2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（一）

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1、2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（一） 　　這一講我們先介紹什么是“數(shù)列”，然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。 　　按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如， (1) 1，2，3，4，5，6，… (2) 1，2，4，8，16，32； (3) 1，0，0，1，0，0，1，… (4) 1，1，2，3，5，8，13。 　　一個數(shù)列中從左至右的第n個數(shù)，稱為這個數(shù)列的第n項。如，數(shù)列(1)的第3項是3，數(shù)列(2)的第3項是4。一般地，我們將數(shù)列的第n項記作an。 　　數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個，如數(shù)列(2)(4)，也可以是無限多個，如數(shù)列(1)(3)。 　　許多數(shù)列中的數(shù)

2、是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。 　　數(shù)列(1)是按照自然數(shù)從小到大的次序排列的，也叫做自然數(shù)數(shù)列，其規(guī)律是：后項=前項+1，或第n項an＝n。 　　數(shù)列(2)的規(guī)律是：后項=前項×2，或第n項 　　數(shù)列(3)的規(guī)律是：“1，0，0”周而復(fù)始地出現(xiàn)。 　　數(shù)列(4)的規(guī)律是：從第三項起，每項等于它前面兩項的和，即 　　a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5， 　　a6=3+5=8，a7=5+8=13。 　　常見的較簡單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類： 　　第一類是數(shù)列各項只與它的項數(shù)有關(guān)，或只與它的前一項有關(guān)。例如數(shù)列(1)(2)。 　　第二類是前后

3、幾項為一組，以組為單元找關(guān)系才可找到規(guī)律。例如數(shù)列(3)(4)。 　　第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為復(fù)雜些，我們用后面的例3、例4來作一些說明。 例1 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)： (1)4，7，10，13，( )，… (2)84，72，60，( )，( )； (3)2，6，18，( )，( )，… (4)625，125，25，( )，( )； (5)1，4，9，16，( )，… (6)2，6，12，20，( )，( )，… 解：通過對已知的幾個數(shù)的前后兩項的觀察、分析，可發(fā)現(xiàn) (1)的規(guī)律是：前項+3=后項。所以應(yīng)

4、填16。 (2)的規(guī)律是：前項-12=后項。所以應(yīng)填48，36。 (3)的規(guī)律是：前項×3=后項。所以應(yīng)填54，162。 (4)的規(guī)律是：前項÷5=后項。所以應(yīng)填5，1。 (5)的規(guī)律是：數(shù)列各項依次為 　　1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4， 　　所以應(yīng)填5×5=25。 (6)的規(guī)律是：數(shù)列各項依次為 　　2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5， 　　所以，應(yīng)填 5×6=30， 6×7=42。 　　說明：本例中各數(shù)列的每一項都只與它的項數(shù)有關(guān)，因此an可以用n來表示。各數(shù)列的第n項分別可以表示為 (1)an＝3n+1；(2)an＝96-1

5、2n； (3)an＝2×3n-1；(4)an＝55-n；(5)an＝n2；(6)an＝n(n+1)。 　　這樣表示的好處在于，如果求第100項等于幾，那么不用一項一項地計算，直接就可以算出來，比如數(shù)列(1)的第100項等于3×100+1=301。本例中，數(shù)列(2)(4)只有5項，當(dāng)然沒有必要計算大于5的項數(shù)了。 例2 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)： (1)1，2，2，3，3，4，( )，( )； (2)( )，( )，10，5，12，6，14，7； (3) 3，7，10，17，27，( )； (4) 1，2，2，4，8，32，( )。 解：通過對各數(shù)列

6、已知的幾個數(shù)的觀察分析可得其規(guī)律。 (1)把數(shù)列每兩項分為一組，1，2，2，3，3，4，不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是：前一組每個數(shù)加1得到后一組數(shù)，所以應(yīng)填4，5。 (2)把后面已知的六個數(shù)分成三組：10，5，12，6，14，7，每組中兩數(shù)的商都是2，且由5，6，7的次序知，應(yīng)填8，4。 (3)這個數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項的和等于后面一項，故應(yīng)填( 17+27=)44。 (4)這個數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項的乘積等于后面一項，故應(yīng)填(8×32=)256。 例3 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)： (1)18，20，24，30，( )； (2)11，12，14，18，26，(

7、)； (3)2，5，11，23，47，( )，( )。 解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，說明(后項-前項)組成一新數(shù)列2，4，6，…其規(guī)律是“依次加2”，因為6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故 　　a5=8+30=38。 (2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，組成一新數(shù)列1，2，4，8，…按此規(guī)律，8后面為16。因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。 (3)觀察數(shù)列前、后項的關(guān)系，后項=前項×2+1，所以 　　a6=2a5+1＝2×47+1＝95， 　　a7＝2a6+1＝2×95

