浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一章 數(shù)與式 第5講 二次根式及其運(yùn)算講解篇

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1、 第5講　二次根式及其運(yùn)算 1．二次根式的有關(guān)概念 考試內(nèi)容 考試 要求 二次 根式 一般地，形如( )的式子叫做二次根式． a 最簡(jiǎn)二 次根式 必須同時(shí)滿足：(1)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式；(2)被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式(分母中不應(yīng)含有根號(hào))． 2.二次根式的性質(zhì) 考試內(nèi)容 考試 要求 兩個(gè)重要的性質(zhì) ()2＝a(a____________________)； ＝|a|＝ a 積的算術(shù)平方根 ＝·(a≥0，b≥0)． 商的算術(shù)平方根 ＝(a≥0，b>0)． 3.二次根式的運(yùn)算 考試內(nèi)容 考試 要

2、求 二次根式的加減 先將各根式化為 ，然后合并被開(kāi)方數(shù) 的二次根式． b 二次根式的乘法 ·＝ (a≥0，b≥0)． 二次根式的除法 ＝ (a≥0，b＞0)． 二次根式的混合運(yùn)算 與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序相同，先算乘方，再算 ，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的(或先去括號(hào))． 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 方法 1.整式運(yùn)算法則也適用于二次根式的運(yùn)算． c 2.估算一個(gè)根號(hào)表示的無(wú)理數(shù)可用“逐步逼近”的方法，即首先找出與該數(shù)鄰近的兩個(gè)完全平方數(shù)，可

3、估算出該無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分，然后再取一位小數(shù)進(jìn)一步估算即可． 3.絕對(duì)值：|a|；偶次冪：a2n；非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根：(a≥0)是常見(jiàn)的三種非負(fù)數(shù)形式．非負(fù)數(shù)具有以下兩條重要性質(zhì)：①非負(fù)數(shù)形式有最小值為零；②幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，那么每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于零． 1．(2015·湖州)4的算術(shù)平方根是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．±2 B．2 C．－2 D. 2．(2017·寧波)要使二次根式有意義，則x的取值范圍是(　　) A．x≠3

4、 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3 3．(2016·杭州)下列各式變形中，正確的是(　　) A．x2·x3＝x6 B.＝|x| C.÷x＝x－1 D．x2－x＋1＝＋ 4．(2017·寧波)實(shí)數(shù)－8的立方根是____________________． 5．(2017·湖州)計(jì)算：2×(1－)＋. 　　　　　　　　 【問(wèn)題】下列各式已給出計(jì)算結(jié)果： ①－＝；?、冢剑?；③×＝；?、堋拢? (1)其中正確的是____________； (2)對(duì)于錯(cuò)誤的結(jié)果，請(qǐng)給出正確答案； (3)通過(guò)以上的解答，聯(lián)想二次根式有

5、哪些性質(zhì)、運(yùn)算法則？ 　【歸納】通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題，歸納、疏理二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則，以及注意的問(wèn)題． 類(lèi)型一　平方根、算術(shù)平方根、立方根 　(1)(2015·黃岡)9的平方根是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．±3 B．± C．3 D．－3 (2)(2017·黃岡)16的算術(shù)平方根是________． (3)(2016·寧波)實(shí)數(shù)－27的立方根是________． 【解后感悟】一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；

6、負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；注意算術(shù)平方根易與平方根的概念混淆而導(dǎo)致錯(cuò)誤；開(kāi)立方和立方互為逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵． 1．(1)(2016·唐山模擬)下列式子中，計(jì)算正確的是(　　) A．－＝－0.6 B.＝－13 C.＝±6 D．－＝－3 (2)如果一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根為a＋1和2a－7，則這個(gè)數(shù)為_(kāi)___________________． 類(lèi)型二　二次根式的有關(guān)概念與性質(zhì) 　(1)式子有意義的x的取值范圍是________； (2)(2017·邵陽(yáng)模擬)將化成最簡(jiǎn)二次根式是________． (3)計(jì)算：＝________

