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和

54、余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。98. 自然數(shù) 360 有多少個(gè)約數(shù)? 所有約數(shù)的和是多少？u最小公倍數(shù)的性質(zhì)：奇數(shù)與偶數(shù)兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。u 求最大公約數(shù)基本方法： 短除法求最小公倍數(shù)； 分解質(zhì)因數(shù)的方法93. 105 個(gè)大小相同的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,有多少種不同的拼法?所有自然數(shù)按能否被 2 整除分類，能分成奇數(shù)和偶數(shù)兩類；奇數(shù)被 2除余 1，偶數(shù)能被 2 整除。最小的奇數(shù)為 1，最小的偶數(shù)為 0。奇數(shù)和偶數(shù)的一般計(jì)算性質(zhì)：（1） 奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)（2） 偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)（3） 奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)（4）

55、 偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)（5） 奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)（6） 偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)（7） 奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)（8） 奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)（9） 奇數(shù)的連乘積永遠(yuǎn)是奇數(shù)，若干個(gè)整數(shù)連乘，如果其中有一個(gè)是偶數(shù)，那么乘積一定為偶數(shù)。（10） 相鄰兩個(gè)自然數(shù)的和必為奇數(shù)，相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積必為偶數(shù)。（11） 兩個(gè)整數(shù)之和與這兩個(gè)整數(shù)之差有著相同的奇偶性。（12） 奇數(shù)的平方被 4 除余 1，偶數(shù)的平方是 4 的倍數(shù)。（13） 奇數(shù)用 2K1 或 2K1（K 是整數(shù)）表示；偶數(shù)用 2K 表示。99. 10 個(gè)不同的自然數(shù)之和等于 80，在這 10 個(gè)自然數(shù)中，最多有多少個(gè)奇數(shù)？100.任意取出 1996 個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們的總和是奇數(shù)還是偶數(shù)？105