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1、提分專練03 反比例函數綜合問題
類型1 反比例函數與一次函數結合
1.如圖T3-1,在平面直角坐標系xOy中,雙曲線y1=2x.
(1)當x 時,y1>0;?
(2)如果直線y2=-x+b與雙曲線有兩個公共點,求b的取值范圍;
(3)如果直線y2=-x+b與雙曲線y1=2x交于A,B兩點,且點A的坐標為(1,2),點B的縱坐標為1.設E為線段AB的中點,過點E作x軸的垂線EF,交雙曲線于點F.求線段EF的長.
圖T3-1
2.[2019·柳州德潤中學模擬]如圖T3-2,反比例函數y=kx的圖象經過點A(-1,
2、4),直線y=-x+b(b≠0)與雙曲線y=kx在第二、四象限分別相交于P,Q兩點,與x軸,y軸分別相交于C,D兩點.
(1)求k的值;
(2)當b=-2時,求△OCD的面積;
(3)連接OQ,是否存在實數b,使得S△ODQ=S△OCD?若存在,請求出b的值;若不存在,請說明理由.
圖T3-2
3.[2017·柳州]如圖T3-3,直線y=-x+2與反比例函數y=kx(k≠0)的圖象交于A(-1,m),B(n,-1)兩點,過A作AC⊥x軸于點C,過B作BD⊥x軸于點D.
(1)求m,n的值及反比例函數的解析式;
(2)請問:在直線y=-x+2上是否存在點
3、P,使得S△PAC=S△PBD?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
圖T3-3
4.[2018·江西]如圖T3-4,反比例函數y=kx(k≠0)的圖象與正比例函數y=2x的圖象相交于A(1,a),B兩點,點C在第四象限,CA∥y軸,∠ABC=90°.
(1)求k的值及點B的坐標;
(2)求tanC的值.
圖T3-4
類型2 反比例函數與幾何圖形結合
5.[2018·郴州]如圖T3-5,A,B是反比例函數y=4x在第一象限內的圖象上的兩點,且A,B兩點的橫坐標分別是2和
4,則△OAB的面積是 ( )
圖T3-5
4、A.4 B.3 C.2 D.1
6.[2018·重慶A卷]如圖T3-6,在平面直角坐標系中,菱形ABCD的頂點A,B在反比例函數y=kx(k>0,x>0)的圖象上,橫坐標分別為1,4,對角線BD∥x軸.若菱形ABCD的面積為452,則k的值為 ( )
圖T3-6
A.54 B.154 C.4 D.5
7.[2018·玉林]如圖T3-7,點A,B在雙曲線y=3x(x>0)上,點C在雙曲線y=1x(x>0)上,若AC∥y軸,BC∥x軸,且AC=BC,則AB等于( )
圖T3-7
A.2 B.22 C.4 D
5、.32
8.[2018·德州]如圖T3-8,反比例函數y=3x與一次函數y=x-2的圖象在第三象限交于點A,點B的坐標為(-3,0),點P是y軸左側的一點,若以A,O,B,P為頂點的四邊形為平行四邊形.則點P的坐標為 .?
圖T3-8
9.[2018·荊門]如圖T3-9,在平面直角坐標系xOy中,函數y=kx(k>0,x>0)的圖象經過菱形OACD的頂點D和邊AC的中點E,若菱形OACD的邊長為3,則k的值為 .?
圖T3-9
10.[2019·柳州第二十五中模擬]如圖T3-10,在平面直角坐標系中,一次函數y1=ax+b的圖象與反比例函數y2=kx的圖象交于點A
6、(1,2)和B(-2,m).
(1)求一次函數和反比例函數的解析式;
(2)請直接寫出y1≥y2時x的取值范圍;
(3)過點B作BE∥x軸,過點A作AD⊥BE于點D,點C是直線BE上一點,若∠DAC=30°,求點C的坐標.
圖T3-10
【參考答案】
1.解:(1)根據圖象可得x>0時,y1>0.
(2)將y=-x+b代入y=2x,得2x=-x+b,
整理得,x2-bx+2=0,
當Δ=b2-8>0時,直線與雙曲線有兩個公共點,
解得b>22或b<-22.
(3)將y=1代入y1=2x,得x=2,則點B的坐標為(2,1),
∵點A的坐標為(1,2),E為線段AB的中
7、點,
∴點E的坐標為32,32,
當x=32時,y1=2x=43,
∴EF=32-43=16.
2.解:(1)∵反比例函數y=kx的圖象經過點A(-1,4),
∴k=-1×4=-4.
(2)當b=-2時,直線的解析式為y=-x-2.
令y=0,則-x-2=0,解得x=-2.∴C(-2,0).
令x=0,則y=-2.∴D(0,-2).
∴S△OCD=12×2×2=2.
(3)存在.令y=0,則-x+b=0,
解得x=b.則C(b,0).
∵S△ODQ=S△OCD.
∴點Q和點C到OD的距離相等,而點Q在第四象限.
∴點Q的橫坐標為-b.
當x=-b時,y=-x+b=
8、2b,則Q(-b,2b).
∵點Q在反比例函數y=-4x的圖象上.
∴-b×2b=-4.
