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1、圓的基本概念及性質(zhì)
25
圓的基本概念及性質(zhì)
限時:30分鐘
夯實基礎(chǔ)
1.把一張圓形紙片按如圖K25-1所示方式折疊兩次后展開,圖中的虛線表示折痕,則BC的度數(shù)是 ( )
圖K25-1
A.120° B.135°
C.150° D.165°
2.如圖K25-2,經(jīng)過原點O的☉P與x軸,y軸分別交于A,B兩點,點C是劣弧OB上一點,則∠ACB等于 ( )
圖K25-2
A.80° B.90°
C.100° D.無法確定
3.如圖K25-3,點A,B,C,P在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為點D,E.若∠DCE=40°
2、,則∠P的度數(shù)為 ( )
圖K25-3
A.140° B.70° C.60° D.40°
4.如圖K25-4,在☉O中,直徑AB⊥弦CD,垂足為M,則下列結(jié)論一定正確的是 ( )
圖K25-4
A.AC=CD B.OM=BM
C.∠A=12∠ACD D.∠A=12∠BOD
5.[2018·自貢] 如圖K25-5,若△ABC內(nèi)接于半徑為R的☉O,且∠A=60°,連接OB,OC,則邊BC的長為 ( )
圖K25-5
A.2R B.32R C.22R D.3R
6.[2017·錦州] 如圖K25-6,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,AD與
3、BC的延長線交于點E,BA與CD的延長線交于點F.若∠DCE=80°,∠F=25°,則∠E的度數(shù)為 ( )
圖K25-6
A.55° B.50° C.45° D.40°
7.線段AB=10 cm,在以AB為直徑的圓上,到點A的距離為5 cm的點有 個.?
8.[2018·黑龍江] 如圖K25-7,AC為☉O的直徑,點B在圓上,OD⊥AC,交☉O于點D,連接BD.若∠BDO=15°,則
∠ACB= .?
圖K25-7
9.如圖K25-8,P是等邊三角形ABC外接圓的弧BC上的一點,BP=6,PC=2,則AP的長為 .?
圖K25-8
10.
4、如圖K25-9,量角器的0度刻度線在AB所在的直線上.將一矩形直尺與量角器部分重疊,使直尺一邊與量角器相切于點C,直尺另一邊交量角器于點A,D,量得AD=10 cm,點D在量角器上的讀數(shù)為60°,則該直尺的寬度為 cm.?
圖K25-9
11.如圖K25-10,CD為☉O的直徑,弦AB交CD于點E,連接AC,BD,OB.
(1)求證:△AEC∽△DEB;
(2)若CD⊥AB,AB=8,DE=2,求☉O的半徑.
圖K25-10
12.如圖K25-11,已知AB是☉O的直徑,點C在半徑OA上(點C與點O,A不重合),過點C作AB的垂線,交
5、☉O于點D.連接OD,過點B作OD的平行線,交☉O于點E,交CD的延長線于點F.
(1)若點E是BD的中點,求∠F的度數(shù);
(2)求證:BE=2OC.
圖K25-11
能力提升
13.[2018·遵義] 如圖K25-12,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,連接AC,BD,以BD為直徑的圓交AC于點E.若DE=3,則AD的長為 ( )
圖K25-12
A.5 B.4 C.35 D.25
14.如圖K25-13,在5×4的正方形網(wǎng)格中,弧AB經(jīng)過格點C,D是AB上的一點,則∠ADB= .?
6、
圖K25-13
15.[2018·石家莊二模] 如圖K25-14,BC=6,點A為平面上一動點,且∠BAC=60°,點O為△ABC的外心,分別以AB,AC為腰向外作等腰直角三角形△ABD與△ACE,連接BE,CD交于點P,則OP的最小值是 .?
圖K25-14
拓展練習(xí)
16.已知:如圖K25-15,O1為x軸上一點,以O(shè)1為圓心作☉O1交x軸于C,D兩點,交y軸于M,N兩點,∠CMD的補角的平分線交☉Ο1于點E,AB是弦,且AB∥CD,直線DM的解析式為y=3x+3.
(1)如圖①,求☉Ο1的半徑及點E的坐標.
(2)如圖②,過點E作EF⊥BC于點F,若A,B為CN
7、D上兩動點(AB∥CD)時,試問:BF+CF與AC之間是否存在某種等量關(guān)系?請寫出你的結(jié)論,并證明.