7、. 【解后感悟】(1)此類(lèi)有意義的條件問(wèn)題主要是根據(jù)：①二次根式的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零；②分式的分母不為零列不等式組，轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集．(2)此題根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，是解本題的關(guān)鍵． 2．(1)(2017·荊州)下列根式是最簡(jiǎn)二次根式的是(　　) A. B. C. D. (2)k、m、n為三個(gè)整數(shù)，若＝k，＝15，＝6，則下列有關(guān)于k、m、n的大小關(guān)系，何者正確(　　) A．k＜m＝n B．m＝n＜k C．m＜n＜k

8、 D．m＜k＜n (3)(2016·金華)能夠說(shuō)明“＝x不成立”的x的值是____________________(寫(xiě)出一個(gè)即可)． (4)若實(shí)數(shù)a、b滿足＋＝0，則＝____________________. (5)若整數(shù)x滿足|x|≤3，則使為整數(shù)的x的值是____________________(只需填一個(gè))． 類(lèi)型三　二次根式的運(yùn)算與求值 　(1)(2017·濱州)下列計(jì)算：(1)()2＝2，(2)＝2，(3)(－2)2＝12，(4)(＋)(－)＝－1，其中結(jié)果正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3

9、 D．4 (2)計(jì)算：－3＋＝______； (3)化簡(jiǎn)：(－)－－|－3|＝________. 【解后感悟】(1)二次根式的加減運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡(jiǎn)及同類(lèi)二次根式的合并；(2)二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵． 3．(1)下列計(jì)算正確的是(　　) A．4－3＝1 B.＋＝ C．2＝ D．3＋2＝5 (2)算式(＋×)×之值為(　　) A．2 B．12 C．12 D．18 4．(1)計(jì)算(－3)2018

10、·(＋3)2017＝____________________； (2)(2016·聊城)計(jì)算：·÷＝　　　　　　　　. 類(lèi)型四　二次根式的大小比較 　已知甲、乙、丙三數(shù)，甲＝5＋，乙＝3＋，丙＝1＋，則甲、乙、丙的大小關(guān)系，下列何者正確(　　) A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙 【解后感悟】比較兩個(gè)二次根式大小時(shí)要注意：(1)負(fù)號(hào)不能移到根號(hào)內(nèi)；(2)根號(hào)外的正因數(shù)要平方后才能從根號(hào)外移到根號(hào)內(nèi)． 5．(1)(2015·河北)在數(shù)軸上標(biāo)注了四段范圍，如圖，則表示的點(diǎn)落在(　　) A

11、．段① B．段② C．段③ D．段④ (2)(2015·杭州)若k＜＜k＋1(k是整數(shù))，則k＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 (3)(2017·白銀)估計(jì)與0.5的大小關(guān)系是：____________________0.5.(填“＞”、“＝”、“＜”) 類(lèi)型五　二次根式的綜合型問(wèn)題 　(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足＋＝0，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是________． (2)在日常生活中，取款、上網(wǎng)都需要密碼，有的人把

12、自己的出生年月作為密碼，有的人把生活中的重要數(shù)字或自己認(rèn)為吉利的數(shù)字作為密碼，這樣很容易被知情人竊用．有一種用二次根式法產(chǎn)生的密碼，如：對(duì)于二次根式，計(jì)算的結(jié)果是11，取被開(kāi)方數(shù)和計(jì)算結(jié)果，再在中間加一個(gè)數(shù)字0，于是就得到一個(gè)六個(gè)數(shù)字的密碼“121011”．對(duì)于二次根式，用上述方法產(chǎn)生的密碼是________． 【解后感悟】常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)有三種形式：|a|，，a2；若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則這幾個(gè)數(shù)都為零． 6．(1)矩形相鄰兩邊長(zhǎng)分別為，，則它的周長(zhǎng)是____________________，面積是____________________． (2)觀察分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律：0，