8、+1=191。 例4 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)： (1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )； (2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。 解：(1)數(shù)列的第1，3，5，…項組成一個新數(shù)列12，17， 22，…其規(guī)律是“依次加5”，22后面的項就是27；數(shù)列的第2，4，6，…項組成一個新數(shù)列15，30，45，…其規(guī)律是“依次加15”，45后面的項就是60。故應(yīng)填27，60。 (2)如(1)分析，由奇數(shù)項組成的新數(shù)列2，5，8，…中，8后面的數(shù)應(yīng)為11；由偶數(shù)項組成的新數(shù)列8，6，4，… 中，4后面的數(shù)應(yīng)為2。故應(yīng)填11，2。 ??

9、 ?練習(xí)5 　　 　　按其規(guī)律在下列各數(shù)列的( )內(nèi)填數(shù)。 　　1.56，49，42，35，( )。 　　2.11， 15， 19， 23，( )，… 　　3.3，6，12，24，( )。 　　4.2，3，5，9，17，( )，… 　　5.1，3，4，7，11，( )。 　　6.1，3，7，13，21，( )。 　　7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。 　　8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。 　　9.2，5，10，17，26，( )。 　　10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。 　　11.數(shù)列1，3，5，7，11，13

10、，15，17。 (1)如果其中缺少一個數(shù)，那么這個數(shù)是幾？應(yīng)補在何處？ (2)如果其中多了一個數(shù)，那么這個數(shù)是幾？為什么？ 附送： 2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（二） 　　這一講主要介紹如何發(fā)現(xiàn)和尋找圖形、數(shù)表的變化規(guī)律。 例1 觀察下列圖形的變化規(guī)律，并按照這個規(guī)律將第四個圖形補充完整。 分析與解：觀察前三個圖，從左至右，黑點數(shù)依次為4，3，2個，并且每個圖形依次按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，所以第四個圖如右圖所示。 　　觀察圖形的變化，主要從各圖形的形狀、方向、數(shù)量、大小及各組成部分的相對位置入手，從中找出變化規(guī)律。 例2 在下列各組圖形中尋找規(guī)

11、律，并按此規(guī)律在“？”處填上合適的數(shù)： 　　 　　 解：(1)觀察前兩個圖形中的數(shù)可知，大圓圈內(nèi)的數(shù)等于三個小圓圈內(nèi)的數(shù)的乘積的一半，故 　　第三個圖形中的“？”=5×3×8÷2=60； 　　第四個圖形中的“？”=(21×2)÷3÷2=7。 (2)觀察前兩個圖形中的已知數(shù)，發(fā)現(xiàn)有 　　10=8+5-3， 8=7+4-3， 　　即三角形里面的數(shù)的和減去三角形外面的數(shù)就是中間小圓圈內(nèi)的數(shù)。故 　　第三個圖形中的“？”=12+1-5=8； 　　第四個圖形中的“？”=7+1-5=3。 例3 尋找規(guī)律填數(shù)： 　　 解：(1)考察上、下兩數(shù)的差。32-16=16，31-15=16

12、，33-17=16，可知，上面那個“？”=35-16=19，下面那個“？”=18+16=34。 (2)從左至右，一上一下地看，由1，3，5，？，9，…知，12下面的“？”=7；一下一上看，由6，8，10，12，？，…知，9下面的“？”=14。 例4 尋找規(guī)律在空格內(nèi)填數(shù)： 　　 　　 解：(1)因為前兩圖中的三個數(shù)滿足： 　　256=4×64，72=6×12， 　　所以，第三圖中空格應(yīng)填12×15=180；第四圖中空格應(yīng)填169÷13=13。第五圖中空格應(yīng)填224÷7=32。 (2)圖中下面一行的數(shù)都是上一行對應(yīng)數(shù)的3倍，故43下面應(yīng)填43×3=129；87上面應(yīng)填87÷3=2

13、9。 例5在下列表格中尋找規(guī)律，并求出“？”： 　　 解：(1)觀察每行中兩邊的數(shù)與中間的數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。 (2)觀察每列中三數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)1+3×2=7，7+2×2=11，所以，？=4+5×2=14。 例6 尋找規(guī)律填數(shù)： (1) (2) 解：(1)觀察其規(guī)律知 (2)觀察其規(guī)律知： 　　觀察比較圖形、圖表、數(shù)列的變化，并能從圖形、數(shù)量間的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這種能力對于同學(xué)們今后的學(xué)習(xí)將大有益處。 ? ?練習(xí) 　　尋找規(guī)律填數(shù)： 　　 　　 　　 　　 　　　 　　6.下圖中第50個圖形是△還是○？ 　　○△○○○△○○○△○…