圖K25-15
參考答案
1. C 2.B 3.B 4.D 5.D 6.C 7.2
8.60° [解析] 如圖,連接DC.∵AC為☉O的直徑,OD⊥AC,∴∠DOC=90°,∠ABC=90°.∵OD=OC,∴∠ODC=45°.
∵∠BDO=15°,∴∠BDC=30°.∴∠A=30°,∴∠ACB=60°.
9.8 [解析] 如圖,在AP上取一點D,使PD=PC.∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AC=BC,∵∠
8、APC=∠ABC=60°,∴△PDC是等邊三角形.∴∠PCD=60°,PC=DC=PD=2.∴∠ACD+∠DCB=∠BCP+∠DCB.∴∠ACD=∠BCP.∴△ADC≌△BPC.∴AD=PB=6.∴AP=AD+PD=6+2=8.
10.533 [解析] 如圖,根據(jù)題意,得AD=10,∠AOD=120°.∵OA=OD,∴∠DAO=30°.設(shè)OE=x,則OA=2x.∵OE⊥AD,
∴AE=DE=5.在Rt△AOE中,x2+52=(2x)2,解得x=533(負值舍去).∴CE=OE=533.
11.解:(1)證明:∵∠A=∠D,∠C=∠ABD,
∴△AEC∽△DEB.
(2)∵CD
9、⊥AB,O為圓心,∴BE=12AB=4.
設(shè)☉O的半徑為r.∵DE=2,∴OE=r-2.
在Rt△OEB中,
由勾股定理,得OE2+EB2=OB2,
即(r-2)2+42=r2,解得r=5,
即☉O的半徑為5.
12.解:(1)如圖,連接OE.
∵點E是BD的中點,∴ED=BE.
∴∠BOE=∠EOD.
∵OD∥BF,∴∠DOE=∠BEO.
∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB.
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°.
∵CF⊥AB,∴∠FCB=90°.∴∠F=30°.
(2)證明:如圖,過點O作OM⊥BE于點M.
∴∠OMB=∠DCO=90°,BE=2BM.
10、
∵OD∥BF,∴∠COD=∠B.
∵OB=OD,∴△OBM≌△DOC.
∴BM=OC.∴BE=2OC.
13.D [解析] 如圖,連接BE.因為∠DAE=∠DBE,∠DAE=∠ACB,所以∠DBE=∠ACB.因為BD是圓的直徑,所以
∠BED=90°,∠DAB=90°.因為AD∥BC,所以∠ABC=180°-∠DAB=90°.所以∠BED=∠ABC.所以△BED∽△CBA.所以DEAB=EBBC,即35=EB10.所以得到BE=6.在Rt△BED中,可得BD=35.在Rt△ADB中,可得AD=25.故選D.
14.135° [解析] 如圖,連接BC并延長到圖中的格點E,連接AE
11、,AC,易證△ACE是等腰直角三角形,得到∠ACB=135°,所以∠ADB=135°.
15.3-3 [解析] ∵△ABD與△ACE是等腰直角三角形,∴∠BAD=∠CAE=90°.∴∠DAC=∠BAE.在△DAC和△BAE中,AD=AB,∠DAC=∠BAE,AC=AE,∴△DAC≌△BAE.∴∠ADC=∠ABE.∴∠PDB+∠PBD=90°.∴∠DPB=∠BPC=90°.∴點P在以BC為直徑的圓上.∵△ABC的外心為O,∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,如圖.當PO⊥BC時,OP的值最小,∵BC=6,∴BH=CH=3.
∴OH=3,PH=3.∴OP=3-3.
16.解:
12、(1)如圖①,∵直線DM的解析式為y=3x+3,
∴D(-1,0),M(0,3).
∵△DMO∽△DCM,∴DODM=DMDC,
即DM2=DO·DC,又DM=12+32=10,DO=1,
∴CD=10,半徑為12CD=5.
連接EO1,易知∠EO1C=2∠EMC=90°,點E的坐標為(4,5).
(2)BF+CF=AC.
證明:如圖②,連接EC,EO1,過點E作EG⊥AC于點G,連接MA,EA,EB.又∵∠EO1C=90°,AB∥CD,
∴優(yōu)弧BEC=優(yōu)弧AED.
∴∠ECG=∠EAB=∠ECF.
又∵EC=EC,∠EGC=∠EFC,
∴△ECF≌△ECG.
∴CF=CG,EG=EF.
又∵∠EAC=∠EBC,∴△EAG≌△EBF.
∴BF=AG.∴BF+CF=AG+CG=AC.
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