13、，，3，2，…，那么第10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是____________________． (3)若y＝＋＋x3，則10x＋2y的平方根為_(kāi)___________________． 7．已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值： (1)x2＋2xy＋y2； 　(2)x2－y2. 　 　　　　　　　 【探索規(guī)律題】 如圖，以O(shè)(0，0)、A(2，0)為頂點(diǎn)作正△OAP1，以點(diǎn)P1和線段P1A的中點(diǎn)B為頂點(diǎn)作正△P1BP2，再以點(diǎn)P2和線段P2B的中點(diǎn)C為頂點(diǎn)作△P2CP3，…，如此繼續(xù)下去，則第六個(gè)正三角形中，不在第五個(gè)正三角形上的頂點(diǎn)P6的坐標(biāo)是________． 【方法與

14、對(duì)策】根據(jù)O(0，0)，A(2，0)為頂點(diǎn)作△OAP1，再以P1和P1A的中點(diǎn)B為頂點(diǎn)作△P1BP2，再以P2和P2B的中點(diǎn)C為頂點(diǎn)作△P2CP3，…，如此繼續(xù)下去，結(jié)合圖形求出點(diǎn)P6的坐標(biāo)．本題由特殊到一般的規(guī)律解題是關(guān)鍵，這類(lèi)題型是中考的熱點(diǎn)． 【二次根式的化簡(jiǎn)符號(hào)不明確】 下列各式中，正確的是(　　) A.＝－3　 B．－＝－3 C.＝±3　 D.＝±3 參考答案 第5講　二次根式及其運(yùn)算 【考點(diǎn)概要】 1． a≥0　 2. ≥0　a?。璦　 3.最簡(jiǎn)二次根式　相同　　　乘除

15、 【考題體驗(yàn)】 1． B　 2. D　 3. B　 4. －2　 5.原式＝2－2＋2＝2. 【知識(shí)引擎】 【解析】(1)③；　(2)①－＝，②＝3，④÷＝2；　(3)主要從二次根式性質(zhì)、運(yùn)算法則方面去思考． 【例題精析】 例1　(1)A；(2)4；(3)－3　例2　(1)根據(jù)題意得，2x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－且x≠1.(2)3；(3)－1.　例3　(1)D；(2)原式＝2－＋＝，故答案為：；(3)(－)－－|－3|＝－3－2－(3－)＝－6.故答案為：－6. 例4　∵3＝<<＝4，　∴8＜5＋＜9，∴8＜甲＜9.∵4＝＜＜＝5，∴7＜3＋＜8，∴7＜乙＜8.∵

16、4＝＜＜＝5，∴5＜1＋＜6，∴5＜丙＜6.∴丙＜乙＜甲．故選A.　例5　(1)由＋＝0得，x－4＝0，y－8＝0，即x＝4，y＝8.若4是腰長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：4、4、8，不能組成三角形．若4是底邊長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：4、8、8，能組成三角形，周長(zhǎng)為4＋8＋8＝20；即等腰三角形的周長(zhǎng)是20.(2)＝0.9，所以得到一個(gè)六個(gè)數(shù)字的密碼081009. 【變式拓展】 1． (1)D　(2)9　2.(1)C　(2)D　(3)－1　(4)1 (5)－2 3. (1)C　(2)D　 4.(1)－3　(2)12 5．(1)C　(2)D (3)＞　 6.(1)6　4　(2)3 (3)±6　 7.(1)因?yàn)閤＝＋1，y＝－1，所以x＋y＝2，x－y＝2.則(1)x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2＝(2)2＝12.　(2)x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝4. 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】每一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)都是上個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的，第六個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是，故頂點(diǎn)P6的橫坐標(biāo)是，P5縱坐標(biāo)是－－＝，P6的縱坐標(biāo)為＋＝，故答案為：(，)． 【錯(cuò)誤警示】 ＝＝＝3，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；＝＝＝3，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；＝3，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選B. 9