解得b=-2或b=2(舍去).
∴b的值為-2.
3.解:(1)把A(-1,m),B(n,-1)分別代入y=-x+2,得m=1+2,-1=-n+2.∴m=3,n=3.
∴A(-1,3),B(3,-1),
把A(-1,3)代入y=kx,得k=-3.
∴反比例函數的解析式為y=-3x.
(2)存在.設P(x,-x+2),則P到AC,BD的距離分別為x+1,x-3.
∵S△PAC=S△PBD,
∴12AC·x+1=12BD·x-3,
∴AC·x+1=BD·x-3.
∴3·x+1=1·x
9、-3.
∴x+1x-3=13.
∴x+1x-3=13或x+1x-3=-13.
解得x=-3或x=0.經檢驗,x=-3,x=0是分式方程的解.
∴P(-3,5)或(0,2).
4.解:(1)∵點A(1,a)在y=2x的圖象上,
∴a=2×1=2,
又∵點A(1,2)在y=kx(k≠0)的圖象上,
∴2=k1,即k=2×1=2.
∵y=2x與y=2x的圖象相交于A,B兩點,
則可得方程組y=2x,y=2x,解得x=1,y=2或x=-1,y=-2,
∴點B的坐標為(-1,-2).
(2)如圖,過點B作BD⊥AC于點D,
∵BD⊥AC,
∴∠BDC=90°,
∴∠C+
10、∠CBD=90°.
又∵∠ABC=90°,∠ABC=∠ABD+∠CBD,
∴∠C=∠ABD,
∴tanC=tan∠ABD=ADBD,
∵A(1,2),B(-1,-2),∴D(1,-2),
∴AD=|2-(-2)|=4,BD=|1-(-1)|=2,
∴tanC=42=2.
5.B [解析]過A,B兩點分別作AC⊥x軸,BD⊥x軸,垂足分別為C,D,∵A,B是反比例函數y=4x在第一象限內的圖象上的兩點,且A,B兩點的橫坐標分別是2和4,∴A,B兩點的坐標分別為(2,2),(4,1),∴AC=2,BD=1,DC=2,
∴S梯形ACDB=12×(1+2)×2=3,觀察圖形,可以發(fā)現:
11、S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ACDB,而S△BOD=S△AOC,
∴S△AOB=S梯形ACDB=3.
6.D [解析]由題設點A(1,k),點B4,k4,由菱形ABCD的面積為452,得12AC·BD=12×2k-k4×6=452,解得k=5,
故選D.
7.B [解析]點A,B在雙曲線y=3x(x>0)上,點C在雙曲線y=1x(x>0)上,若AC∥y軸,BC∥x軸,設Ct,1t,
則B3t,1t,At,3t,因為AC=BC,所以2t=2t,解得t=1,故C(1,1),則B(3,1),A(1,3),所以Rt△ABC中,AB=22,故選B.
8.(-4,-3)或(-
12、2,3) [解析]令3x=x-2,解得x1=-1,x2=3,所以點A的坐標為(-1,-3),
①構成平行四邊形ABOP時,點P在y軸右側,舍去;
②構成平行四邊形OAPB時,AP∥BO,AP=BO=3,因為A(-1,-3),所以P(-4,-3);
③構成平行四邊形OABP時,BP∥AO,BP=AO,所以xP-xB=xO-xA,yP-yB=yO-yA,即xP-(-3)=0-(-1),yP-0=0-(-3),
所以xP=-2,yP=3,所以P(-2,3),綜上所述,點P的坐標為(-4,-3)或(-2,3).
9.25 [解析]過D點作DF⊥OA,垂足為F,
設D(a,b),則DF=
13、b,OF=a,
∵菱形的邊長為3,∴C(a+3,b).
∵AC的中點為E,∴Ea+62,b2.
∵函數y=kx(k>0,x>0)的圖象經過點D和點E,
∴ab=k,a+62·b2=k,解得a=2,b=k2,
∴DF=k2,OF=2,
在Rt△ODF中,
∵DF2+OF2=OD2,
∴k22+22=32,解得k=25或k=-25(舍去).
故答案為25.
10.解:(1)∵點A(1,2)在反比例函數y2=kx的圖象上,
∴2=k1,
∴k=1×2=2,∴反比例函數的解析式為y2=2x.
∵點B(-2,m)在反比例函數y2=2x的圖象上,
∴m=2-2=-1,
∴點B的坐標為(-2,-1).
把A(1,2),B(-2,-1)代入y1=ax+b得2=a+b,-1=-2a+b,解得a=1,b=1,
∴一次函數解析式為y1=x+1.
(2)由函數圖象可知,當-2≤x<0或x≥1時,y1≥y2.
(3)由題意得AD=2-(-1)=3,點D的坐標為(1,-1).
在Rt△ADC中,tan∠DAC=CDAD,即CD3=33,
解得CD=3.
當點C在點D的左側時,點C的坐標為(1-3,-1);
當點C在點D的右側時,點C的坐標為(1+3,-1).
∴點C的坐標為(1-3,-1)或(1+3,-1).
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（柳州專版）2020年中考數學復習 提分專練03 反比例函數綜合問題
